CHAPITRE lY

m',LAT10.N VSTTxV. IJIS l'KlUOOKS Illî HEUX liNTÉGRALES ABÉLIEN?il;S DE PREMIICRE ESPÈCE.

Loi préliminaire.

uno intégrale de pri;mière espèce. Considérons le contour simple (') formé par la droite 0/, la grande circonférence de centre 0, et la suite des lacets de première espèce relatifs aux points critiques {fig. 6). Eu

chaque point x du plan, l'intégrale u a m valeurs augmentées de multiples des périodes (-); appelons «„ la valeur que l'on obtient quand,

partant de l'origine x^, avec la racine j,,, on suit, un chemin Onx,

( ' ) TMorie des fonctions cU'ptifjucf, {') Ibid., p. 173.

U PRESHÈRE PARTIE, — aiAPITRE IV

tangent à la droite 0/ et allant au point x situé dans la partie du plan enveloppée par le contour, sans franchir aucune partie de ce contour, et «,, «2, ..., H,„, les valeurs données par ce même chemin, précédé des suites de lacets fondamentaux de seconde espèce qui conduisent de la racine initiale y„ aux autres racines j)',, j.^, ..., /„,,. Les quantités Hqi «1. «ï. ■■■, ««,-1, ainsi définies, seront des fonctions holomorphes de la variable ir, dans la partie du plan enveloppé par le contour.

Remarquons que le chemin Omx; peut être remplacé par un autre chemin, tangent aussi à la droite 0/, mais de l'autre côté de cette droite, et allant du point au point x, sans franchir aucune partie du contour; car, sur la sphère, ces deux chemins se ramènent l'un à l'autre.

Sur le lacet (a), décrit de droite à gauche, se permutent circulairement p racines yg^, y^^, ..., y^ , ce qui nous a conduit à regarder ce lacet comme la réunion de p lacets binaires

qui entrent respectivement dans Iosjd circuits

Sur le lacet (a), en deux points infiniment rapprochés m et m', pla-

Fig. 7.

ces sur les deux bords opposés de la coupure {/ig. 7), chacune des p fonctions

acquiert deux valeurs différentes. Pour la fofiction it^^ ^ en m et la

RELATION ENTRE LES PÉRIODES DE DEUX INTÉGRALES ARÉLIENNES. 45 fonction u^ en m', la valeur de >■ est la même; c'est celle que l'on obtient quand on décrit directement la droite Om ou Om', en partant du point avec la racine y^^ ^; ces deux valeurs de l'intégrale u se rapportant à un même point analytique, leur différence est égale à une période, et nous remarquons que cette différence reste constante tout le long de la coupure; car, lorsque les deux points infiniment voisins m et m' se meuvent sur la droite Oa, les deux intégrales éprouvent lîi même variation.

Pour trouver cette différence, appelons U; l'intégrale relative à la suite des lacets fondamentaux de seconde espèce qui conduit de la racine y^ à la racine yi, C£ l'intégrale relative à la première partie du circuit (C);;, décrite dans le sens positif du circuit, depuis l'origine du circuit jusqu'à l'entrée du lacet (a), C^'" l'intégrale relative à la seconde partie de ce même circuit que l'on remonte depuis la fin du circuit jusqu'au lacet [a], et I"' la partie de l'intégrale relative à la droite Om, quand on part du point avec la racine y,. On obtient la valeur de la fonction h„ ^ au point m en suivant la première partie du circuit (C)^;;; jusqu'à l'entrée du lacet [a], puis la droite Om avec la racine ^g.^ ^; la fonction u^,^ ^ acquiert donc au point m la valeur

On obtient de même la valeur de la fonction h„^ au point m' en remontant la seconde partie du circuit (C)^ jusqu'au lacet (a), puis décrivant la droite Om', avec la même racine yg ^; la fonction «^^ acquiert donc au point m' la valeur

On déduit de 1

/;;, ^ tl'„.

En désignant par d^;/'- l'iiitégraie relative au lacet binaire (le seconde espèce («');;"', on a

car ce lacet binaire, décrit dans le sens positif, se ramène, comme

la PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

nous l'avons vu (n" 17), à la seconde partie du circuit (C)";;, que l'on remonte jusqu'au lacet (a), et à la première partie du circuit (C)^;:;;:;, que l'on remonte depuis le lacet [a], en laissant de côté ce lacet. Si donc on représente par A^';*' la période relative au cycle simple de seconde espèce qui contient le lacet liinaire (a')"^' (n''22), la relation précédente devient

Quand on décrit le contour entier dans le sens positif, on parcourt d'abord le bord m' de gauche de la coupure Oa, puis le bord m de droite; pour cette raison, nous appellerons le bord m' premier bord, l'autre second bord. La relation (i) signifie que fa différence des valeurs de la /onction u„ sur le premier bord du lacet [a) et de la fonction Ua^, sur le. second bord est égale à la période A'„°''^'.

Relation entre les périodes de deux intégrales. 26. Soit

une seconde intégrale de première espèce, à laquelle nous appliquerons les mêmes notations qu'il la précédente. Les fonctions

étant boloffloi'plics dans la partie du plan enveloppée par le contoui' que nous venons de définir {Jig. G), chacune des intégrales

I u/i-r-^dx, on I ithdv/i,

prise sur le contour entier, est égale ;i zéro (Note A), et, par consé-

ItELATION ENTltE LES PÉRIODES DE DEUX INTÉGRAF.ES ABÉLIENNES. il quetit, leur somme

If

Uhdi'k

est aussi égale à zéro.

La partie de chacuue des intégrales relative au circuit Ibrnié par la grande circonférence et la droite 0/ étant nulle, il suffit de considérer les lacets relatifs aux points critiques. Le lacet (a), borné à un seul système circulaire (n" 15), entre dans/? intégrales; quand on décrit le contour dans le sens positif, le lacet est parcouru de gauche à droite [fig- 7). La partie relative à ce lacet dans les/) intégrales est

ou. Cil vertu de la relation (i), et à cause de la pei'mulatioii circulaire,

L, désignant Xn partie de l'intégrale r relative à la droite Oa, quand on part du point avec la racine y^. Si l'on en rctranelie 1;) quantité nulle

multipliée par I^ , cette quantité devient

Appelons Y,, la partie de l'intégrale v relative ;i l;i suite des lacets

-i8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IV.

foncfymentaux do première espèce qui conduit de la racine Vu ^ ia racine y^, i^;;+' la partie de la même intégrale relative au lacet binaire (a)^;;-^', et B*:;'-' la période correspondante. Comme on a

la quantité (3) prend la forme

!4) -J,'^:"K+t+--->'ii")-

Telle est la partie qui correspond au lacet (a), pour un système circulaire; en faisant la somme des quantités analogues qui se rapportent

à tous les systèmes circulaires relatifs aux différents points critiques,

le nouveau signe somme s'étendant à tous ces systèmes. 27. Puisque

(l'oir

,,J..n ^ Jl-, , ^ V,„., - V,„

!,<• + (,J + . . . + JJ" ~ (BJ + BJ; -I • . . . H- BJ;-') -h v,„., - v,„ cette expression devient

La seconde partie est une fonction linéaire et homogène des m quan-

RELATION ENTRE LES PÉRIODES DE DEUX INTÉGRALES ABÉLIENNES. 49 titcs V„, V|, Y.,, ..., V,„ ,. La quantité V^.^, ^ entre dans les parties provenant de différents systèmes circulaires, ceux qui contiennent la racine yg ; dans chacun de ces systèmes, il y a un lacet binaire de première espèce, tel que («)^""> yui conduit à cette racine; à ce lacet de première espèce correspond le lacet de seconde espèce (a')|^;*'; mais on sait (n" 18) que l'ensemble des lacets binaires de seconde espèce qui correspondent aux différents lacets binaires de première espèce qui conduisent à la racine j^^ , constituent le circuit de seconde espèce (C')^;;^;; la somme des valeurs a°^'^' de l'intégrale u relatives à ces lacets est égale à zéro, et, par conséquent, celle des périodes correspondantes A^'"-, par laquelle est multiplié V^ ^, est aussi égale à zéro. La seconde partie de l'expression (6), ordonnée par rapport à V„, V,, V^, .... V„.|, ayant ainsi tous ses coefFicients nuls, et, par conséquent, étant identiquement nulle, l'expression se réduit à

Si on l'ordonne par rapport ;iux périodes B de l'intégrale v, on a

OU, plus simplement,

i») " -S tK-K>

en remarquant que la quantité entre parenthèses est la période de l'intégrale u, relative au cycle de seconde espèce qui contient le lacet complexe (a')li (n"20).

28, Cette expression renferme les périodes des deux intégrales u et c. Les périodes B^;;:'' de l'intégrale c se rapportent aux lacets binaires de première espèce (a)^)!^', les périodes A'°; de l'intégrale u se rapportent aux lacets complexes de seconde espèce {a')l^. correspondants.

tO PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE IV.

Chaque système circulaire fournit/) — i termes dans l'expression, savoir

Nous avons formé les deux systèmes de lacets fondamentaux de première et de seconde espèce, de manière qu'aucun des seconds ne corresponde à un des premiers. Si g lacets binaires de première espèce du système {a) sont fondamentaux, les g termes correspondants sont nuls par le facteur B; si §-' lacets complexes de seconde espèce du système («■) sont fondamentaux, q' autres termes sont nuls par le facteur A'. Il reste donc, pour ce point critique, p — i — g — q' termes différents de zéro, ce qui fait en tout un nombre de termes marqué par

2{^- i) - 2g - Ig' =.- N - 5.(m - i) -. ip,

c'est-à-dire un nombre de termes égal au nombre des périodes des intégrales abéliennes de première espèce.

Les deux facteurs, qui forment chacun des termes de l'expression, se rapportent aux lacets non fondamentaux correspondants de première et de seconde espèce. Si l'on désigne par w,- et <o^ les deux systèmes équivalents de périodes de l'intégrale u, et par e,- et a',, celles de l'intégrale f, on a

et, eu remplaçant les périodes w^. par leurs valeurs en fonction dei périodes w,- (n" 23),

29. Nous avons trouvé la valeur de la quanLiLé en fonction des périodes des deux iutégrales abéliennes n et c. Repré-

RELATION ENTRE LES PÉBIODES DE DEUX INTÉGRALES ABÈLIENNES, 5J sentons de même par Q l'expression

<|mi l'on déduit de ia précédente en permutant les deux intégrales u et v\ nous obtiendrons par le même raisonnement

011, en permutant les deux indices ; et k,

En intégrant par parties, et remarquant que la quantité it^i'/, reprend il la fin du contour la valeur qu'elle avait au commencement, on a

I U/idi'/,:-— j V/idU/i,

et, par suite,

c'est-ii-dire

Ainsi les deux quantités P et Q sont égales et de signes contraires, quelles que soient les valeurs des périodes; on en conclut, d'après les expressions (lo) et (la), que les eoetncients c^ et c/,.^ sont égaux et de signes contraires, et l'on a

quels que soient les indices (' et k.

m PREMIÈRE PARTIE, - CHAPITRE IV.

D'après cela, le déterminant des nombres c^ est un déterminant gauche. Mais on sait qu'un pareil déterminant est égal au carré d'une fonction rationnelle de ses éléments. Le déterminant des nombres c',a est donc égal à -h i .

l^a relation qui existe entre les périodes des deux intégrales n ot p est

elle est linéaire et homogène par rapport aux périodes de la prcniii intégrale, et aussi par rapport à celles de la seconde.

PÉlilODES NORMALES.