CHAPITRE V

lilOI>F.S NORMALES.

TransfoiTTiation générale des périodes.

30. Imaginons que l'on remplace le système des ap périodes oj de l'intégrale u par un système équivalent de ap nouvelles périodes ii, définies par les relations

U\ ^^- .. a:iQ.^ -■■- ai-O------ ... — ai ...,!).>.,-- \ «,-.-0...,

dans lesquelles les indices i et g varient de i à ap, et les coefficients «/, sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, dont le déterminant est égal à d= î. Si l'on désigne par c les nouvelles périodes correspondantes de l'intégrale v, on a de même

L'expression

trouvée dans le Chapilro préeédent, devient, par la substitution, les quatre indices /, /■, g, h variant de i à ap. Si l'on pose

Si PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITUE V.

cette expression prend la forme

semblable à la forme (3).

Les nouveaux coefficients c' jouissent des mêmes propriétés que les coefficients c, car, si l'on pose

4a=^cIs'

Le déterminant des nombres e" est égal au déterminant des nonihros c multiplié par celui des nombres a; de même, le déterminant des nombres c' est égal à celui des nombres c" multiplié par celui des nombres a; le déterminant des nombres c' est donc égal à celui des nombres c multiplié par le carré de celui des nombres a, c'est-à-dire par + I ; ainsi le déterminant des nombres c' est égal à celui des nombres c, et, par conséquent, égal à -hi. Ce déterminant est aussi un déterminant gauche; car, si dans la formule {/\) on permute les deux indices [ et k, on a

Si, dans la Inrmiile (5) du n° 23,

^iha/t,; -- --C, ,.

PÉRIODES NORMALES, m

on remplace m,- par sa valeur donnée par la formule (i), il vient

et, par suite, en vertu (h la formule {(>), 18) o.;r.-^4„ii«.

TransfonnatioH simple.

31. Soient r et s deux nombres entiers fixes et différents, appartenant à la suite des ap premiers nombres, et n un nombre entier arbitraire, positif ou négatif. Considérons la transformation particulière définie par les formules

dans lesquelles l'indice i reçoit les valeurs consécutives i, 2, 3, ..., ap, excepté i=^r. Pour toutes les valeurs de i, même pour i = r, on a «;,-= I, et, pour toutes les valeurs de i et k différentes entre elles, on a (ï,j = o, excepté o,., = n. Le déterminant des nombres a est ici égal à +1. La formule (6), si g est différent de s, donne c[., = Cg,,, et la formule (7), si A est aussi différent de *, c'^,, z=c'^Cgi^% mais si h^s, g étant différent de 5, on a

et par suite

c'g/i ~ — cjjj — Cfk -1- nc,k-

Il en résulte que l'on déduit le déterminant des nombres c' de celui des nombres c, en ajoutant aux éléments de la ligne de rang s ceux de la ligne de rang r multipliés par n, et aux éléments de la colonne de rang s ceux de la colonne de rang r multipliés aussi par n.

50 PliEMIKIiE PAUTIE. - CHAPITIiE V.

Réduction du déterminant gauche à la forme canonique.

32. Nous allons montrer maintenant comment on peut, par une série de transformations simples, ramener à la forme canonique le Jéterminant gauche des nombres c, savoir

Soit (?,,. lo plus petit clément en valeur absolue de la première ligne, abstraction faite des éléments égaux h zéro. En divisant un autre élément C|j (le cette première ligne par c,,., appelant n le quotient et c\, un reste plus petit que le diviseur, en valeur absolue, on a

Si l'on effectue la transformation qui consiste à ajouter aux éléments de la colonne de rang s ceux de la colonne de rang r multipliés par — n, et aux éléments de la ligne de rang 5 ceux de la ligne de rang r multipliés aussi par — n, on remplacera l'élément c^ de la première ligne par c\^, sans changer les autres éléments de cette première ligne. Par une série de transformations semblables, on remplacera tous les éléments de la première ligne différents de zéro par d'autres éléments inférieurs au plus petit d'entre eux en valeur absolue. Une seconde série de transformations remplacera ceux de ces nouveaux éléments qui sont différents de zéro par d'autres inférieurs au plus petit d'entre eux en valeur absolue, et ainsi de suite; mais cette suite d'opérations revient à la recherche du plus grand commun diviseur des éléments de la première ligne du déterminant i; ce plus grand commun diviseur étant égal à l'unité, on arrivera nécessairement à un élément égal à ±1. A l'aide de cet élément, par une nouvelle transformation, on remplacera le second élément de la première ligne par -+- 1, et enfin,