PERIODES NORMALES

à l'aide du second élément H-i, on remplacera tous les éléments suivants de la première ligne par zéro. A l'aide du premier élément de la seconde ligne, qui est alors égal à — i, on remplacera de même tous les autres éléments de cette seconde ligne par zéro. De cette manière, le déterminant A est ramené à la forme

Le déterminant mineur, que l'on obtient en supprimant les deux premières lignes et les deux premières colonnes, est aussi un déterminant gauche égal à + 1 . Par une suite de transformations semblables aux précédentes, on le ramènera à la forme

En supprimant encore les deux premières lignes et les deux premières colonnes, on obtiendra un nouveau déterminant mineur que l'on transfoiTiiera de la même manière, et ainsi de suite. On arrivera enfin à l'un des deux déterminants

Nous adopterons la première combinaison; si la seconde se présentait, il suffirait de changer les signes des deux dernières périodes.

De cette manière, le déterminant A est ramené à la forme canonique

L'ensemble de toutes ces transformations simples constitue une transformation unique de la forme étudiée au n" 30. Le déterminant A' se rapporte aux coefficients c' relatifs à cette transformation résultante. On a donc, pour cette transformation,

tous les autres coefficients 0],. étant nuls, et l'expression (;>) se réduit ii

Nous appellerons /wWorfe* normales un système de 2p périodes ainsi déterminées.

Intégrales normales.

33. Nous avons vu (n" 13) que toutes les intégrales aliélienjies de première espèce se ramènent à p d'entre elles, que nous avons représentées par

Q,- étant un polynôme entier du degré m — Z, satisfaisant aux conditions nécessaires pour que l'intégrale conserve une valeur finie sur

toute la sphère, et l'indice i variant de i à p. Nous désignerons par

l'EKIODES NORMALES. 59

ii'^' les périodes normales de l'intégrale c''', l'indice h variant de i à ap, La relation entre les périodes normales des doux intégrales c''* et f''*', d'après la formule (ii), est

(i3) P = y [^^^'^■-' ^'-^'- - ^'à-> ^ik'/!] =0.

Nous remplacerons le système des p intégrales c'" par p autres intégrales u''\ définies par les formules

( ! f } /(('") = M,-, !.'(') -+- Mrl Çi'') -i- . . . + M/„ UW r:^ y A[,7, (.(^î,

qui contiennent p- constantes M,j, dont le déterminant est différent de zéro. Nous choisirons les p constantes M,-,, M,-2, ..., M,,,, de manière que p — I périodes de l'intégrale «''* soient égales à zéro et une autre égale à une quantité donnée 2t:\J — i. Nous poserons

i-M,vm;., =-i-;:v'— I.

M,',iî!.V-,-HM;,mi,'-i-i-..-+M/pOï;,, ^o,

et nous déterminerons les p constantes M,,, M,^ ,..., M,-^, à l'aide de ces p équations du premier degré à p inconnues. De cette manière, les périodes normales h indices impairs de l'intégrale u''"' sont nulles, excepté celle dont l'indice est 21 — i, qui est égale à 277^' — 1.

Nous représenterons les périodes à indices pairs de cette même intégrale par 2«;-,, 2a,,,, ..., 27.,p. D'après cela, les périodes normales de l'intégrale «"' sont

,^, (iî'/'=:o, i2!/'=o, ..., m/,^ii:f^î, ..., iii.';,L,=^o,

On donnera le nom ^'intégrales normales au système des p intégrales ic'\ ainsi déterminées.

60 PREMIERE PAltTIE. - CHAPITItE Y.

La relation (i3), appliquée aux périodes normales des deux iiité-' grales normales w''' et w''*', se réduit à

in\'-i{iifl--Q.'Ji) = .\'!:\/-

c'est-à-dire à

Pour ces intégrales normales, les formules (i) cL (8), qui donnent les valeurs des périodes primitives fournies par les deux espèces de cycles, deviennent

34. Remarque I. — La détermination des intégrales normales suppose que le déterminant des coefficients des équations (iS), savoir

est différent de zéro. C'est ce qui a lieu en effet; car, si ce déterminant était nul, on pourrait attribuer aux p constantes M,,, M^, ..., W,-p des valeurs telles que les premiers membres des équations (i5) fussent tous égaux à zéro, et l'on aurait une intégrale u dont les p périodes normales à indices impairs seraient nulles.

Pour reconnaître que ceci est impossible, nous nous servirons d'une propriété des fonctions holomorphes, qui est une conséquence d'une formule de transformation des intégrales multiples due à Green (Note A) : si /(iK) = X-l- Y\/^i est une fonction holomorphe d'une variable imaginaire œ dans une portion du plan à contour simple.

PÉKIODES NOIiMALES.

relative à ce contour décrit dans le sens positif, a une valeur positive et différente de zéro. Considérons le contour simple défini au n''25; l'intégrale «= X + Y\/ — i a m valeurs h„, «,, ..., «,„,, qui sont des fonctions holomorphes de x dans la partie du plan enveloppée par ce contour; l'intégrale (21) relative à chacune d'elles ayant une valeur positive, leur somme

If^

a aussi une valeur positive. On peut évaluer cette somme comme la somme (2) du n''26; car les propriétés dont nous avons fait usage dans la démonstration appartiennent aux fonctions X et Y; sa valeur est donnée par la formule (i i) du n" 32, en supposant que Q désigne les périodes normales de X et t celles de Y; si toutes les périodes à indices impairs de u, et, par conséquent, de X et Y, étaient nulles, cette quantité serait égale à zéro, ce qui est impossible.

Le déterminant S étant différent de zéro, si l'on représente par S,sle déterminant mineur que l'on obtient en supprimant dans le déterminant S la ligne de rang i et la colonne de rang k, on déduit dos équations (i5)

Il est facile do reconnailro que le déterminant dos quantités M,,,, ;ivoii'

ai,,,

est aussi différent de zéro. Car, en vertu des équations (i5), le pi'oduit de ce déterminant par le déterminant <) est égal à un déterminant

(12 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITHIÎ V.

dont les éléments situés sur la diagonale sont égaux à 2-v — i et tous les autres nuls; on a donc

H en résulte que, réciproquement, les intégrales v sont égales à des fonctions linéaires et homogènes des intégrales u.

35. Remarque II. — Les périodes normales des p intégrales normales dépendent des ->L-..-i quantités ^/,,. Posons

(!t appliquons à la fonction

H---- m, ii"! + iit-iU''> -■■-... -\-mi,n<'"> --^ m/tU^'-^ —X ^Y \>—\ ,

dans laquelle m,, m.,, ..., m,, sont des constantes réelles quelconques, le théorème dont nous nous sommes servi dans le numéro précédent. La valeur de la somme (22) est toujours donnée par la formule (il) du n" 32, en supposant que ii désigne les périodes de X et c celles de Y. On a ici

lia/- 1 --- o, Cn,-. I =.- ar m.; ih, -: -i^ «u x',.n ^-2/ ^^^ 'iS im -j'U,

et par suite

Olte quantité ayant une valeur positive, ou eu conclut que les parties réelles des constantes a,-^ satisfont à l'inégalité

<lans laquelle m,, m^. ..., m., sont des quantités réelles quelconques.

PÉltlODES NORMALES. 63

36. Remarque III. — Nous avons vu (u''21) que les périodes des p intégrales abéliennes c''' de première espèce se ramènent à p systèmes de 2p périodes correspondantes ia\", w!,", ..., toij,/; les périodes correspondantes des diverses intégrales sont celles qui sont fournies par un même cycle. Il est impossible de réduire l'ensemble de ces systèmes à un moindre nombre de périodes. Il faudrait pour cela que les 2p périodes de toutes les intégrales satisfissent à une même relation

à coefficients réels. Une relation de ce genre entre les périodes normales des intégrales normales «''' serait de la forme

à coefficients réels », et m,,. En égalant ;i zéro la partie réelle, on aurait

et en ajoutant les sommes relatives aux diverses valeurs de i, après avoir multiplié ebacune d'elles par m,.

or nous avons démontré que cette dernière somme a une valeur négative et différente de zéro.