CHAPITRE VI

Application aux intégrales ultra-elliptiques.

37. On donne ce nom aux intégrales abéliennes que l'on obtient quand l'équation algébrique qui lie x et y est de la forme

Chacun des points a,, a.,, ..., a..^^.^ est un point eritique autout' duquel se permutent les deux racines de l'équation. On démontre aisément qu'il existe p intégrales de première espèce, c'est-à-dire qui conservent une valeur finie sur toute la sphère ('}; elles soni représentées par la formule

dans laquelle le nombre entier i varie de i à p.

Appelons A.,- l'intégrale relative au lacet [ai) décrit avec la racine initiale )'„. Prenons le lacet (0^^+,) pour lacet fondamental de première espèce et le lacet [a',^^) pour lacet fondamental de seconde espèce. Supposons que sur chaque lacet on désigne par y^r la racine y^, et par 7^, ou j„^ la racine — /o- Les cycles simples formés par chacun des 2p premiers lacets (flj)f,; suivis du lacet fondamental {tÏ2[,+,)J; donnent les 2p périodes

l'indice i variant de 1 à ap. Nous alTecterons les points critiques d'in-

(') Thèmic da.s fonctinns i-lUptiqucs, p. (ijS.