INTÉGRALES ULTRA-ELLIPTIQUES

(lices croissants, suivant l'ordre clans lequel ils sont rencontrés par un

rayon vecteur tournant autour de l'origine dans le sens positif, et

nous ferons passer le rayon 0/ du circuit entre les points a, et a.;,^^.,.

L'intégrale suivant le circuit étant nulle, on a la relation

i'X !a dernière période se ramène aux ap premières. Ceci montre que le nombre des périodes distinctes est bien égal à ap, et par consé- (|uent double du nombre des intégrales ultra-elliptiques de première

espèce.

38. L'intégrale relative au lacet fondamental de seconde espèce («.'.1,^..). décrit iivcc la valeur initiale r^, est égale à

Piiui- LUI lacef \a.^, ,]. à indice impair, on a jv, ~-'~-yo< c^- P^i' suite a'j- --- ^l,2i,+2 — Xii..^, + . . . + a.-i,- — A^ii--- + . . . — Xî -i- a I ,

w'^f l — a^' — .A.2|l^2 = X| — X:;-!-,,.— X2ïU2 + ïl.ï,-— ...-i-X:!|i — J.Ji.-n,

Pour un lacet [a.,i) à indice pair, on a j^^ --- ■■■■)'„, et. par suite

On fera varier / de i à p.

Puisque /3 = 2, chaque point critique n'introduit qu'un seul terme B^|A„7 ou B^;'A^°° dans l'expression (8) du n" 27. Les termes qui se rapportent aux deux derniers lacets, choisis comme lacets fondamentaux

de première et de seconde espèce, sont nuls; il reste ap termes dans

m PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE \T.

l'expression qui prend la forme (9) du n" 28, et par suite la forme (ro).

D'après les formules (/|) et (5), le déterminant des coefficients c,;, es!

39. La transformation ;■= i, i-= 2, 11= i (n" 31) donne les périodes ii <■>.,, 01.,, <.).|. ..., 0)^1, et remplace la seconde ligne du déterminant

pai

et la seconde colonne par ces mêmes éléments changés de signe.

Une seconde transformation r= 2, 5 = 3, n = i donne les périodes <■>, —(■!.,, o>., — (.),, 0).., oj;, ..., (!)j|, et remplace la troisième ligne par

et la troisième colonne par ces mêmes éléments changés de signe.

Enfin la troisième transformation r=?}, s— i, n = — i conduit aux périodes

cl remplace la première ligne pai

et la iH'emièrc colonne par les mêmes éléments changés de sig De cette manière, le déterminant est réduit à la forme

INTÉGRALES ULTK A-ELLIPTIQUES. 07

Une seconde transformation complexe de même sorte, effectuée sur le déterminant mineur qui résulte de la suppression des deux premières lignes et des deux premières colonnes, n'altère pas les deux premières périodes et remplace les suivantes par

En continuant, de ccLlo manière, on arrive aux doux périodes

of. au déLorminanf,

En effectuant la transioriiKition r— \ , s= 9., n - 1 , on remplace ces deux dernières périodes pai'

(t (|ui ne change pas le déterminant.

On obtient ainsi le ttystème des périodes normales

Elles ont pour expressions, on fonction des intégrales relatives aux lacets,

yGoosle

i! PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE VI.

Dos formules (4), (5), (6) on déduit

Le premier groupe des formules (6) donne les différences

ii.;-i-ii.,-.:i-w,^.,-w,/;

en com])in:int ces relations avec le second groupe des formules (G) remontant de proche en proche, on obtient les formules

I OHi 3.-. -i>„--, -l-Q,„.M-y Û,,,.

dans lesquelles on suppose que ii^, ■. = o pour i = i .

40. En substituant ces valeurs dans l'expression (9) du n" 2S, savo

on vérifie qu'elle prend bien la forme (1 1) du n" 32. On a, en effet, La première partie est nulle. La seconde partie étani alternée par rap-

INTÉGRALES ULTRA-ELLIPTIQUES, port aux périodes i> et c, il suffit de calculer son premiei' terme

Ou arrive ainsi à l'expression

CIIAPIIUK VII.

THÉORÈME d'aEEL.

Elude de la fonction \tm— ,-----[■

41. Soient i^{o!;,y) et \{x,y) deux polynômes entiers en œ et/, du degré n. En général, chacune des courbes ç = o et A = o coupe la courbe proposée Y{œ,y) = o, du degré m, en mn points distincts et différents des points critiques. Nous désignerons par (^^, -/1a) les premiers points d'intersection et par {l.]^, -n'^) les seconds, l'indice k variant de I à mn. Si les coefficients du polynôme ? varient d'une manière continue jusqu'à devenir égaux à ceux du polynôme ^, les points d'intersection (if,, r,/,) décrivent des lignes continues et viennent coïncider respectivement avec les points {l',^, r,'^). Nous supposerons l'étendue de cette variation assez restreinte, pour que les lignes l/,l\ décrites par les points d'intersection ne rencontrent pas les lacets relatifs aux points critiques et ne se rencontrent pas entre elles.

La fonction

outre les points critiques algébriques, autour desquels clic acquiert, en même temps que la racine y, un certain nombre de valeurs qui se permutent circulairement, admet les points critiques logarithmiques i^A, 'fil:) et (^^, -/i^), autour de chacun desquels elle acquiert une infinité de valeurs en progression arithmétique, dont la raison est ^t.\J — i. A l'aide de la ligne ï^^^, de deux petits cercles décrits des points 2^ et ^\ comme centres, et d'une ligne Ob allant du point à un point de la ligne ç^^^., par exemple à un point, voisin du point ^/,-, formons

un lacet enveloppant les deux points d'intersection correspondants ^^i. et ^j (y7g*. S } ; nous aurons mn lacets de ce genre. Nous traçons les lignes 06 de manière qu'elles ne se rencontrent pas entre elles et

qu'elles ne rencontrent aucune des lignes ^/,;^,, ni aucun des lacets relatifs aux points critiques. Nous ajouterons ces nouveaux lacets aux lacets relatifs aux points critiques, et nous considérerons le contour simple formé par le circuit et l'ensemble de tous les lacets (n° 25).

Ayant adopté une valeur initiale du logarithme h l'origine (a^u. j„), nous appellerons <'„ la valeur fournie par un chemin Qnœ, partant de l'origine [os^^^y^^ tangentiellement à la droite 0/et allant h un point t» situé dans la partie du plan enveloppée par le contour, sans franchir aucune partie de ce contour, et c,, v.., .... c,,,^, les valeurs fournies par ce même chemin, précédé des suites de lacets fondamentaux qui conduisent de la racine initiale j'„ aux autres racines/,, y.^, ..., y,,,-!- Les m fonctions v/,, ainsi définies, seront des fonctions holomorphes de œ -dans la partie du plan enveloppé par le contour. Quand la variable tourne autour du point l'^ ou autour du point Ij,, de gauche à droite, l'une des fonctions c^, celle qui correspond à la racine qui acquiert au point 4 la valeur r^ et par suite en i'^ la valeur r,^, éprouve des accroissements égaux à — 277\/— j et à +2tc\/— j; elle reprend donc en b, la valeur qu'elle avait en b, et par suite en à la fm du lacet celle qu'elle avait à l'entrée; mais elle a des valeurs différentes en deux points m et m' infiniment voisins, situés sur les deux bords

hc, b'c' de la coupure ï^^^; si l'on appelle ç et c' los valeurs lie fonction aux points m et m', on a

{'a: lacet îi,i[ est neutre pour les autres fonctions v.

4-2. La fonction v peut être regardée comme une intégrale définie, analogue à une intégrale abélienne. Si l'on désigne par k la valeur initiale du logarithme, on a, en effet.

Considérons un cycle quelconque situé dans la partie du plan enveloppé par le contour, et par conséquent ne coupant aucune des lignes l^^'^. Nous allons faire voir que l'intégrale relative à ce cycle est nulle Nous avons fait varier d'une manière continue le polynôme du degré n {le ç) à J*; prenons un certain nombre de polynômes intermédiaires ç, ç<^, ..., 9(1, peu différents les uns des autres; les zéros de ces poly nômes, ou les points d'intersection des courbes ç, — o, Ço — o, ... avec la courbe F = o. sont situés sur les lignes Ikl'/,, à l'intérieur des lacets. Posons

i étant un nombre positif très-petit; on peut prendre le polynôme o, assez peu différent de ç, pour que le module de la fonction /(^ij) soit inférieur à l'unité tout le long du cycle. La variation de la fonction log-' 'i ou log(i -i-î/), est égale à l'intégrale définie

r^if

Jf Quanil le poini [x,y) décrit le cycle, le point/décrit une ligne d'une

longueur finie /, et le module de l'intégrale est moindre que la quantité très-petite-^-; mais la variation du logai'ithme ne peut être

qu'une quantité de la forme 2m''7:\/—i, m' étant un nombre entier, positif ou négatif; on on conclut que cette variation est rigoureusement nulle.

Pour la même. raison, les variations des fonctions

sur le cycle, sont rigoureusement nulles. La variation de la fonction log-î qui est la somme des précédentes, est aussi égale à zéro. Ainsi, toutes les périodes de la fonction c sont nulles, excepté la période 2ît\/ — T, qu'elle acquiert quand la variable tourne autour de l'un des points critiques logaritlimiqucs l,. ou l'/,.

Théorème d'Abel.

43. Désignons par u une intégrale abélienne de première espèce

L'introduction des lacets {ij,l',) ne modifie pas les fonctions u/,, telles que nous les avons définies au n° 25. Les m fonctions c^ -j^ étant bolomorpbes dans la partie du plan enveloppé par le contour, chacune des intégrales

/ CA -j—dx, ou / Vhdiih,

prise sur le contour entier, est égale à zéro, et, par conséquent, leur somme

(4) |/.v.fa

est aussi égale à zéro.

74 PBEMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE V)I-

La partie de chacune des intégrales relatives au circuit formé par la droite 0/ et la grande circonférence étant nulle, il suffit de considérer les lacets. Le lacet {^/,i'/,) n'entre que dans une intégrale, celle où y acquiert au point l^ la valeur t)^; les deux bords de la coupure Ob donnent dans l'intégrale des quantités égales et de signes contraires, puisque la valeur de c est la même sur les deux bords; les petits cercles ayant pour centres i/, et II donnent des quantités infiniment petites; les deux bords bc, c'b' de la coupure H^E^ donnent la quantité

f^À pii' f^i . /"^Â-

I vdu-]~ f v'dii:^ \ [v — v' ) du --- ir. \J — i j du •^ik •JK'k -^ïh -'l/,

= 27rv'^[«UJ.-fli)-«(^.,-«A)],

la quantité placée entre parenthèses désignant la variation qu'éprouve la fonction u, quand la variable {x,y) va du point (E*, -/ia) au point ('!■■ ^Â)' 6" suivant la ligne ^iX\- Les mn lacets {^kK.) introduisent ainsi dans les intégrales la quantité

i"^[«ui.^;)-«(?^--'i*-)]-

4.4. Considérons maintenant les lacets relatifs aux points critiques. Le lacet (a) entre dans p intégrales. Si l'on désigne par u et u' les

valeurs de la fonction « en m et m', sur les deux bords opposés de la coupure Oa {fig- 9), et par c et v' les valeurs de la fonction v en ces

THÉORÈME D'ABEL. "ÎS

mêmes points, la partie relative au lacet [a] dans les p intégrales est

I J'%:,du:.+f £ ...M., ==1 )■%:,«. -| jy..^,du.....

Nous avons vu (n^âS) que la différence «1,, — «.„., est égale à la période A^''" de l'intégrale (3) relative à un certain cycle. Pour la même raison, la différence rl^ — c,^^, est égale h la période de l'intégrale (2) relative au même cycle; mais nous avons démontré que les périodes (le cette intégrale, relatives à tous les cycles situés dans la partie du plan enveloppé par le contour, sont nulles; on a donc

et l'expression précédente devient

N / v„,../laa,„ — > I f„^,rf«t,,^,.

Ainsi, la partie relative à chaque lacet [a) est nulle.

D'après cela, la somme des m intégrales (4) se compose uniquement de la quantité (5) fournie par les lacets {^^^i). et l'on a l'équation

(6) ^Ml',,'n',)-u[Wn,]-\ = o.

On en conclut que la somme des variations d'une intégrale abélienne de première espèce sur les lignes décrites par les points d'intersection de la courbe proposée F(^, y) -- o et d'une courbe algébrique variable est nulle.

De l'équation (6) on déduit

et l'on peut énoncer le théorème d'Abel en disant <[uc la somme des

"G PltEfflÈRE P 4fiTlE. - CHAPITRE VII.

valeurs continues d'une intégrale ahélienne de première espèce aux points d'intersection de la courbe F = o ci d'une courbe algébrique variable conserve une valeur constante.

Ce théorème est indépendant des restrictions apportées à la variation de la courbe mobile. Supposons que, dans la position 4- = o de la courbe mobile, l'un des points d'intersection rencontre en m le bord de la coupure Oa, et que, pour une position infiniment voisine de la courbe, il vienne en m' sur le bord opposé; si le terme correspondant à ce point est w„^,^(^', -a') dans la première position, il sera «^(^%V) dans la seconde position, et la somme éprouvera un accroissement brusque égal à la période A^°'*'. A partir de là, la somme restera de nouveau constante, jusqu'à ce que l'un des points rencontre l'une des coupures, et ainsi de suite. Mais, si l'on supprime les coupures, de manière que l'on puisse aller directement de m en m', la variation de l'intégrale u(i', -n') étant alors infiniment petite, la somme n'éprouvera aucune variation.

Nous avons supposé que les lignes ^^^j, décrites par les points d'intersection, ne se rencontrent pas. Concevons, en général, l'intervalle divisé en plusieurs parties, dans chacune desquelles toutes les conditions soient remplies; la somme étant constante dans chaque intervalle partiel, et les intégralesK(^;i, vi^) variant d'une manière continue, il est clair que la somme reste constante dans toute l'étendue.

Pour évaluer cette somme, on calculera les valeurs de l'intégrale abélienne u(a:, y) suivant des lignes allant de l'origine {xt,, y^) î*iix différents points d'intersection de la courbe F^o et d'une courbe particulière du degré n, que l'on regardera comme la position initiale de la courbe mobile. Mais on observe que, si l'on change ces lignes d'intégration, une ou plusieurs intégrales peuvent être augmentées de multiples des périodes; la somme n'est donc pas absolument déterminée; elle admet, pour les courbes du degré n, une infinité de valeurs égales à l'une d'elles augmentée de multiples des périodes. Les valeurs initiales des intégrales étant évaluées suivant certains chemins, si l'on fait varier ensuite la courbe du degré n, et si l'on considère les variations des intégrales sur les lignes décrites par les points d'intersection, la somme conserve une valeur constante.

On sait que, lorsqu'on fait passer une courbe o — o du degré n par

un certain nombre de points pris à volonté sur la courbe F = o du degré m, les autres points d'intersection en résultent. Quand n est

plus petit que m, le nombre des points arbitraires est — ^^ -; ils

suffisent pour déterminer la courbe ç = o. Mais, si n est égal ou supérieur à m, ce nombre est égal à mn — ^ -^ -\ i! est moindre

que le nombre des points nécessaires pour déterminer la courbe. Le nombre des arbitraires que renferme la somme est égal au nombre des points d'intereection que l'on peut prendre à volonté; on peut regarder cette somme comme une fonction de ces points arbitraires; le théorème d'Abel consiste en ce que la valeur de la somme est indépendante de ces arbitraires.

4-5. Lorsque la courbe variable est assujettie à passer par un ou plusieurs points fixes situés sur la courbe F = o, les termes correspondants ayant des valeurs constantes, on peut en faire abstraction. Considérons, par exemple, la courbe représentée par l'équation Q = o, dans laquelle Q est un polynôme du degré m — 3, satisfaisant aux A conditions nécessaires pour que l'intégrale abélienne formée avec ce polynôme reste finie sur toute la sphère. La courbe Q = o passe par les points multiples de la courbe F = o, et nous avons vu (n" 14) que ces points multiples doivent compter pour aA points communs aux deux courbes; il reste 2(p— i) points d'intersection mobiles, dont p— I peuvent être pris à volonté. La somme des valeurs d'une intégrale abélienne de première espèce en ces 2{p— i) points d'intersection est constante.

46. 11 résulte aussi du théorème d'Abel que la somme des valeurs d'une intégrale abélienne aux m points d'intersection de la courbe F = o et d'une droite mobile ax -h by -h c = o est constante. Si l'équation de la droite est de la forme x — ^^o, ^ étant un paramètre arbitraire, les m points d'intersection sont (^, vi,), (i, t]^), ..., (^, vi,„), et l'on a

(8) |»ir,»;)^|»{ç,,.!.

78 l'REMlEiiE PARTIE. - CHAPITRE VU.

11 est facile de démontrer directement le théorème dans ce cas particulier. Désignons, en effet, par jt, y.,, ..,, y,„ les racines de l'équation V{x, y) — o. La somme des variations de l'intégrale abélienne sur les lignes décrites par les points d'intersection, quand le paramètre varie de ^ à E', est égale à l'intégrale

La quantité placée entre parenthèses est une fonction rationnelle et syméti'ique des racines de l'équation Y[x, y)^o; c'est donc une fonction rationnelle de ce et des coefficients de l'équation ordonnée par rapport aux puissances de y, et, par conséquent, c'est une fonction rationnelle de x. L'intégrale (9) conservant une valeur finie sur toute la sphère, cette fonction rationnelle est identiquement nulle. On en conclut que l'intégrale (9) elle-même est nulle.

SECONDE PARTIE

FONCTIONS ABÉLIENNES.