CHAPITRE YÏII

ÉQUATIONS AUX DIFFÉRESTlELLr.S TOTALES.

Existence des fonctions intégrales de deux équations différentielles à deux variables indépendantes.

47. La méthode dont nous nous sommes servis, M. Bouquet et moi, pour dcmontrei' l'existence des fonctions définies par un système d'équations différentielles à une seule variable indépendante {'), a été étendue par M. Bouquet à un système d'équations aux différentielles

totales (^).

Considérons d'a])ord l'équation

[i) du = Xdx^\dx,

dans laquelle X el Y sont des fonctions analytiques de œ, y, u, satisfaisant à la condition d'intégrabilité

{i) Dj.X + YD„ X = D,. V + XD„ Y.

Les deux variables indépendantes xetj partent des points a:„ et y^.

{ ' ) Théorie des fonctions elliptiques, p. 3a5.

(^) Bulletin des Scieriren inalhémaiiqiœs, t. III, p. 363.

la fonction u ayant une valeur initiale u„. Nous supposons que les deux coefficients différentiels X et Y restent holomorphes pour toutes les valeurs de a: et j situées dans des cercles décrits des points a-„ et/fl comme centres avec le rayon p, et pour les valeurs de u situées dans le cercle décrit du point «<, comme centre avec le rayon r. Appelons M le maximum des modules des fonctions X et Y dans cette étendue, et, pour abréger, représentons les deux variables par x^ -v-x, y«-^y fit la fonction par «„ + u; les deux variables partiront alors des points x = o, j=o, la fonction ayant la valeur initiale u = o. Si l'équation (i) est satisfaite par une fonction u. de x et y, liolomorphe dans le voisinage des points x = o, y=^o, on obtiendra ses dérivées partielles successives au moyen des équations

du du

dx ' ' dy '

Ùr-^'^^P'-^'

dx^ •" dx '"'

et nous remarquons, en vertu de la relation (2), que les dérivées partielles de la fonction u sont indépendantes de l'ordre des opérations.

Imaginons que, dans les seconds membres, on remplace les valeurs des fonctions X et Y et de leurs dérivées partielles pour a; = o, jr= o, « = o, par leurs modules; les deux premières donneront les modules

de f ^j et de I^J ; en portant ces valeurs dans les trois suivantes,

(3-^1 • En portant ces valeurs dans les suivantes, on aura des limites

supérieures des modules de (-r-^) > i^—^ ") ) '■■■' et ainsi de suite.

Les dérivées partielles des fonctions X et Y ont, pour x-—o,y = o, M = o, des modules moindres que les dérivées correspondantes de la fonction

pour CCS mêmes valeurs des variables. Car on a (' mod.(DÏ^;i'*""X)u< T. 2.. .«. 1.2,. . ,11', I .'i. . .

= !.'(, . ,n.{n-\-i]. . .[n-h II').! .2

et par suite

raod. (D:;.;r""X)o < {Dï+;f-^">)u.

On a de même

inoci.(D2.;.;';-^""Y}u<(D«.;',';^"'9)o.