Considérons rcf(uatioii ditrérentielle
(4} f^^ = 'fi^'T' f ) àx-h ç>(^, y, f )(/j,
qui satisfait à la condition (2), et dans laquelle nous donnons à la fonction c la valeur initiale r = o pour a: = o, 7 = o. Si cette nouvelle équation admet une Intégrale holomorphc, on obtiendra ses dérivées
( I } Théorie des fo
partielles successives au moyen des équations
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^C (V Tli '?^<' .ï
analogues aux équations (3). Quand on y fait x = o, y=o, r = o, la fonction et ses dérivées partielles prenant toutes des valeurs positives, les seconds membres sont des sommes de termes positifs, et l'on
en déduit successivement pour i~\ ■• [^} ■, i-y^] > ■■■ des valeurs positives.
En comparant les équations (3) et (5), on voit que les modules des quantités l^j ■< (t-\ ■> (j-r) ' •■■' déduites des équations (3), sont respectivement moindres que les quantités positives (x") ' (j^) ' iquations (5),
La fonction e existe. Car l'équation (4) se ramène à une équation différentielle ordinaire
ai
et par suite à l'équation finie
EQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES, d'où l'on déduit
i£!\ . I '-Mo , / x-\-y\
(6) ,.=.r-;-^.+ ^-los(^.-^),
en supposant que, pour x- -o, y—o, le logarithme s'annule et le radical soit égal à +1. La fonction v reste holomorphe ('), tant que le module de x-^y est moindre que le nombre
qui est plus petit que p, et, par conséquent, pour toutes les valeure de iT et j dont les modules sont moindres que p'. Elle se développe en une série ordonnée suivant les puissances entières de x-hy, ou de œ et y,
et convergente pour toutes les valeurs de a; et j dont le module est moindre que p'. On peut en calculer les coefficients d'après les équations (5); comme nous l'avons remarqué, ils sont tous réels et positifs. Si l'on attribue à ir et à y des valeurs ayant des modules p, et pj inférieurs à p', le module de v sera moindre que la somme des modules des termes de la série, c'est-à-dire que la valeur de v pour a;^ p, eiy = ^i, ou a;-+-j=p| + p, ; cette valeur de r augmente avec p, -H p-j; mais, pour x~y= p', on a c = r; on en conclut que, pour toutes les valeurs Aq x eiy dont les modules sont inférieurs à p', le module de v reste plus petit que r.
