Considérons maintenant la série

{') TMoric des fo

dont les coefficients sont les quantités que nous avons calculées de proche en proche à l'aide des équations (3). Nous avons vu que les modules de ces coefficients sont moindres que les coeiBcients correspondants de la série (7): ainsi la série (8) est aussi convergente pour toutes les valeurs de a? et de y dont les modules sont inférieurs à p'; elle définit une fonction holomorphe des deux variables ce et y dans cette étendue, et le module de cette fonction est moindre que r.

Il reste à faire voir que la fonction ainsi délinie satisfait bien à l'équation diflFérentielle proposée (1), ou aux deux équations

Si l'on y remplace u par sa valeur (8), les premiers membres deviennent

Les seconds membres X et Y, qui sont des fonctions de x, y, u, deviennent des fonctions des deux variables œ et y, holomorphes pour toutes les valeurs de ces variables dont les modules sont moindres que p', et ces fonctions se développent en séries convergentes clans cette étendue.

et l'on calculera les coefficients de ces séries à Taide des équations

ci» ''

dx

*?X dy -

dV dy"

d'ii

= Dj

,x.|di„x

dans lesquelles 3-> ^-^ 3-^' ■•■ désignent les dérivées partielles de ^ ax of ax^ ° '

la fonction u définie par la série (8). Pour ar = o, /= o, ces dérivées partielles se réduisent aux coefficients mêmes de la série, c'est-à-dire aux quantités déduites des équations (3). On voit alors que, pour a; = o, jK = o- u = o, les seconds membres des équations (12) sont identiquement les mômes que ceux des équations (3), et que, par conséquent.

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