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im.

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Ainsi les séries (10} et {si) sont les mêmes, et les deux équations {9) sont vérifiées.

Existence des Jonctions intégrales de p équations différentielles à p variables indépendantes.

oO. Considérons actuellement un système de n équations aux diffé-

l'entielles totales à p variables indépendantes

' c/«i =X|| (/iCr +X|2rf^:! +- - .^'^ipdXp,

, ■,, ] du- — H-iidic, -\-li.3idx2 -h. . .-\-X->pdiCp,

[ du,, — X„( dx\ -^X„n(/«j +. . .^'S.npdxp,

dans lesquelles les coefficients différentiels X,ft sont des fonctions analytiques des p + n quantités iC| , x.^, ..., Xp, m,, u.., ..., «„ satisfaisant aux conditions d'intégrabilité

(T/f) l>.vX,7, +^ Xi-^IVX,-. = D^.,Xm -,-^ Xg/rI).,^,X,-A,

les indices A et ^ variant de i à /> et l'indice i de i à n. Les variables i»,, ir„, ..,, a:^, partent des points Xy^o, ir2=o, .... Xp^o, les fonctions «,, m^,, ..., «„ ayant des valeurs initiales égales à zéro. Nous supposons que les coefficients diff'érentiels X/j sont holomorphes pour toutes les valeurs Aa x^, x.,, ..., Xp dont les modules sont inférieurs

ou égaux à p,, p., p^ et pour toutes les valeurs de «,, u^, ■■■, ««

dont les modules sont inférieurs ou égaux à /•,, r.,, ..., z-,^; pour simplifier, nous remplacerons les rayons pi, p.,, ..., p^ par le plus petit d'entre eux p, et de même les rayons r,, r^, ..., r„ par le plus petit d'entre eux r. Appelons M le maximum des modules des fonctions X^a dans cette étendue. Leurs dérivées partielles ont pour x, = o, x..^ o, ..., Xp = o, u,=o, «2 = 0, .... u,i^=o des modules respectivement moindres que les dérivées partielles correspondantes de la fonction

pour les mêmes valeurs des variables ( ' ). Si l'on compare les équations

yGoosle

ÉQUATIOKS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES, différentielles (i3) aux équations différentielles

/ di>, —a^dx, -V- (sfdxi. -H- . • + (fdXp, , -, ) dv-i = ^dx, -+- fd.X2 +. . ■-\-<^dXp,

i dv„---i'sdx\ ^ <ifdxi+ . . .-^ odXp,

où 9 désigne la fonction précédente dans laquelle on remplace u, , «2,

..., H„ par C|, r, c„, et si l'on admet que les fonctions intégrales

existent de part et d'autre, on verra, comme précédemment, que les modules des dérivées partielles des fonctions «/, déduites des premières par un calcul de proche en proche, sont, pour x^ = o, a;^ = o, .... Xp^Oy respectivement moindres que les dérivées correspondantes des fonctions C/ déduites des secondes par un calcul analogue.

51. Il est facile d'intégrer les équations (i5). Car on a et chacune de ces équations se réduit ïi

P et donne l'équation ftnic

d'où l'on déduit

(,6) .^,-[,-'y/,+ '"'^;'"^ og(,- ""-^ "■+'■■+ '''■ )]■

en supposant que, pour a-, = o, a;.^—-o, .,,, .rp = o, le logarithme s'annule et le radical ait la valeur -i-i. Cette fonction reste holomorphe, tant que le module de a;, -4- a;^ -+-... + a;,, est moindre que le nombre

yGoosle

et, par conséquent, pour toutes les valeurs des variables x,, x.^, ..., sCj, dont les modules sont moindres que p', et son module est plus petit que r. Elle se développe en une série

convergente dans la même étendue, et dont on peut calculer les coefficients à l'aide de l'une des équations (i5), par un calcul de proche en proche.

Les séries

, „i fdiiA x\ I <)ui\ X,, (d'i.ii\ X-,

''"' '""(.li;). T +■■■-■ (55;). f + (,-3ïf).7:ï+-'-'

dont les coefficients sont les quantités déduites des équations [l'à) par le calcul de proche en proche, sont convergentes dans la même étendue, puisque les modules de ces coefficients sont moindres que les coefficients correspondants de la série (17). Ces séries définissent donc des fonctions holomorphesu,, u.,, ...,«„ des /? variables indépendantes a;,, x^, ..., Xp, pour toutes les valeurs de ces variables dont les modules sont moindres que p'. On vérifiera, comme précédemment, que ces fonctions satisfont bien aux équations différentielles proposées {i 3).

Fonctions implicites de plusieurs variables.

52. L'existence des fonctions implicites de plusieurs variables se ramène à l'intégration des différentielles totales. Soit l'équation

dont le premier membre est une fonction holomorphe de x, y, u, dans le voisinage des valeurs initiales x„, y„, «„. Si l'équation est vérifiée par une fonction holomorphe u des deux variables indépendantes x et y, cette fonction satisfera a l'équation différentielle

(30) du — — =~dx — ~^ dy--- Xdx -^Ydy.

Si pour les valeurs initiales la dérivée partielle D„F n'est pas nulle, les fonctions X et Y étant bolomorphes, la fonction u existe. Soit maintenant un système d'équations simultanées

-, JCji, lli, Ui, -, Xp, lli, Ui,

Vn[x,,X-i,

dont les premiers membres sont des fonctions bolomorphes des quantités ic,, x.;^, ..., Xp, u^, u.,, ..., «„ dans une certaine étendue. Si les fonctions «,, «;,, .... h„ des p variables indépendantes a;,, x.^, ..., Xp vérifient ces équations, elles satisferont aux équations différentielles

- --;- dxp -I

- du\ -^ ■

du,, dTa

Lorsque, pour les valears initiales, le déterminant fonctionnel

àtt.

i)ii„

dV,

' ■ du,.

du-.

du,,

n'est pas nul, on en tléLluit pour clu^, du.,, ..., du,, des expressions de la forme {r3}, et la question est ramenée à l'intégration.

SECONDE PARTIE. - CHAl'lxaE IX.