CHAPITRE IX

liQUATIOSS DirFÉIiE>'TrELLES AliÉLIEKNF.S.

Existence des fonctions intégrales.

53. Étant donnée une équation irréductible ^[x,y) = o du degré m, nous avons désigné (n° 13} par Q,, Q^, ..., Qp les p polynômes entiers en œ et y, du degré m — 3, qui entrent dans la formation d'un système d'intégrales abéliennes de première espèce

Considérons le système des p équations différentielles

dans lesquelles nous regarderons les p quantités x,, x.., ..., x^ comme des fonctions des p variables indépendantes u,. u., u^. Nous représenterons ces équations par la notation abrégée

en faisant varier l'indice i de t à p. On donne en outre les valeurs

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ABÉLIEKNES. 91

initiales {^''^\ y'^') des p fonctions {^la y/t) pour les valeurs uf' des variables «,.

On peut mettre ces équations sous la forme tinie

A chaque système de points {x,,y,], (^^,7.). ■■■, (■^...JV) (Correspond un système de valeurs des variables m,> augmentées des mêmes multiples de 2p périodes correspondantes.

Résolvons les équations (i) par rapport à dx,, dx.., ..., dx^. En appelant A le déterminant

TiO

et A|S le déterminant mineur résultant de la suppression de la ligne de rang i et de la colonne de rang k, on en déduit

dz-R ^ ( -

Si, dans les équations (i), on regarde les quantités «^ comme des fonctions des variables x/,, chacun des coefficients différentiels ne contenant que la variable correspondante, les conditions d'intégrabilité sont évidemment satisfaites. On en conclut que, réciproquement, dans les équations (6), où l'on regarde les quantités x^ comme des fonctions des variables «,-, les coefficients différentiels satisfont aussi aux conditions d'intégrabilité. En vertu du théorème général sur l'intégration des équations aux différentielles totales {n" 50), il existe

p fonctions x,,- des p variables w,, satisfaisant aux équations (6), et admettant les valeurs initiales données. Ces fonctions x/, restent holomorphes par rapport à chacune des variables «,-, tant que les coefficients différentiels restent eux-mêmes holomorphes par rapport aux quantités x^ qu'ils renferment. Les coefficients différentiels peuvent cesser d'être holomorphes, soit lorsque les fonctions wj, acquièrent des valeurs finies qui annulent le dénominateur, soit lorsqu'une ou plusieurs d'entre elles deviennent infinies.-

Le déterminant A est une fonction entière et alternée des p points {x/^,yi), du degré m — 3 par rapport à chacun d'eux. Le déterminant mineur Ai/,, qui est indépendant du point {x/,,^^), est une fonction alternée des p — i autres points.

Loi de permutation des fondions intégrales.

54. Le déterminant A s'annule d'abord lorsque, dans leur variation, deux ou un plus grand nombre de points [x/„yi,) viennent à coïncider. Supposons que, pour certaines valeurs des variables m,, les n points [x,,y,), (x^ty^), ..., {x„,y„) coïncident avec un point (^, ■/)), différent des points critiques de l'équation 'F(x,y) = o. Posons

Xi—l + x',, X2 —l + x'2, . . ., x,r-^^ + x',),

x[, x',, ..., x',^ étant des quantités infiniment petites, et remplaçons ces n quantités par les fonctions symétriques

Si l'on pose

le système des équations (G) sera rempLtcé par le système éqiiiva-

lent

ftQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ABÉLIEKNES.

les indices r et 5 variant, le premier de r à n, le second de i à p -- n.

Les n racines j|, j-^, .... y„ étant voisines d'une même racine simple de l'équation F(a;,j) = o, et, par conséquent, appartenant à une même branche de la fonction algébrique y de ir, sont représentées par la même série

Après la substitution de ces valeurs, le déterminant A devient une fonction alternée des n quantités a;\, œ'^, ..., x[^, et il est divisible par le produit des "^"~'' facteurs binômes x'^ — œ\, dans lesquels les indices g et h sont des nombres entiers différents, égaux ou inférieurs

à n; le quotient, qui est une fonction symétrique de x[, a?^ x'^,

se transforme en une fonction holomorphe de s,, z,, .... z„. Le déterminant mineur A;„+j étant aussi une fonction alternée des quantités cc\, x\, ..., x\^, est divisible par le même produit, et le quotient est une fonction holomorphe de s,, z^, ..., z„. Le numérateur N^^' est le déterminant que l'on obtient quand on remplace dans le déterminant A la ligne horizontale de rang i par les quantités

'rœ\'^^'F'y[Xi,Xi], rx'.[~^'?y{X'^,yi), ..., rx',^~'Y'y[x,i, fn], o, o, ,.., o;

ce sera aussi une fonction alternée de x\, x[,, ..., !c\^, divisible par le même produit. En général, le quotient du déterminant A par le produit des facteurs binômes x'^ — x\ ne s'annule pas avec les quantités œ\, x'.^, ..., x'i^. Dans ce cas, après la suppression des facteurs communs, les coefficients différentiels, dans les équations (8), deviennent

<li SECONDE PARTIE. — CHAPITRE IX.

des fonctions holomorphes de z,, z^, ..., z,„ ir„+,, a;„+2, ..., x^. On en conclut, d'après le théorème général sur l'intégration, que les fonctions intégrales s,, z„, .... z,,, x„+^, x,,^^, ..., Xj, de ce système d'équations différentielles restent holomorphes dans le voisinage des valeurs considérées des variables «/, Il est clair que toute fonction entière et symétrique des n quantités a;,, x.^, ..., x,^ jouit de la même propriété.

Les n quantités a;,, x.., ..., x„, qui deviennent égales, étant les racines d'une équation du degré n,

(lo) a;" - -l, X"-' H- ^, x"-=- . . .+ (- i)" 4-,, ^. o,

dont les coefficients sont des fonctions holomorphes des variables «,, dans le voisinage des valeurs considérées, reprennent les mêmes valeurs pour les mêmes valeurs des variables, ou se permutent entre elles. Supposons, par exemple, que l'on attribue aux variables u, des accroissements de la forme tli{t), t étant une variable infiniment petite, et ).,(i) des fonctions arbitraires de t, développables en séries entières; quand la variable t tourne autour du point t=o, les n racines se permutent en formant un ou plusieurs systèmes circulaires. Comme à chaque valeur de x est jointe une valeur déterminée de y, d'après les équations {9), les n points (a;,, j,), {x.;^,y.^), ..., {x,,, y,,) se permutent suivant la même loi.

Si, en même temps, un second groupe de points (^„^.,, j',i+,), {^n^i' yit+-i)f ■■■- (;»„«/,/,,+,/) coïncidait avec un autre point, différent aussi des points critiques, on effectuerait une seconde transformation analogue à la précédente, et l'on arriverait à la même conséquence.

55. Supposons que, pour certaines valeurs des variables m,, les n points (ir,,/,), {iP^.y^), ..., {x^, y„) viennent coïncider avec un point critique (a, b), et que les n racines j'uj'j, ■■.,y„ appartiennent à un même système circulaire de p racines. On effectuera la série des transformations relatives à ce système circulaire (Chap. 1), ce qui revient à la substitution

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ABÉLIENNES. 93

y étant une fonction holomorphe de ce'. L'expression dilTérentielle

se transforme en une autre

¥'^l' [ic' , x' ) ' et les équations proposées (i) prennent la forme

Les n racines y',, y'^, ■■■■> y'n étant voisines d'une même racine simple de l'équation F''(ir', j') = o, on est ramené au cas précédent; toute fonction entière et symétrique des n quantités œ\, œ'^, ..., œ\, sera une fonction holomorphe des variables «,-, dans le voisinage des valeurs considérées des variables et, par conséquent, ces quantités reprennent les mêmes valeurs, ou se permutent entre elles. Comme à chaque valeur de a/ correspond un seul système de valeurs de x et j, d'après les équations (il), les t* points {a?,, 7,), {x^,y^\ ..., [x,„y„) se permutent suivant la même loi.

Si un second groupe de n' points venait coïncider avec le même point critique {a, V), de manière que les n! racines y^-^, , y „->■■>■< ■•■• yii+// appartinssent à un autre système circulaire, on effectuerait pour ce second groupe une substitution analogue à la précédente. Les n' points {x„^,, y„+,), {x,^^^, y,,^^)' •■■- (■^h+-//i y/iw/) se permuteraient entre eux de la même manière.

Il peut arriver que, pour certaines valeurs des variables «„ une ou plusieurs des fonctions intégrales ^^ deviennent infinies. Dans ce cas, on effectuera, pour ces fonctions, la substitution ^= -7; les termes correspondants des équations (r) seront remplacés par des termes de même forme.

Toutes les circonstances dont nous avons parlé se présentent. Car,

d'après les équations (3), quand les points {cci,, y/,) décrivent des lignes aboutissant h des points donnés, les quantités h, décrivent des lignes correspondantes et acquièrent des valeurs finies et déterminées. Réciproquement, si les variables Wj décrivent les secondes lignes, les fonctions {ce,,, j';,) décrivent les premières. Ainsi, il y a des systèmes de valeurs des variables «,• pour lesquelles n fonctions [x^, j-^) deviennent égales à une quantité donnée, n' égales à une autre quantité donnée, etc.

Cas d'indétermination.

56. Le déterminant A peut aussi s'annuler, sans que deux des points (i»A, /i) coïncident. D'après ce que nous avons dit au n" 13, l'équation générale des courbes du degré m — 3, qui satisfont aux conditions relatives aux points multiples de la courbe F = o, est

(i3) Q^MiQi[iC,r) + M2Q2(^,r)-i-...H-M(,Q;,(,2:, j) = o,

M,, Ma, .... Mp étant des constantes arbitraires, La condition A = o signifie que les p points {ce,,, y,,) sont situés sur une courbe Q = o de cette espèce.

Supposons que les points (a;^, j/,) viennent coïncider respectivement avec p points (2^, v^.) situés sur une courbe Q = o, du degré m — 3, satisfaisant aux conditions relatives aux points critiques, et appelons y,- les valeurs correspondantes des variables M;. La courbe Q = o coupe la courbe F = o en ap— a points différents des points critiques {u° 14), savoir les p points {l,,, v)^) et p — a autres points que nous désignerons 'par (k^., p^). D'après le théorème 'd'Abel (n'^45), on a, pour chaque intégrale abéliennc,

(■-1) |]«"-'(^^--fl^)- ^ ««Ma*,p.l^K/,

K, étant une constante, d'oii l'on déduit

{i5) ,,„;,..„K,-"|] ««.(«,„ |3,,!-|]».')(4", rn-

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ABÉLIENNES. 97

La courhe Q = o est définie par p — i points pris à volonté sur la courbe F = o, par exemple par les p — 2 points («i, {i/,) et l'un des points {l/„ r,h). Lorsque les p points [l,,, r,^) se meuvent en restant sur une courbe variable Q = o passant par les p — 2 points fixes («/,, fi^), les valeurs y^ conservent des valeurs constantes. Il en résulte qu'à un système de valeurs -'i des variables h,-, valeurs données par les formules (r5) dans lesquelles entrent p — 2 points (a;,, ^^) pris à volonté sur la courbe F = o, correspondent une infinité de systèmes de valeurs des fonctions (;»*, j^), dont l'une est arbitraire; chacun de ces systèmes de points {x/,, y,:) est situé sur une courbe Q = o passant par les p — 2 points fixes («a- %]■

57. C'est li» le seul cas d'indétermination. Car, pour que les p différentielles dui soient nulles, sans que les p différentielles dw^ le soient, il est nécessaire, d'après les équations (i), que le déterminant A soit nul, et par conséquent que les p points (if^, /*) coïncident respectivement avec p points [1^, t,/,) situés sur une courbe Q = o, du degré m — 3, satisfaisant aux conditions relatives aux points critiques. Si l'on désigne par (a^, p^} les p — 2 autres points d'intersection des courbes Q = o et F = o, les valeurs y,- des variables w, ont alors la forme (i5). Pour une variation infiniment petite de la courbe Q = o, on a, d'après l'équation (i4),

i)t les équations différentielles (2) deviennent

Pour que les p seconds membres, qui sont des fonctions linéaires des p — 2 différentielles dx,,, soient nuls, il est nécessaire que ces différen-

lielles soient nulles séparément, et par conséquent que la coijrlM>

variable Q = o passe par p — 2 points fixes («s, p*).

58. Supposons que les points {^1,, y/,] soient voisins des poinls (?A. ''14)1 situés sur la courbe Q = o, représentée par l'équation (i3). Si l'on pose iCi=:li,-h jTj, «,■ = fi -h «(■, on a, en développant en séries,

I,-. L t = Art + ^Ai^x^ + 3A,,i^A- + . . . , et les équations (i) donnent par l'intégration

(16) y (A,7,a>i + A/.ia^;,' -4- . . .) = «;■■

On peut remplacer l'une des équations {1) par l'équation il'oii l'on déduit

] =iiiiii -hM-i u', -.-... — M,, »|'|.

Les quantités u[ sont des quantités infiniment petites du premier ordre, comme les quantités cc'^,; mais le second membre de l'équation (17) est une quantité infiniment petite du second ordre. Si l'on pose, comme précédemment (11° 54), u,' = jfl,-(2), en désignant par l une quantité infiniment petite du premier ordre, on en conclut que les valeurs limites des fonctions >.;(2} satisfont h la relation linéaire

(18) Mi^,(o) + M2>.-;o)+...-^M„>,(o) ^o.

yGoosle

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ABÉLIENNES, 99

59. Réciproquement, supposons que les variables u^ passent d'un système de valeurs y,-, données par les formules (i5), à des valeurs voisines y,' + u], que nous représenterons par y; + t\i[t), les fonctions >.,■(;) étant données et la variable t infiniment petite. Considérons la courbe Q = o du degré m — 3 définie par les p — 2 points (k^, ^j,) et la condition (i8), ce qui fait p — 1 relations linéaires et homogènes entre les p coefticients M,- ; cette courbe coupe la courbe F = o en p autres points (E^, vi^); pour la continuité, il faut concevoir que les fonctions intégrales [œ^,ji,) partent des valeurs initiales (^a, ''î*) pour t=o. De p~ r des équations (16) on tirera les valeurs de oc'.., x'^, ..., x[„ exprimées par des séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de t et de ic,; en portant ces valeurs dans l'équation (17), dont le second membre est une quantité infiniment petite du second ordre, on obtiendra une équation entre t et ic, ne renfermant pas de termes du premier degré. Mais, quand les quantités «,- conservent les valeurs constantes y,-, les points {x/,, y/,) se meuvent en restant sur une courbe variable Q = o passant par les p— 2 points fixes (œ^, ^/,) et le point mobile (^1,^1); il en résulte que la dernière équation est vérifiée par î = o et une valeur arbitraire de a;[ ; elle ne renferme donc pas de terme indépendant de t; on divisera tous les termes par t, et l'on en déduira la valeur de xj exprimée par une série ordonnée suir vaut les puissances entières et croissantes de t. Ainsi, à un système de valeurs y,H- A;(i) des variables h, correspond un seul système de valeurs l/,-[-a;/^ des fonctions x/,.

Supposons maintenant que l'on attribue aux variables w,- deux systèmes de valeurs vH~^^i(0 ^^ *,'( + ^[^i{')' voisines de y/. Les variables rétrogradant de y,-i-ï>./(i) à y,-, les fonctions reviennent de ^i-has^ à ^4. On imaginera ensuite que les quantités ui conservant les valeurs constantes y,-, les fonctions varient en restant sur une courbe du degré m — 3 passant par les p — 2 points fixes («/,, p^.), et se déformant d'une manière continue, jusqu'à ce que ses coefficients satisfassent à la relation

M,<A,[o)-hM..,u,[o)H-.,.~l-Mpp„(o)=o;

les fonctions auront alors des valeurs {Vf,, -r,'^). Les variables ;;, allant enfin do y,' à y,--l- ï[a/(ï), les fonctions acquerront des valeurs l/^-\-xl.

infiniment voisines de l'^. De cette manière, les fonctions passeront, pai" une variation continue, des valeurs Hj + ^a aux valeurs très-dilTéreiites ^j-rir^\

Quand nous avons étudié la marche des fonctions, lorsque n points (i^i'/i)' (^i' y-^)' ■■■< (^«' 7«) coïncident (n'*54), nous avons supposé que le quotient du déterminant A par le produit des facteurs binômes x'^ — x'/^ ne s'annule pas avec sc\, œ',, ..., œ\^. Le cas où ce quotient est égal à zéro rentre dans celui où les p points [x^, yk) sont situés sur une courbe du degré m— 3. Car, lorsque les points sont différents, cette condition signifie que les points sont situés sur une courbe du degré m — 3; dans le cas actuel, on regardera les n premiers points comme étant infiniment rapprochés.

Définition des fondions abéliennes.

60. De ce qui précède, on conclut que, à Texception des valeurs des variables pour lesquelles il y a indétermination, toute fonction rationnelle et symétrique des p quantités œ^, x.. a^^ est une fonction monotrope et méromorphe des p variables indépendantes «,, u.., ..., Up. On a donné à ces fonctions symétriques le nom Aq fonctions abéliennes. Si l'on considère, en particulier, les fonctions symétriques

',, = SCiXi. . .if,,,

les fonctions intégrales a:,, x.., ..., .Tj, des équations différentielles (t) seront les racines de l'équation

(20) x''' — '^\X''~^ -',- r^iX" ■- — . . .-!- (— [)?9,, = 0,

du degré p. Comme à chaque valeur de x,, est jointe une valeur déterminée de y/,, il en résulte qu'à tout système de valeurs des variables Ui, excepté celles pour lesquelles il y a indétermination, correapond un seul svslème de points (a?^, y,). L'intégration des équations

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ABÉLIENNES. 10!

diirérenlielles proposées revient à la formation de l'équation (20) cl au calcul de la valeur de/j qui se rapporte à xi,. Plus généralement, considérons la fraction rationnelle

'!^[x, y) et ^[x, y) étant deux polynômes entiers en a? et 7. A cliaque système de valeurs des variables «,, excepté celles pour lesquelles il y a indétermination, correspondent p valeurs

9 '>*i>rii' ?('^i'r-!)'

de la fraction. Toute fonction rationnelle et symétrique de ces p valeurs sera appelée \m% fonction abélienne. Les fonctions abéliennes sont donc des fonctions méromorphes des p variables «,-, sauf l'exception indiquée; elles reprennent les mêmes valeurs, quand on augmente simultanément ces variables dos mêmes multiples de ap périodes correspondantes.

Les p systèmes de ap périodes correspondantes qui se rapportent aux variables U; sont

et nous avons vu (n''29) que les périodes relatives aux deux v;iriables m, et u,, satisfont à la relation

Nous pouvons, sans restreindre la question, supposer les équations différentielles (i) formées avec les polynômes Q^ qui entrent dans la composition des intégrales normales de première espèce (n" 33); car, pour opérer la transformation, il suffit de remplacer les variables in-

dépcndaiitos «, jior de nouvelles variables u] définies par les relations

II) :=\ MjiUi,

sans clianger les fonctions x,,. En adoptant les périodes normales, les systèmes de périodes correspondantes sont alors

et la relation qui existe entre les périodes relatives aux deux variables Ui et u,- se réduit à

(''■'-) Cki ^^ eu..

Afin de simplifier, nous remplaecrons, dans les équations ('3),

par H/; ces équations prennent alors la forme

(■j3) \ «"■' \xi;, y-h] -- m.

Ceci revient à supposer que les variables h,- sont égales à zéro, quand les p points [x^, y^) coïncident avec le point {x^, y^), choisi eonime origine dans la définition des intégrales abéliennes. La formule {i5), qui donne les valeurs y/ des variables pour lesquelles il y a indétermination, se réduit à

(^4) -A--^i*,— ^ «f"(xs,[3*;.

yGoosle

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ABÈLIENNES.

Cas des fonctions iiUra-ellipiiques.

61. Les intégrales ultra-elliptiques (n" 37) étant de la forme

n^-''>[x,f) -— f dx,

on a les équations différentielles

Occupons-nous surtout de l'indétermination. Le polynôme Q étant ici un polynôme entier en x du degré p — i, la courbe Q = o se réduit à p— T droites de la forme aT = ?; elle coupe la courbe

y- =^ G [x ~ a\] {iz — a-i'^- . . . {œ — «jih-:>)

en 2p — 2 points, symétriques deux à deux, c'est-à-dire de la forme [x, y), (a;, —y). Des p points (l,,, -n^) situés sur la ligne Q = o, deux sont nécessairement symétriques; le second point (^2> '"j) coïncide, par exemple, avec le point (S,, —r,,], symétrique du premier (^|, r,^); alors les p — 2 autres points d'intersection, que nous avons désignés par («^, px)i coïncident respectivement avec les points (Ç^, — via), (^i. — 'i-O' •■■• iK' ~'^i')' symétriques des suivants (^3,vi„), [^i,-/i,), ..., (Ep, ■ïip). Si les points («^., p^) sont fixes, les p — 2 derniers points (Ei. ^i) le sont également, tandis que les deux premiers varient en restant symétriques l'un de l'autre. Dans les premiers membres des équations (aS), les p — 2 derniers termes sont nuls, tandis que les premiers sont égaux et de signes contraires, et l'on a (/«, = o. La ligne Q = o a pour équation

les coefficients dépendent des p — 2 quantités fixes S:|. ïi, ..-, ^1,, et contiennent l'abscisse variable c, au premier degré.

lOi SECONDE PARTIE. - CHAPITRE )X.

Supposons que les variables «,■ passent des valeurs y,- à des valeurs infiniment voisines i',--i-ï>.,(i) (n^SO); la relation (i8) du n° 58 déterminera i, par une équation du premier degré. Conservant la première des équations (25), celle qui correspond h i= i, nous remplacerons les suivantes, excepté la dernière, par les équations

-^ dx)i~diu': — i, U'i..,

l'indice i variant de 2 ;i p - i, et la dernière par

[^81 y 9i^'û axi. - <-/(w, u\ -^ yuii', + . . . -1- m„ »;,).

("omme on a

y'i~ 'ti '.-ri\x\-\--/i'[x\'- -■■-.. ., y-!-- — -fi , — Yi', .x'2 ~ yi", x'.f -!-.,.,

les deux premiers termes, dans toutes ces équatîoi^s, sont alternés par rapport ii x\ et .t.'. On en déduit, par l'intégration,

(■25) Ai(^; — .x'.^] 'h h.\[x'i'—x'.r] -;-. . .-!-> (A^^J, -1- AJa'Î" + . . .) = u\,

[3o} K'îiJyX^- — x'.^] — ... + \ [kihx'i, +. . .] r= «,' — Çii(,-.|,

[■^1 ) X\ [x\-^x'.?) + ...+ > (Xî^i"-!-. . .; = Mj ?;; + M; H^-l-' - ■ + H[."i',-

Des p — 2 équations (3o), on tirera les valeurs de x'^, x\, ..., x[, exprimées par des séries entières en t, x\, x'.^, de la forme

[^1) x'i,=^ght-\-g'ut-^...+ [x\ — x\)fk[t,x\,x'..],

les fonctions f^ ne contenant pas de terme constant. En portant ces valeurs dans les équations (iîq) et (3t), on obtiendra des équations

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ABÉLIENNES.

(le la forme

-hA'f"

iC',,

la fonction ■p, ne contenant pas de terme constant, et la fonction h^ ne contenant ni terme constant, ni termes du premier degré. De l'équation (33), on tire

ht-\- h' t'^ + . . . . - , , , , ,^-,

' - A|H- '^,{t, x\, x^] ^ w 1 iii

la fonction Xi ne contenant pas de terme constant. Si l'on remplace x\ —x'^ par cette valeur dans l'équation (34). tous les termes sont divisibles par t, ce qui est d'accord avec la remarque faite au n" 59, et l'équation se réduit à la forme

(35) /ij^l,', (^;-+-iC2) + X3(^'*i'^2)=^^ + ^'^" + '-''

la fonction ^s ne contenant ni terme constant, ni termes du premier degré. Des équations (33} et (35) on déduira les valeurs de x\ et

de x'^ exprimées par des séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de t.

SECONDE PARTIE,