CHAPITRE X
Li FONCTION e.
Séries à p dimensions.
62. Les propriétés des séries à double entrée ('), ou à deux dimensions, peuvent être facilement généralisées et étendues aux séries à p dimensions. Considérons d'abord une série à triple entrée, ou à trois dimensions; un terme quelconque est affecté de trois indices, que l'on fait varier de — ■» à +<»; ayant choisi une unité de longueur arbitraire, on peut regarder ces trois indices comme étant les coordonnées d'un point par rapport à trois axes rectangulaires dans l'espace, et supposer que le ternie de la série est placé en ce point. On dira que la série est convergente, lorsque la somme des termes enveloppés par une surface de forme quelconque tend vers une limite déterminée, quand cette surface s'étend à l'infini dans tous les sens. On démontrera, comme pour les séries à deux dimensions, que, lorsque la série formée par les modules des termes est convergente pour une forme particulière de la surface, la série proposée est convergente d'une manière absolue, c'est-à-dire que la convergence a lieu et que la limite est la même, quelle que soit la forme de la surface.
Dans les séries à/> dimensions, un terme quelconque est affecté de p indices, que l'on fait varier de — co à + qo , Par analogie, on appellera jsoinï, dans l'espace ^p dimensions, un système de valeurs réelles attribuées kp variables Xy, x^, ..., ccp, surface le lieu des points satisfaisant à une équation entre ces variables. Mais, dans l'espace à p dimensions, il convient de distinguer des surfaces à un nombre plus ou moins grand de dimensions, suivant le nombre des
(1) Théoiic des fondions cUiiitiqucs, ^. ioG.
variabîes qui restent indépendantes. Ainsi, la surface proprement dite, ou le lieu des points qui satisfont h une seule équation, est une surface kp — I dimensions. Le lieu des points qui satisfont à deux équations simultanées, ou l'intersection de deux surfaces à^— i dimensions, est une surface âp — a dimensions, et ainsi de suite; enfin la surface à une dimension, ou la ligne, est le lieu des points qui satisfont à p—i équations simultanées. Si les équations sont algébriques et du premier degré, on dira que les surfaces sont planes, ou que la ligne est droite.
L'équation
a^^ -i- a:l -h . . ■ ~\' Xp ■ - R- = o
représente une surface spkérique de rayon R, ayant pour centre l'origine. Le lieu des points qui rendent négatif le premier membre de cette équation est le volume de la sphère. En général, soit f{cc^, œ.,, ..., Xp)=:o une équation à coefficients réels, dont le terme indépendant des variables soit négatif, et telle qu'une droite quelconque passant par l'origine, a:,=^a,Xp, x^=^a^Xp, ..., Xp,=ap^,Xp, rencontre la surface en deux points réels situés de part et d'autre de l'origine, c'est-à-dire ayant des coordonnées de signes contraires; la partie de l'espace enveloppée par cette surface fermée est le lieu des points qui rendent négatif le premier membre de l'équation.
Dans les séries à p dimensions, on peut regarder les p indices comme étant les coordonnées d'un point de Vhyperespace, et supposer le terme de la série placé en ce point. Considérons une suite de surfaces fermées S,,, S,, S,, ..., analogues à la précédente, et s'étendant h l'infini dans tous les sens, c'est-à-dire telles que l'on puisse prendre «assez grand pour que la surface S,„ et chacune des suivantes S„^i, S„+,, ..., soit extérieure à une sphère de rayon donné R ayant pour centre l'origine; si la somme des termes enveloppés par la surface S„ tend vers une limite déterminée, indépendante de la forme de la surface, on dira que la série est convergente. Lorsque la série formée par les modules des termes est convergente pour une forme particulière de la surface, elle l'est pour toute autre forme de la surface, et la série proposée est elle-même convergente et la limite de la somme des termes est indépendante de la forme de la surface.
idS PREMIÈRE PARTIE. - CHAPITRE X.
63. La fonction d'une seule variable est définie par la série linéaire
dans laquelle la constante a a sa partie réelle négative et différente de zéro ('}. Elle est paire et satisfait aux relations
©(^■ + 2««) =t;-"^-"'«&{a:); elle s'annule pour les valeurs do x comprises dans la formule
où n et /) sont des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs. La fonction
&{X'i-b)Qlx + b')'
dans laquelle a, a', h, b' sont des constantes satisfaisant à la -relation a-\-a' =:b + h\ est une fonction méromorphe de x, doublement périodique et admettant les deux périodes 27;\/— i et 2k.
Fonction 6 de deux variables.
64. La fonction 6, imaginée par Jacobi, a été étendue par lui à un nombre quelconque de variables. La fonction de deux variables x et jr est définie par la série à double entrée
dans laquelle m et n sont des nombres entiers que l'on fait varier de
(') Tl/éorie des fonctions elliptiques, p.
— 3c à -f- îo , ffi, p, Y des constantes dont les parties réelles a', p', y' sont telles que la partie réelle du polynôme homogène et du second degré m^x-h n^^-y- 2mny ait une valeur négative et différente de zéro, pour toutes les valeurs réelles de m et n. Pour abréger, nous désignerons par P ce polynôme et par P' sa partie réelle.
Soit X ^ aa' -i~ x" <i/ — (, j^j'-f-j'y'— j ; le module d'un terme de la série est
ou
en posant ~- = i. Pour que la série linéaire formée par les termes dans lesquels le rapport — a une même valeur t soit convergente, il faut
que le trinôme a.' t- -\- 2~(' t -h [i' ait une valeur négative; comme ceci doit avoir lieu pour toutes les valeurs eom m ensu radies et, par conséquent, pour toutes les valeurs réelles de t, il est nécessaire que les quantités a' et P' soient négatives et différentes de zéro et que le discriminant a/^'—y'^ ait une valeur positive et différente de zéro.
Ces conditions suffisent pour la convergence de la série proposée. Car, si l'on pose
a ut b étant des quantités négatives, on a
et par suite
P'<«»î^ + bii'^.
Le module d'un terme de la série est moindre que
La somme des modules des termes enveloppés par une courbe fermée
quelconque est plus petite que
Le premier facteur est ia fonction %{(r'] formée avec la constante réelle et négative a, le second la fonction @i,{y') formée avec la constante b, qui est aussi réelle et négative.
65. Nous allons démontrer que la fonction &{x, y), définie par la série (i), est holomorphe par rapport à chacune des variables a; et y, pour tous les systèmes de valeurs attribuées à ces variables. Si l'on remplace, en effet, dans cette série les exponentielles e'"^, e'"' par les séries qu'elles représentent, savoir
mv -V '"''■^'' „ ■ V
Il9y<l
OU obtient une série à quatre dimensions
i^\ ^ ^-,^„.^i-..,„„v mPxP nip
les nombres p et q variant de zéro à -t- =© et les nombres m et n de
— 00 à -i-ao. Cette série est convergente; car, si l'on désigne par r et r' les modules de a: et y, et par m' et n' les valeurs absolues de m et n, la somme des modules des tei'mes qui correspondent à m=±m', n = ±n' est moindre que
En laissant ni et n' fixes, et faisant varier p ei q de zéro ii H- co , on obtient une somme égale à
En faisant varier ensuite m' et n' de zéro à + « , on obtient une
LA rONCïION 0. lii
somme plus petitn que celle que l'on obtiendrait en ^faisant varier m' et'n' de — co à +CO , c'est-à-dire plus petite que
donc la série (2) est convergente.
La limite de la somme des termes de la série (2) est égale à la fonction &[x, y); car, lorsqu'on l'évalue en faisant varier d'abord p et g, on reproduit la série (i). Si on l'évalue en faisant varier d'abord m et n, on obtient l'expression de la fonction Ç\{x, y) par une série (le la forme
(3) (-)(^,rj = ^A„^/'jï;
c'est le type des fonctions holomorpbes de deux variables.
66. On reconnaît immédiatement sur la série (i) que la fonction ne change pas quand on y remplace a: et y par —x: et —y; car ceci revient à remplacer m et n par — m et — n; on a donc
Lorsqu'on ajoute à l'une ou l'autre des variables la quantité constante 377^/— J, chaque terme de la série se reproduit; il en résulte que
(5) e{x ^ ■î:: \/— I , y) = Qi'X, f],
(6) Q{x,r-\-^i^s/~) = @ix,r)-
Si l'on remplace dans la série x ety par û; + sp'/,, y -+- 2py, p étant un nombre entier, positif ou négatif, l'exposant devient
m[x -{- ^px] -\- ii{y ^ -ipy) -h m'^ a ^ -iinny -^iV^p ^= — px ~ p^ix+ [m -ir p] œ -\- ny + [m -+• p)- x -v- n{m + p) ny -{- n- p ^=- — p-x — p^ <x -{- m' X -^ ny -\- m'^a-h-î/n' ny -h n~^,
en posant m-hp^m, et l'on ix
e(x + y)a, y ^ '2p,y) --. e-J'^-P'-y- ^ e<'"'-^-'0->H':'"-:^>-n--?+2m',rO.
yGoosle
112 SECONDE PAflTIE, ~ CHAPITRE X.
Le nombre entier ni, qui diffère de m d'un nombre constant p, variant comme lui de — îo à -+- co , cette dernière série n'est autre que la série (r); on en conclut la relation
(7) 0(^- -^ ipa, X -+- -ipy] -- e-p-'--!'"-' Q[x, y). On a de mcmc
(8) Q[x^-xqy,y + -,.q!^) = e-'!y-'i'^&[x,x),
q étant un nombre entier.
De ces deux relations, on en déduit une autre plus générale
(9) 0[.-j; + 2/)s; + i(fi, x + ipy + -iqp] — e-'-P^^^r^-'-P'-^-^i'^+'-Pi'i'' Q{x, y].
En particulier, si dans les relations (7) et (8} on fait/'= i Gt q--=i, il vient
(10) <d[x ^ ncc, y ^ ty)^e-^--'-'(d[x, y), (m) @[x-.iy,y + ^<^)--=.e-y-^Q{x,y].
67. Il est évident, à cause de la convergence, que la série (i) ne change pas, quand on y remplace les deux nombres entiers variables m et n par m — p et n — q, p et q étant des nombres entiers arbitraires fixes, ce qui donne
&[X,y)= ^ e('«-7')J^^-("-7)7-^("'-p)'^^-("-'/l^P>■2("'-P)("-'/lï.
On a d'ailleurs, en remplaçant m, ti n par —m et —h,
En désignant les deux exposants par A et B, et prenant la demi-somme de ces deux quantités égales, on en déduit
e('»,r) = îS(<" + e")
Les deux exponentielles sont égales et de signes contraires, lorsque la différence
A - li . [im-p] [x -pu-fiY) ^{■xn-q] (x-'PV - '/?)
des exposants est égale à un multiple impair de -s/^i. Si l'on attribue a. X (it ky des valeurs de la forme
m! ot n! étant des nombres entiers, il suffit, pour que cela ait lieu, que le nombre m'p-i-n'q soit impair. Tous les termes de la dernière série étant alors nuls séparément, la fonction est nulle. On en conclut que la fonction &{x, y) s'annule pour les valeurs de a; et dey comprises dans les formules (12), od m', n', p, g sont des nombres entiers assujettis à la condition que le nombre m'p + n'q soit impair. Mais nous verrons plus tard que la fonction s'annule pour une infinité d'autres systèmes de valeurs de œ et j.
Il résulte de ce qui précède que la fonction
, „, <"j(^ + a ,j-+ ^ )Q(x-i-<ti,>--i-6ii
où a, h, ... désignent des constantes satisfaisant aux deux relations
reprend la même valeur, quand on ajoute séparément aux deux variables iT et y la quantité 2t.\I—i et quand on leur ajoute simultanément les quantités 2a et 2y, ou ay et 2^. C'est donc une fonction méromorphe de ces deux variables, et qui admet les quatre paires de périodes conjuguées, savoir
pour if sTry — ], 0, 2x, ■}.-/ j
yGoosle
SECONDE PARTIE. — CMAPlTiSE X.
fonction à p variables.
68. Il est facile de généraliser la délinition de la fonction 6. Nous-
désignerons par œ^, x.,, ..., Wp les /> variables, par m^, m.^ m^
un système de p nombres entiers, et par P le polynôme homogène et du second degré
qui contient -^-^^^^ — ■' constantes 0.^, telles que v.,j=-%^,^: ce polynôme est de la forme
P = in-,s'.,i + mlari-^ ■ ■ ■ + ■2«î|/«2 3:i^-+-. . . .
Nous supposerons que les parties réelles a^'^. des constantes a^^ sont telles que la partie réelle P' du polynôme P ait une valeur négative pour toutes les valeurs réelles de m,, m,, ..., m^. La fonction © des.
p variables est définie par la série
dans laquelle les p nombres entiers m,, m^, ..., m^, varient de — -tj à 4- co .
Soit Xi=^x]-{-x]'>^—i; le module d'un terme de la série est
Si l'on pose
m-i — t-iini, in-i = t:^m,, . . . , inp = f/,m,, le polynôme du second degré P' devient
Pour que la série linéaire formée par les termes dans lesquels les rap-
LA FONCTION 0, n;i
ports des nombres jn., m,,, ... à m^ ont respectivement les mêmes valeurs u, t|, ... soit convergente, il faut que le polynôme placé entre parenthèses ait une valeur négative; comme ceci doit avoir lieu pour toutes les valeurs commensurables et, par conséquent, pour toutes les ■valeurs réelles de ces rapports, le polynôme P' devra avoir une valeur négative pour toutes les valeurs réelles de m,, m,, ..., m.,. Il faut pour cela que, si l'on décompose ce polynôme en une somme de p carrés, tous les carrés soient affectés de coefficients négatifs et différents de zéro.
Ces conditions suffisent pour la convergence de la série. Imaginons, en effet, le polynôme P' décomposé en une somme de carrés dans un ordre quelconque, et soit
— = ai/»T -I- /'[ f/f I, m ■>]'-,- C\ 'mi, ;«--, mj -H-...-t- /ii li/it, iii', .... m,i:-
=.a«mi-v b-x {m-i., m\Y -\- c-x[mi, nu, mi)--i-...-!- h^ [m-., m: , m,]-
'— aptn^p-v b p[m p, m^)''-¥- Cp(mp, m\, m2i--i-...-H hp[mp, m,, .... Jiip.,]-,
iant les quantités suivant l'ordre circulaire des indices, et désignant par {m,, m..), (m,, m.., m.,), ... des polynômes homogènes et du premier degré de deux, trois, ... lettres. Tous les coefficients «tant négatifs, on en déduit
V <ia,iii'' -\-(i.>iiiî -- . . .-i- a /,//!'', --\ ann'j. Le module d'un terme de la série est moindre que
La somme des modules des termes enveloppés par une surface quelconque est plus petite que le produit
e„,(a'i)0„,(^':)...av(^;,)
de p fonctions d'une seule variable réelle et, par conséquent, la série est convergente.
116 SECONDE PARTIE. - CIIAPITIIE X.
La foii(;Lioii définie par k série (j) est holomorplie. Si l'on remplace, en effet, chacune des exponentielles e'"'-'^' par la série qu'elle représente, savoir
''iri" m'I' x'j' ^'"'^'-^ Zi. ■,.... fji'
on obtient la série à 2p dimensions
dans laquelle les nombres q^, q.,, .-■, qp varient de zéro à -+- a; , et les nombres m,, m.,, ..., nip de — 3oà +=0. Cette dernière série est
convergente; car si l'on désigne par r,, }\ r^ les modules de x„
x.,, .... Xp, et par m\, m\ .... m les valeurs absolues de m,, m.., .... ni,„ la somme des termes qui correspondent à m, = ± nz, , nz^ = ±: ml . ...,7nj,~~±m'^, est moindre que
En laissant fixes les nombres 7n\ et faisant varier les nombres qi de zéro à + 30 , on obtient une somme égale à
en faisant varier ensuite les nombres m'i de zéro à -i~ co , on obtient une somme plus petite que celle que l'on obtiendrait en faisant varier ces nombres de — ^^ à -1- 33 , c'est-à-dire plus petite que
Ainsi la série (2) est convergente.
LA FONCTION 0. 117 Quaiid on l'évalue en faisant varier d'abord les nombres ^,, on reproduit la série (t). Si on l'évalue en faisant varier d'abord les nombres m,-, on obtient une série
(3) ià[xi. Xi, ■■ .,Xp)= V Aç, j,.„ ,j, a^f I X';- , . .x'h-,
ordonnéfl suivant les puissances entières et positives des variables. C'est le type des fonctions liolomorpbes de/> variables.
69. Pour abréger l'écriture, nous représenterons la fonction b{.T|. œ... ..., cci,) de /> variables par 6(ir,), en convenant de désigner
par a-,- l'ensemble des/) variables, et nous écrirons
(4) e(,rV.^§e
On voit sur la série que la fonction ne change pas, quand on y remplace à la fois cc^, x^ Xp par —a;,, —x.,, .... —Xp, ce qui revient à remplacer les nombres m,- par —m,-. On voit aussi que la fonction reprend la même valeur, quand on ajoute à l'une des variables
la quantité it.\I—i, sans changer les autres; car chaque terme de ht série se reproduit.
Supposons que l'on ajoute aux variables x,, x.., .... Xp respectivement les quantités
■^iny.^. -^^n
n,, n., iij, étant des nombres entiers arbitraires; l'exposant du
terme général de la série devient
Remarquons que l'on a identiquement
y \ ( im -+- m ) [ mi, H - lu ) atk = S \ mi mi, air. + > V "^ "'' ^'''
et, comme les doux derniers termes sont égaux,
l \ > {mi-\-ni]{iiif,~{-it;.]ai/,-: \ \ mimk<x/k^/ / 111111.3.0,
D'après cela, l'exposant (5) devient
> iiiia-:~\-\ \ (m, -I- «/) (//u-h ka) «;/.■ - > \ nini.xii„ ou, l'n remplaçant les nombres m, par m] ■«,,
Les deux derniers termes de l'exposant, qui sont les mêmes dans tous les termes de la série, puisque les nombres n sont constants, donnent lui facteur commun
et ce facteur est multiplié par la série
2 '"'■■t-n- 2 ^ "-Wk^^i,
yGoosle
LA FONCTION e. 119
qui est identique à la série (4). puisque les nombres m', varient, comme les nombres th,, de — qo à -i-îo . On obtient ainsi la relation
En particulier, si l'on remplace les variables x,, x.,, ..., x^, ]
il suffit de supposer, dans la formule générale, que le nombre «, est égal à r, et que les autres nombres n sont nuls, et l'on a
(8) Q{a:i + iah]----e-''--''-Q{xr,.
On a de même
(()) ( .3'/ -I- '2 ^/ 1 -^icci-^ ^ff-(..i,+.i\i-(y.,,+-ir,+-iy..,!; t)j^7J.
70. Si l'on désigne par q,, q.^ q^ des nombres entiers fixes, il
est évident, si cause de la convergence, que la série (/[) ne change pas, quand on y remplace les nombres variables m, par les nombres "îi — ?/> et l'on a
on a d'ailleurs, en remplaçant les nombres m, par —m,,
i deux expo les, on en d
En appelant A et B les deux exposants et prenant la demi-somme de <;es deux quantités égales, on en déduit
Ces deux exponentielles sont égales et de signes contraires, lorsque la différence des exposants est égale à un multiple impair de -v'— i; cette différence étant égale à
A - B =^ ( •. mi - qi ) [xi - *|'Vy. u,^ > si Ton attriliuc aux variables des valeurs de la forme
{i o ) a:i—- m T. \l— i H-A -7,,- xik,
il sulfit, pour Lfue cela ait lieu, que le nonibre\ Ji^gi soit impair. On
en conclut que toutes les valeurs des variables comprises dans la formule (lo), dans laquelle n,, n.., ..., n,,, 9,, q.., ..., q^ sont des nombres entiers satisfaisant à la condition indiquée, annulent la fonction &{Xi).
Il résuite de ce qui précède que la fonction
' " ' H ( x7+ l>y ') Q{xi^ b'f r. . - 1) ( ^i '-+- W ;
(les /j variables x^, dans laquelle les o-np constantes a ai b satisfont aux p relations
l'indice ('variant de i à /», reprend la même valeur (|uand on ajouie à l'une des variables la quantité it.\1~i, et aussi quand on leur ajoute simultanément les quantités
k étant l'an quelconque des indices 1, 2, ..., p. C'est donc une fonc-
tiou méi'omorphe admettant a/» systèmes de périodes conjuguées. Cette fonction présente le même caractère que les fonctions abéliennes, quand on met les équations différentielles abéliennes sous la forme normale (n° 60). Aussi nous verrons qu'il est possible d'exprimer les fonctions abéliennes à l'aide de fonctions analogues à la fonction (i i), o,n choisissant convenablement les constantes.
SECONDE PARTIE
