CHAPITRE XI

'liOPRIÉTÉS ni; LA FONCTION |"u"' (.T, r)j .

71. D'îiprès la remarque du n" 35, lus périodes normales do pairs 2%, des p intégrales normales de première espèce

périodoM donnétis par des intégrales définies suivant des cvcles convenablement choisis, satisfont h la condition nécessaire et suffisante, pour qu'avec ces constantes on puisse former une série convergente, définissant une fonction de p variables x,, x.,, ..., x^ (n" 68). Supposons que, dans cette fonction, on remplace les p variables œ^ par les quantités «'''(a?, j) — Gi, en désignant par G,- des constantes arbitraires et par u^''>[a:, y) les p intégrales normales de première espèce, évaluées suivant un même chemin allant de l'origine (x„, j,,} au point [ce, y) et considérées comme des fonctions de la variable analytique (£C, y); nous obtiendrons une nouvelle fonction

de celte variable, dont nous allons étudier les propriétés.

Si l'on change le chemin qui va de l'origine (a^„, y„) au pnii {x, y), les intégrales u^'\x, y) acquièrent, par l'addition des périodes une infinité de valeurs comprises dans la formule

yGoosle

PROPRIÉTÉS DE LA TONCTION &l,i'''{.v,y)\. ii'i

w'^ étant les valeurs relatives à un même chemin choisi à voloiitt', m,- et n* désignant deux systèmes de p nomhres entiers arbitraires. D'après la formule (7) du n"69, la fonction &[u''>(iv, y) — Gi] acquiert au point {œ, y) une infinité de valeurs égales à l'une d'elles multipliée par l'exponentielle

72. Afin de rendre la fonction monotrope, considérons le contour simple formé par la droite 0/, la grande circonférence de centre et la suite des lacets de première espèce relatifs aux points critiques {Jig. H)). Désignons, comme nous l'avons fait au n"25, par u'I' h va-

leur de l'intégrale u'-^'' fournie par un chemin Onx partant de l'origine (■^ot Vu) tangentiellement à la droite 0/, d'un côté ou de l'autre, et allant à un point x de la partie du plan enveloppée par le contour, sans franchir aucune partie de ce contour, et par «',", m!,", ..., i/,",, les valeurs fournies par ce même chemin, précédé des suites de lacets fondamentaux de seconde espèce qui conduisent de la racine initiale y,, aux autres racines y,, j%, . ..,/,„__,. Chacune des intégrales abéliennes u^'^ ayant ainsi m valeurs uf, qui sont des fonctions holomorphes de as dans la partie du plan enveloppée par le contour, la fonction (2)

SECONDE PARTIE

qui seront aussi des fonctions hoioinorphes de œ dans la même étendue. Nous avons vu au n" 25 que la différence «!'"— «If.,., des valeurs de l'intégrale u'" en deux points m' et m sur les bords opposés de 1» coupure Oa [fig. 7) est égale à la période A'i,'^*^'- de cette intégrale, relative au cycle simple formé de lacets fondamentaux de seconde espèce et du lacet binaire (a')'; '. Le rapport

(-)«'•■-(;,■) ^ Q(fC,-G/ + Af "-' ) H(<'.,-Gi) (d[n'i;^^-V,i]

des valeurs correspondantes de la nouvelle fonction en ces mêmes points est égal à une exponentielle de la forme [l\). On l'obtiendra en cherchant l'expression de la période A^'*' pour chacune des intégrales abéliennes.

Expressioji de la période A,'""'.

73. Le nombre total des lacets binaires de seconde espèce, et par conséquent celui des périodes relatives aux cycles simples correspondants, est Ip. Nous avons remplacé ces périodes par les périodes

relatives aux lacets complexes (n"20), dont le nombre est 2(/)— 1), ou 2p+2(m— i). Nous avons désigné (n" 22) par w\, w.',. .,., m\^ celles qui se rapportent aux lacets non fondamentaux de seconde espèce qui correspondent à des lacets non fondamentaux de première espèce, et nous avons posé [i\° 23)

wï" = 2, '^'■'' '"'/' ■

En remplaçant ensuite les périodes o^f pai' leurs valeurs eu fonction

yGoosle

l'ROPRlÉTÉS DE LA FONCTION e[n^<>{^, r)].

< pt'ruHlos normales (n" 33), nous avons obtenu la forinu

Loa pcriotL's qui se rapportent aux m—i lacets non ibiidameiitaux (le seconde espèce qui correspondent aux lacets fondamentaux de première espèce, étant des sommes de multiples des ap périodes précédentes w^, (n^âa), sont égaies h des expressions de même forme. On peut donc représenter par la formule (6) les 2p + 2(m— i) périodes A°', en faisant varier A de i à ap-i- 2(7n— i). On supposera, par exemple, que les m~ i périodes relatives aux lacets non fondamentaux de seconde espèce qui correspondent aux lacets fondamentaux de première espèce se rapportent aux valeurs 2p+i, 2pH-2, ..., 2 p + /« — I attribuées à k, les coefficients c" ayant des valeurs entières qu'il est inutile de déterminer, et que les m~i périodes relatives aux lacets fondamentaux de seconde espèce se rapportent aux valeurs 2p-i-m, 2^~i~m-h i, ..., 3p + 2(m— i) attribuées à k, les coefficients c" étant nuls, puisque ces dernières périodes sont nulles. Si l'on désigne par j,, q., ..., q^.^ les rangs des périodes (5) daus la suite des 2p+ 2(m— i) périodes w^, étendue comme nous l'avons dit, on a. d'après la formule (G),

, Puisque

pour les valeurs de r allant de i à ys — 2. Cette formule s'applique eucore, quand /■ =/» — i , si l'on convient de faire c^ ,/, = ; car alors on li'ouve la période Al'",, telle qu'elle est donnée directement par la

126 SECONDE PARTIE. - CHAPITltE XI,

loniiulo (7). D'autre part, comme on a

la mèinc formule, dans laquelle on fait r~o, en supposant c'^ /, = 0, donne aussi la valeur de la période A;.";, qui est égale et de signe contraire à celle de la période Al";, telle qu'on la déduit de la formule (7). De cette manière, la formule (8) représente les périodes relatives aux p lacets binaires du système circulaire. Nous forons en outre l'hypothèse générale cl,.^j, = clj„ afin que les valeurs données par cette formule se reproduisent circulai rement, quand on attribue à r des valeurs successives plus grandes que/). Si l'on pose, pour abréger,

i9) ''"'/. ,-,.^'--( — c',,,,.;.! , = i/ii, 4,,.,.^/, — c',i,.,-.h = m,

la formule (8) prend la forme

!'") a'!;,'"'"-' r- ■jrtz,-7:y'— I -i-aX iihaik.

On en (léduif

et par suite

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TiiÉonÈMi; I.