La/onction [«'''(a;, j) — G,-] admet p ze>oj

Kn chaque point x du plan, l'intégrale «''' admet les m valeurs «Jf , augmentées de multiples des périodes. Quand on établit les coupures, c'est-à-dire quand on astreint la variable à ne franchir aucune partie

yGoosle

PliOmiÉTÉS DE LA FONCTION 0[»f'i(j^, r)]. 157

(lu contour, on supprime les périodes; mais, d'après les propriétés de. lu fonction 9, quand aux intégrales abéliennes on ajoute les périodes correspondantes, on multiplie la fonction par l'exponentielle (4). ce qui n'introduit aucun nouveau zéro. 11 suffit donc de chercher le nombre des zéros des m fonctions holomorphes e(«/|' — G,), dans la partie du plan enveloppée par le contour. Le nombre de leurs zéros est donné par la formule de Cauchy

(i3) xx'2îTV-V= y r</iog0:;»; -(;,;,

l'intégi'ation étant faite sur le contour entier dans le sens positif ('). La partie de chacune des m intégrales qui se rapporte au circuit formé par la droite 0/ et la grande circonférence étant nulle, il suffit de considérer les lacets relatifs aux points critiques. Les p lacets binaires relatifs à un même système circulaire entrent dans/) intégrales et <lonnent la quantité

^ r'd\os(-)[uj/ ■■ <i<;--y r'f/io8W(<-u,).

cl, à cause de la permutation circulaire,

y f </log0(<,' -Ivl-V f"d\ogQ[ul!;,-iif),

ïr

[in vertu (le la formule (12), cette quantité est égal

128 SECONDE PARTIH. - ClIAmitE XI.

Il faut intégrer du point au point a, sur le hord de droite de la coupure, avec la racine y^^^,, ce qui donne I^*^^ (n" 26); ainsi la partie relativf; au lacet {à), pour un système circui;iire, est