Proposons-nous d'évaluer l'expression
dans laquelle les lettres h et t désignent deux indices fixes, égaux ou inférieurs à p. En remplaçant le coefficient n^ par sa valeur {9), on obtient
et, à cause de la permutation circulaire.
Si l'on désigne par U^' la partie de l'intégrale m*" relative ii la suite {les lacets fondamentaux de première espèce qui conduit de la racine initiale y„ à la racine r^, on a
d'où
yGoosle
l'ItOPRiÉTfcS DE LA FONCTION f)[(((^'i(J^, j)]. H'J
ei l'expression devieiiL
^ e;..ïA A'^f'-. + ^c;.,./, ug,.. -^ c;.s/, u;/;. ■
La seconde partie, à cause de la permutation circulaire, prend la forme
\ c;;,„^/,u|';.,., — \ c5^.,.,.->/.ij,^;.,i = — \'uu^;.>,-
Quant à la première partie, nous remarquons qu'il suffit d'y faire varier r (Je I k p — I , le terme suivant étant nul, puisque c^ .,4 = o. D'ailleurs, d'après la signification des indices y,, q.^, ..., Çy,-,, la période lie première espèce kf;^', qui correspond à la période de seconde espèce K'° (n°20) ou làq,, est celle qui est designée par i-i^,. On obticnl ainsi la formule
76. A l'aide de cette formule, dans laquelle on fait /( = (, l'expression (i(>) devient
Telle est la ([uantité fournie par le lacet {a) dans le second membre de l'équation (i3). Si l'on fait la somme des quantités analogues fournies par les différents lacets, on a l'équation
le nouveau signe somme s'étendant à tous les systèmes circulaires. Le second membre se compose de deux parties que nous évaluerons
130 SECOKDE PARTIE, - CIlAl'ITHE Xi.
séparément. l*oiir évaluer la première partie, calculons la quiuuité
Le nombre total des termes qui la composent est l{p — i) ou 2p + 2{m— t). Mais, dans la série complète des périodes, d'après les conventions faites au n" 73, les périodes wj sont nulles, lorsque le rang k de la période, qui est désigné ici par q^, va de ap-i-i à ap + m— I, et les coefficients c" sont nuls, lorsque le rang va de 2p + m à 2p + 2(m — i). II ne reste donc, pour l'ensemble des lacets, que les 2p termes qui correspondent aux valeurs de l'indice g,. allant de i et 2p, et l'on peut écrire
Si l'on l'emplace w'/.' par sa valeur {n° 33)
ùy'/'.' = -iT. \—i Uh.-ii.-, -I- aX ak.ik^ih, un a
M^— — 2T v'— 1 \ c^,,;aA,n,-.| — ^\ «rt \ cl^-aah.-'.h,
et, en vci'Lif de la formule (7) du n" 30.
Mais on a choisi les périodes normales (n° 32), de manière que- '^\i.-j-\ = """ ^ ^^ '^'•H,-h — O' l'expression se réduit donc à
!>[iOP[iIllTÉS DE LA FONCTION e[n('i{.r,j)].
La première partie
Sm,.
■HO composant du (jette ijuantité constanfc répétée p fois, est égale à 9~ \l— i X p.
77. Nous alIoiDi faire voir maintenant que la seconde; partie est nulle. Comme nous l'avons dit au n° 27, la quantité U^.^, entre dans les parties relatives à tous les systèmes circulaires qui contiennent la racine ^g^,^, ; dans chacun de ces systèmes, il y a un lacet binaire de première espèce, tel que {o,)fir-', qui conduit à cette racine; à ce lacet de première espèce correspond le lacet binaire de seconde espèce (a')^'; mais on sait que l'ensemble des lacets binaires de seconde espèce qui correspondent aux différents lacets de première espèce qui conduisent à la racine y^.^^ constituent le circuit de seconde espèce {^')gv+['' 1^ somme des périodes correspondantes A^*^*' est nulle et l'on a, d'après la formule (lo), pour chaque valeur de i,
le signe somme, affecté d'un accent, s'étendant aux différents lacets binaires de seconde espèce qui entrent dans le circuit (C')|;*;. Je dis que l'on a séparément, quelles que soient i et h,
autrement, il existerait entre les périodes de chaque intégrale u'-'' une relation linéaire de la forme
■y.i/i(7: \ — i -h ■iy ii^sii'à^o,
dans laquelle les nombres entiers ih^ seraient indépendants de i, ce
i32 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE XI.
qui est impossible (n" 36). Il en résulte que le coefficient S'rti de la quantité U^^^^ est nul, et par conséquent que la seconde partie est identiquement nulle.
D'après cela, le second jnenibre de l'équation (uS) est égal à aTcv/— iXp; on en déduit 5t, = p. Ainsi la fonction e[u^''{œ, y) — Gi] admet p zéros, en tenant compte du degré de multiplicité de chacuit d'eux; en d'autres termes, il existe sur la sphère p points {se, y] où la fonction s'annule; la position de ces points dépend des valeurs attribuées aux p constantes G,.
htude de la fonction log; ^ ,., — ~- ■^ ^ t){ii'"-- G/j
78. Chacune des deux fonctions 0(h*''— G;), e(u'''— G',-) admet p zéros, qui sont en général des zéros simples ou du premier degré; nous désignerons par {co^.y^) ceux de la première, par {x\, y\) ceux de la seconde, l'indice h variant de r à p. Outre les points critiques algébriques, autour desquels elle acquiert un nombre fini de valeurs ([ui se permutent circnlairement, la fonction
admet les points critiques logarithmiques {a?^, j^) et {x\,y'^], autour de chacun desquels elle prend une infinité de valeurs en progression arithmétique dont la raison est 2tc\/— i. Quand on ajoute aux intégrales m'" les périodes correspondantes
les deux fonctions sont multipliées par des exponentielles de la forme (4) (n" 71), qui ne diffèrent entre elles qu'en ce que G,- est remplacé par G^; leur quotient est donc multiplié par l'exponentielle
yGoosle
PUOPIIIÉTÉS DE LA FONCTION e[«(il(,c, j-)]. 13;i
(111 ('Il cnncUit que la fonction (ig) acquiert au point (.r, y) une infinité <\c valeurs comprises dans la formule
^'7:^/-l+Sn,-{G';-
c étant l'une d'elles, et am'îry'iniquc 2'k:\/— 1.
[ lin multiple de la période logarilh-
79. Pour rendre la fonction monotrope, nous introduirons de nouveaux lacets enveloppant les points logarithmiques. Concevons que les quantités G; varient d'une manière continue jusqu'à devenir égales à G',-; les zéros {œ^, y,,) de la fonction 0(«''"'— G,-) décriront des lignes continues et viendront occuper respectivement les positions {x'^, y'^). Nous supposerons l'étendue de cette variation assez restreinte, pour que les lignes X/,xl, décrites par les zéros, ne rencontrent pas les lacets relatifs aux points critiques algébriques, et ne se rencontrent pas entre elles. Nous envelopperons les points (a;^, y,,), {a:^, y'^), deux à deux, par des lacets semblables à ceux du n"41 {Jîg.ii). Dans la
partie du plan enveloppée par le contour simple formé par le circuit et les deux sortes de lacets, chacune des intégrales «'" ayant m valeurs «;!', qui sont des fonctions holomorphes de a;, la fonction f a de même m valeurs c;,, qui sont aussi des fonctions holomorphes de x.
i3i SECONDE PARTIE. - CHAPITRE XI.
Quand la variable tourne autour du point x\ ou autour du point i»^, (le gauche à droite, l'une des fonctions c^, celle qui correspond à la racine qui acquiert au point x^ la valeur /j, et par conséquent au point x\ la valeur jk^, éprouve des accroissementa égaux à — a-y'— « et à + 2-^— J; elle reprend donc en i, la valeur qu'elle avait on b, et par suite en 0, à la fin du lacet, celle qu'elle avait à l'entrée. Si l'on appelle c et v' les valeurs de cette fonction aux points m ot /«', -sur les deux bords opposés de la coupure cc^x'^, on a
Ce lacet est neutre pour les autres fonctions c
80. Sur les deux bords opposés de la coupure 0« [fig. 7) du lacet (a), aux points m et m' , on a {n"> 25)
d'où
Si dans la formule (ii) du n° 73 on remplace G,- par G^ et que l'on divise ensuite membre à membre, on obtient l'expression de la quantité placée sous le signe logarithme, savoir
le logarithme lui-même est égal à la quantité
( ^0 ) y «/ ( g; — G,' ) -I- ■ï ni 71 </^,
Tri étant un nombre entier. On démontrera, comme au n" 42, que le
rROI'RIÈTÉS DE LA FONCTION 0[h1')(j:, /)], 135
lioiîibro entier m' est égal à zéro. Cai- cette quantité est la variation (le la fonction c sur un cycle situé dans la partie du plan enveloppés par le contour; si l'on pose
s étant un nombre positif très-petit, on peut rendre les différences G',. — G,- assez petites pour que le module de la fonction /(a;, y) soit inférieur à l'unité tout le long du cycle. Quand le point {x, y) décrit nn cycle, le point / décrit une ligne d'une longueur finie / et la variation de la fonction r, ou l'intégrale définie
a nn module moindre que la quantité très-petite La quantité (20)
devant être très-petite, on en conclut que le nombre entier m' est égal à zéro. En allant ainsi de proche en proche, on obtient la formule
81 . Les p zéros de la fonction 6 [u"''{x, y) — G; | satisfoni aux relations
\ u<.''i{xh,yi,] — Gr^^^'ù.
dans lesquelles les quantités C,- sont indépendantes des arbitraires G,-,
Soit u'-'\x, y) l'intégrale abclienne normale qui correspond à un indice déterminé y. Les m fonctions v/,-^ étant holomorphes dans la partie du plan enveloppée par le contour simple formé par le circuit
lit l'ensemble de tous les lacets, chacune des intégrales
er
prise sur le contour entier, est égale à zéro, et par conséiidcnt leur somme
est aussi égale à zéro.
La partie de chacune des intégrales relatives au circuit étant nulle, il suffit de considérer les lacets. Le lacet (^r^^^) n'entre que dans une intégrale, celle où y acquiert au point cc/, la valeur je*; les deux bords de la coupure Ob donnant des quantités égales et de signes contraires et les petits cercles des quantités infiniment petites, on a, pour ce lacet,
I vdiili' + I i>' du^J'i = I ' [i-' — v']du'-i)—-ir.\l^ f duU)
— ■>.- v'-i [uU) [x'i^yl) ~ U<.J)[xi,, y,,)\,
la quantité placée entre parenthèses désignant la variation qu'éprouve la fonction u'-J\ quand la variable {ce, y) va du point {x,„ y,,) au point {^'k< y'h)< en suivant la ligne xi,x\.. Les p lacets {xi,x\) donnent ainsi la quantité
(■'■'M -'-^v^^ [«'^''(^i. ri! -"'■'■' (■«*'/*)]■
Le lacet .(«) entre dans/) intégrales et donne la quantité
yGoosle
PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION ©[«<'>{^, j)]. 137
qui, d'après la formule {21), est égale à
[■4) |] [G-~Gii^n^fJdut,=^ (G;- G/)|] ^'i'A.
et devient ensuite
en vertu de la formule (17) du n^TS, dans laquelle on remplace l'indice i par/, et le nombre variable h par i.
Pour l'ensemble des lacets relatifs aux points critiques, 011 aura donc la quantité
nous avons dit au n" T Juant à la première part
011 a, comme au u" 76,
et, Cil remplaçant oj;/' par sa valeur
82. D'après ce que nous avons dit au n" 77, la seconde partie est identiquement nulle. Quant à la première partie, si l'on pose
L'expression (25} est donc égale à
Mais, quand i varie de i à p, le coefFieieot cl^^y-i ^^^ "'-''' excepté pour i=j; cette expression se réduit ainsi au seul terme
Il résulte de là que la somme des m intégrales {22) se compose des deux quantités (aS) et (26), et l'on a l'équation
^ !^'^''{x',, /■;) - G) =^ u'.'i [x>,; xx) - C^J- L'indice,/ élaut quelconque, on en conclut que les p quantités
conservent des valeurs constantes G;, quand, les quantités G; variant d'une manière continue, on prend les valeurs continues des intégrales sur les lignes décrites par les zéros. Ce théorème est indépendant de la restriction apportée à l'étendue de la variation des arbitraires G^; car, en supprimant les coupures, on rétablit la continuité {n° M).
Kn évaluant les intégrales u'''(.^/,-, j,,) par différents chemins, on ajoute aux constantes C,- des multiples des périodes. Ou écrira donc d'une manière générale
(■ï;) Zl"""''^'^'"-^'''^~^'''
yGoosle
l'ROPRiÉTÉS DE LA FONCTION 0[n<')(^, r)]. 139
83. Remarque. — Si l'on met les équations précédentes sous la forme
on reconnaît qu'elles sont les mêmes que les équations (2.3) du n" 60, dans lesquelles on attribue aux variables ui les valeurs Gj-i-C,-; or il a été démontré qu'à tout système de valeurs attribuées aux variables «;, excepté celles pour lesquelles il y a indétermination, correspond un seul système de points (a?/„ j^); on en conclut que les p zéros de la fonction 0[«f''(aT, j) — G,'] coïncident précisément avec les p points (^ft-y*}. qui constituent les fonctions intégrales des équations (29). Il y a indétermination, lorsque les quantités G,- sont de la forme
mais nous verrons que, dans ce cas, la fonction 0|u'"(rr,)')--G/J est identiquement nulle.
Cas des Intégrales ullra-eUlptiques .
84. Lorsque la fonction 0(h''' — G;) est formée avec les intégrales ultra-elliptiques normales, la démonstration des deux théorèmes précédents se simplifie beaucoup. Les formules (8) du n" 39 deviennent
k variant de i à p, avec la convention que iï^s-a = o pour /!■ — r . Pour compléter la suite des périodes, on attribuera à k les deux valeurs p H- 1 et p -I- 2, en convenant que ïï^n-i = o et que les derniers termes
yGoosle
sont nuls; car on a
Ces périodes o' sont ceUes qui sont désignées par A'°°; les secondes périodes A^°; sont égales aux premières et de signes contraires; on obtient ainsi immédiatement la formule (ro) du n" 73, où l'on supposera
que les coefficients n,, n., n^, sont nuls et que les suivants n,,-,
"a+i. ■■■. "p sont égaux à ±i. L'expression (i6) du n''74 est composée de deux termes égaux; car leurs coefficients n sont égaux et de signes contraires, ainsi que les deux intégrales I; elle est donc égale à
.£»,iï:,
Cil désignant par /j, les coefficients qui se rapportent à /■= :. Si l'on se rappelle que pour chaque point critique on a désigné par y„^ la racine j,, (n" 37), on trouve que la partie relative aux deux points critiques consécutifs «.«-, et a^/, est égale à
car, lorsque i varie de /c à p, toutes les périodes Ql'i.j sont nulles, et aussi toutes les périodes S2!;'!;.|, excepté la période i2"^,, qui correspond à i = ^ et qui est égale à 27: s/— i. Chaque couple de points critiques donnant la même quantité 271 y/— r, excepté les deux derniers qui donnent zéro, on a pour l'ensemble 27:\f^i x p; d'où l'on conclut x = p.
85. La démonstration du second théorème se simplifie de la môme manière. L'expression (24) du n"81 devient
PROrniÉTÉs DE LA. FONCTION e[ui'i{x,x)]- m
Les deux points critiques consécutifs «^a-, et a^j donnent
-(Xlii,-,l.l;^)^{G^-G4--(G^,-Q^.,)^(G;-G,).
Les deux derniers points critiques donnant des termes nuls, on a, pour rcnscmbic des points critiques,
-|[(ûa.-,-aït.)|(o;-G,;j.
La période ii,':!l^, étant nulle pour toutes les valeurs de k, excepté pour k =y, et la période i2'4 3 étant aussi nulle pour toutes les valeurs de k, excepté pour /; =J + i , cette expression se réduit h
86. Dans le cas particulier dont nous nous occupons maintenant, on peut trouver les p zéros de la fonction e[u''"'(ic, j)~G,')], lorsqu'on attribue aux arbitraires G,- des valeurs égales à celles que prennent les intégrales ultra-elliptiques ti'-''>{x,y) en un même point critique. Remarquons d'aliord que les formules (q) du n" 39 deviennent
On complétera la suite des périodes en attribuant à & les deux valeurs p+i etpH-2, et faisant les mêmes conventions qu'au n° 84; car on a
Donnons aux arbitraires G, des valeurs é^'ales à celles des inté-
gvaks a"* au point critique a,j^h\ lorsque le point variaMu [x, y) vient coïncider avec un autre point critique a.,,,', à indice paii'. on a, abstraction faite des multiples des périodes,
;;('") G,- = j [A.%, — X'il) = ^ (X^'l, — A^fv^t) — \ [J^fk ~ '^^ÏWi)
si A-' eat plus petit que &. Cette quantité est de la forme
Les nombres entiers ?«, sont nuls, excepté my— — i et m^ = i; les nombres entiers n/, sont aussi nuls, excepté ceux qui correspondent aux valeurs de A allant àe k' li A — [ inclusivement et qui sont égaux
à !; la somme > miHj se réduit doue au terme qui correspond à
i = A', et est égale à — i. Mais on sait (n" 70) que, quand cette somme est un nombre impair, la fonction 0(a;,) est nulle. On en conclut que la fonction proposée s'annule en tous les points critiques à indices pairs, excepté au point a.,^.
En attribuant aux arbitraires G,- des valeurs égales à celles des intégrales u"' au point critique a.,/,^, on démontrerait de même que la fonction s'annule en tous les autres points critiques à indices impairs (' ).
Chacun de ces zéros est du degré j; mais, comme les deux branches b(«^" — G,-), e(M',''~G,') de la fonction s'annulent en même temps, on le regardera comme étant un zéro du premier degré.
Cette connaissance des zéros de la fonction pour certaines valeurs particulières des arbitraires G,- nous permet de trouver immédiatement les valeurs des constantes fondamentales Cj. Si l'on fait, par exemple, G,' = ^ji,i,'i,i.i, les zéros de la fonction coïncident avec les points cri-
(') Cette propriété particulière des intégrales ultra -elliptiques est due à M. Kcumami {lUemaniii- Theoi-ie dcr Abehchen Imcgrnle, i8C5}.
PfiOPRIÉTftS DE LA FONCTION elu'-'^ix, yf]. i
tiques a,, a^, .,., a^p^, et l'on a
Plus généralement, en faisant Gi--^x[','/__^ on G,- --i-A/j;., et posant
on a
(33) QhehU/- X'i), , == H/ — -i.'/,;,.
yGoosle
SECONDE PAItTIE. — CHAPITRE XII.
