CHAPITRE XII

SUITE DES TROPRIÉTÉS HE l,\ FONCTION* B[u''''(x, y)].

Revenons mainLciiant à l'étude île la fonction 9[w''{x,y) — G,-], dans le cas général des intégrales abéliennes. Nous avons démontré que cette fonction admet p zéros, et que ces p zéros, que nous avons désignés par (œ.,, //,), satisfont aux relations

{0 y ii''>{x/,,j-/.] — G;^Ci,

dans lesquelles les constantes C,- sont indépendantes des arbitraires G,-. Ces p constantes fondamentales C,- dépendent uniquement des coefficients de l'équation algébrique proposée F(a;, y) = o, et du point (^(l'Jii) choisi comme point initial des intégrales abéliennes; elles admettent un seul système de valeurs, augmentées de multiples des périodes correspondantes.

87. On peut déterminer les p quantités G,- de manière que la fonction q[u'-'''{x, y) —G,] admette p zéros donnés (^^'J/J-

!1 est nécessaire d'abord que les arbitraires G,- satisfassent aux relations (i); on en déduit pour ces quantités un seul système de valeurs

augmentées de multiples des périodes. Les fonctions

yGoosle

SUITE DES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION 0[«i''(.^,:))]. 143

qui se rapportent à ces différents systèmes de valeurs des quantités G,, étant égaies à une même fonction, multipliée par une exponentielle de la forme (4) (n"?!), admettent les mêmes zéros. Mais ces p zéros satisfont aussi aux relations (i), et, par conséquent, aux relations

(3) \lii'>{x/<,r'^]-G;^Ci,

qui ont la forme des équations (aS) du n° 60, dans lesquelles on attribue aux variables «j les valeurs G,-4-Ci; or nous avons vu qu'à un système de valeurs attribuées aux variables «,• correspond un seul système de points {a;,, y^), {x.,, y.^), .. . , (a^j, y^); on en conclut que les p zéros de la fonction considérée coïncident avec les p zéros donnés.

Si l'on remplace les quantités G,- par leurs valeurs, la fonction cherchée se met sous la forme

abstraction faite du facteur exponentiel.

TilÉORÈJIE IV.

^ ii<-ii{xu,rk)-Ci

de ^ — I variables indépendantes (57,, y,), [x.,, y.,), -.., {X|,j, j,, ,) est identiquement nulle.

Nous avons formé une fonction

iulmcttant p zcros{a;,, j-,), [x„,y.^, ..., (iCp./„), donnés arbitrairement.

Elle s'annule quanti le point variable {x, y) coïncide avec l'un d'eux,

par exemple avec le point (a;,,, y^); on a donc

quels que soient les p — i autres points {x^, y^), {x-^, y..), ....