Corollaire. — Pour qu'une fonction, telle que

y ii(''[x^,r'<]-Q h

de p — I points arbitraires, soit identiquement nulle, il est nécessaire que les constantes C; soient égales aux constantes C,-, ou n'en diffèrent que des mêmes multiples des périodes correspondantes. Prenons, en effet, un autre point {x^, y^) arbitraire et différent des premiers. D'après l'hypothèse, la fonction

do la variable [x, y) admet les p zéros {x,, y,), [.x.,, y..) [x^,, y^);

car elle s'annule lorsque le point variable coïncide avec l'un quelconque d'entre eux. Si l'on pose

cette fonction devient

yGoosle

SUITE DES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION 0[«f'''[^. j)]- En vertu du théorcilic II, ses p zéros satisfont aux relations

\u''^{œi,x/i) — Oi^Cr,

en remplaçant les quantités G,- par leurs valeurs, on en déduit

TlIÉORÈîlE y,

90. La somme des valeurs d'une intégrale abèlienne normale u^'\x, y) aux points d'intersection de la courbe F ^ o eï d'une courbe variable du degré m — 'i, satisfaisant aux conditions relatives aux points critiques, est équivalente à la quantité constante i Cj.

Nous savons (n" 14.) qu'une courbe Q =- o du degré m — 'i, satisfaisant aux conditions relatives aux points critiques, coupe la courbe F = o en 2p — 2 points; nous désignerons par (^j, y*} les p — i premiers, que l'on peut prendre à volonté, et les p — i autres par («4. JÂ)' l'indice k variant de t à p — i. D'après le tbéorcme d'Abel (n^'lS), la somme

y u'^'''[xk,Th)^ 2^ «'''(^A-r^)

conserve une valeur constante K,-, quand la courbe Q = o varie d'une

manière continue, tout en satisfaisant aux conditions relatives aux points critiques. On en déduit

2^ «"■'(■«À.rÂ! = K;- 2j u^'''[xk,yk], d'oii

« ^«t'H^i.nJ-C/ =0 ^ «"■>

x,,Y,]-^[^Li-^i)

yGoosle

lis SECONDE PARTIE. — CHAPITRE XII.

D'après le théorème lA^ quels que soient les p — i points (^rj,, y',}j et par suite les p — i points [x^, j^), la première fonction est nulle.; donc la seconde est aussi nulle. On en conclut, en vertu du corollaire précédent, que les constantes K,- — G,- sont égales aux constantes C,-, ou n'en diffèrent que des mêmes multiples des périodes correspondantes. On a ainsi

et par suite

91. Corollaire I. — Nous avons dit (n° 83) que, lorsque les arbitraires G; ont des valeurs quelconques, la fonction 0[«*'*(ic, 7) — G,-] admet p zéros qui coïncident avec les p points (;»/„ y^) qui constituent les fonctions intégrales des équations abéliennes

(3) ^u('^(x,<,r':]=Gi^C,.

1! y a îndéterminaLioii (n" 60) lorsqu'on attribue à ces quantités des valeurs de la forme

Dans ce cas, la fonction proposée devient

(10) e «w(^,r)+ Y «('-(^A, PA;--c<h

abstraction faite d'un facteur exponentiel; en vertu du théorème IV, elle est identiquement nulle.

D'après le théorème HI, la fonction ©[«'''(a;, /) — &,■] est déterminée par ses p zéros, abstraction faite d'un facteur exponentiel; cette

SUITE DES PKÛPRIÉTÉS IJE LA FONCTION 0[Kl'")(.r, r}]. fonction est

9 u<'> [X, x) —\ mC'' (.ïîa, ja) -1- Ci ■

Supposons que les p zéros donnés [x^, y^) soient situés sur une courbe Q = o du degré m — 3, satisfaisant aux conditions relatives aux points critiques; si l'on appelle («a, Pa) les p — 2 autres points d'intersection, on a

et la fonction prend la forme (10); elle est identiquement nulle. Ce cas se ramène d'ailleurs au précédent; car supposer que les p points {^a-JKa) sont situés sur une courbe Q = o du degré m — 3 revient, d'après les équations (2}, à attribuer aux quantités G; des valeurs de la forme (9).

92. Corollaire II. — Le théorème précédent permet de déterminer le système des constantes 2Q. On cherchera les points d'intersection de la courbe F = o avec une courbe Q = o du degré m^'i, satisfaisant aux conditions relatives aux points critiques, et l'on calculera les valeurs de chacune des intégrales abéliennes en ces points; en désignant par K; la somme de ces valeurs, on aura 2Ci^;Ki. Les constantes C,- elles-mêmes seront de la forme

m,- et ^A étant des nombres entiers qu'il reste à déterminer.

Supposons que la courbe Q = o soit tangente à la courbe F --- o en p — I points, que nous désignerons par {x^, y/,]; si l'on représente par K,- la somme

la quantité

étant nulle, il en résulte que les nombres entiers m^ et «^ doivent satisfaire à la condition

Cette condition est satisfaite, lorsque la sommoN w,rt, est un nombre

impair (n"70).

Dans le cas des intégrales ultra-elliptiqnes, la ligne Q = o, tangente à la courbe F = o en p — i points, se compose de p— i droites passant chacune par un point critique. Si ces droites passent par les p— I points critiques à indices impairs, excepté a, et a^, on a

Nous avons trouvé (n" 86)

La différence

est de la forme m^-y' -i -i-^'.,-,, les nombres entiers m, étant nuls, excepté m, = I, et la condition (12) est satisfaite.

SUITE DES PltOPIlIÉTÉS DE LA FONCTION &[ii^'>{,v, j)].

Théorème VI.

ll<'>{XA,X/i) — ul'!{^^, ■

admet le zéro {î, n) et p — i autres zéros indépendants du premier.

Dans la composition de cette fonction entrent p points donnés ar- Litpairement, savoir le point [l, t)) et les p — i points {œ^, y,,). Considérons la courbe Q = o, du degré m — 3, qui satisfait aux conditions relatives aux points critiques et passe par les p— i points {x,„ y^); elle coupe la courbe F = o en p -- t autres points [œ^, y'^). De l'équation (8) on déduit

et la fonction (i3) devient, à part nn facteur exponentiel.

D'après la formule (4) du n" 87, les p zéros de cette fonction sont le point {l, ïi) et les p — I points [x,^, y^). La position de ces p -- i points {^'k^y'h) est indépendante du point {1,-d); elle dépend uniquement des p — I points donnés [x,,, j^)-

Dans le cas des intégrales ultra-elliptiqués, la ligne Q = o se composant de p — I droites de la forme x~x^ = q (n" 61), et passant par les p — I points donnés [x^, y^), les p — i autres points d'intersection {x'^, y'/.) sont les points {xi„ —yk), symétriques des premiers.

94. Corollaire. — Si, dans la composition de la fonction (i3), on remplace le point fixe {l,-n) par un autre point fixe (^', V), sans

yGoosle

changer les p— i points (^^, y/,), on forme une seconde fonction admettant le zéro [i', r,') et p — i autres zéros qui sont les mêmes que ceux de la première. Les deux fonctions ayant p — i zéros communs, leur rapport

''[xk,rir,-u''^'.X, -r.) —Ci-

est une fonction de la variable {x, y), admettant un seul zéro {i', -n') et un seul infini (^^, tia). Cette fonction acquiert en chaque point {x, y) une infinité de valeurs égales à l'une d'elles multipliée par l'exponentielle (n" 78)

TlIÉORKJlE VII.

95. Etant données deux courbes '^[x, y)^^o, i|,(a:, y) = o, du degré n, si l'on désigne .par [\^, ■r\k) ies mn points d'intersection de la première et de la courbe proposée F{a;, y) = o, par [V/,, -n'i,) les points d'intersection de la seconde et de la même courbe F = o, si, déplus, "'"(^Â'"ii) *""' ^^^ valeurs tju acquièrent les intégrales abéliennes "'"(^A- '^ii)t quand on passe de la première courbe à la seconde par une variation continue, la fonction

'— - ^ %'>"'{n,n) - «"'(S. »i) - Ci (i5) w = I| -i^-- -'

y tt'JI[a:,,ri,)-uU'[li„-nh]~Ci

est égale à une /onction rationnelle des ]} points [xi„ y^.). L'indice h variant de i à mn, la fonction W est le produit des

SUITE DES rROPRIÉTÉS DE LA FONCTION &[ii"Hx,y)l mn fonctions

que l'on otiLient en faisant varicp l'indice A de i à mn. Si l'on y regarde le point (a;,, j',) comme seul variable, cette dernière fonction, que l'on peut écrire

ii'-^nx„y,\A-'S^ii^r:[xi„yK)~u^'^[lh,-nh]-Ci

a la même forme que la fonction w{x, y) étudiée au numéro précédent. Elle admet le seul zéro (^^, viJJ, le seul infmi {t^, n^), et, quand on fait varier le chemin qui va de l'origine [sc„, y^) au point (a;,, j,), c'est-à-dire quand on ajoute aux intégrales abéliennes m"''(x, ,/,) les périodes correspondantes

elle est multipliée par l'exponentielle

Il en résulte que la fonction AV de la variable {^,, y,) admet les mn zéros [l'^^, tî^), les mn infinis (S^. ■n*)- et que, par l'addition des périodes, elle est multipliée par l'exponentielle

2%;'2"''E«'"{?Â''î;,)-""\5/„-ia)]

yGoosle

]5i SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Xll.

Mais, en vertu cln thcorcme d'Abel (n°4.4), on a

^ [u^'KVh,

)-«(''(?A>ïI4)] = 0-

Cette dernière exponentielle est donc égale à l'unité, et la fonction W reprend la même valeur au point (a:,, y,}, quel que soit le chemin suivi pour y arriver.

A une valeur de la variable a;, correspondent m valeurs de y,, et, par conséquent, en vertu de ce qui précède, m valeurs de W. Ces m branches de la fonction W sont holomorphes dans le voisinage de chacune des valeurs de jr,, excepté dans le voisinage de certains points singuliers. Ces points singuliers sont de deux sortes. Les uns sont les points critiques de la fonction algébi'ique j, de œ^ , définie par l'équation proposée F{a?,,/, ) = o; lorsque plusieurs racines^, se permutent autour de l'un de ces points, les valeurs correspondantes de la fonction W sont infiniment peu différentes d'une même valeur limite et se permutent suivant la même loi; ces points sont donc aussi dos points critiques algébriques de la fonction AV. Les autres sont les Tnn points x^ =^/, ; au point ^4, une branche de la fonction W, celle qui correspond à la racine y^ = n^, devient infinie, mais de telle sorte que la fonction ~ reste bolomorphe dans le voisinage de ce point ; le point \/,

est donc un pôle de cette branche de la fonction. Ce sont là les seuls points singuliers de la fonction W. Ainsi, sur toute la surface de la sphère sur laquelle on figure le mouvement de ia variable i»i, la fonction W admet un nombre fini m de valeurs en chaque point, et n'a pas de points singuliers autres que des points singuliers algébriques, c'est-à-dire des pôles et des points critiques algébriques. Or, nous avons démontré, M. Bouquet et moi, qu'une fonction jouissant de ces propriétés est ime fonction algébrique ('). On conclut de ce théorème que.AV est une fonction algébrique de œ,, c'est-à-dire qu'elle est liée à la variable ce, par une équation algébrique et entière, du degré m

(') Théorw des fonctions elliptiques, \\. si6.

SUITE DES PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION e[Kt'i(^, j)]. ISS

par rapport à W. On peut même ajouter, d'après un autre théorème [Note B), qu'elle est égale à une fonction rationnelle de x^ et y,. La fonction rationnelle

admet les mêmes zéros et les mêmes infinis que la fonction W, savoir les points d'intersection de la courbe F(a;|, j,) = o avec la courbe i/{x^, j|) = o ou avec la courbe ç(ar|,y,) = o. Le rapport de la fonction W à cette fonction rationnelle conserve donc une valeur finie sur toute la sphère; on en conclut que ce rapport est constant, c'est-à-dire indépendant de la variable te, ; car, s'il n'était pas constant, ce rapport, admettant m valeurs pour chaque valeur de ir, et n'ayant pas de points singuliers autres que des points critiques algébriques, serait lui-même «ne fonction algébrique de ac^; toute fonction entière et symétrique de ces m valeurs, étant une fonction holomorphe de x, sur toute la sphère, serait constante ('}; le rapport, satisfaisant à une équation algébrique du degré m, k coefficients constants, serait lui-même constant. Ainsi la valeur du rapport est indépendante de la variable a;,. On arrive à la même conclusion en considérant la fonction rationnelle

qui est égale à la précédente multipliée par un facteur indépendant de a;,.

Si l'on regarde maintenant le point [a:.,, y.,) comme seul variable, le même raisonnement apprend que le rapport de la fonction W à la fonction rationnelle (i8) est indépendant de cette variable, et ainsi de suite. Ce rapport est donc indépendant des p variables [xk, /a), et

('} Théorie des fonctions elliptiques, [). 204.

E étant une constante. On déterminera cette constante en attribuant aux variables (^a. J"*) des valeurs particulières. Si, par exemple, on suppose que les p points (a?^, 7^) coïncident avec le point {x,,, y„), origine des intégrales abéliennes, on a

Remarquons que, en vertu de la relation (17), la fonction W, définie par la formule (i5), ne change pas quand on y remplace les constantes C; par des valeurs équivalentes, c'est-à-dire différant des premières de multiples des périodes correspondantes.

96. Corollaire. — Supposons que les deux lignes ç = o, ^" = se réduisent à deux droites de la former; — ; = o, a: — l' = o, ^ et Pétant des constantes. La première droite coupe la courbe F(iK, y) — o en m points {K, •%), la seconde en m points (i', t)^), ti^ et -r,'^ désignant les racines de l'équation F(a;, y} = o pour x--?. ou x=l'. La fonction (i5) devient dans ce cas

ii^''{x^,rj,\ - II'" il, ■/:/,) — C

et l'on :

1,3, T -('"•^^Vrf'^ l"'"''^'-''' '^'-']