CHAPITRE Xlïl

mTÉGRATIOT^ DF.S ÉQUAirONS DIFFÉEEKTIELLES ABÉLIENSIÎS.

Expression des fondions abéiiennes.

97. Nous avons mis les équations différentielles abéiiennes (n''fi sous la forme finie

\ ii<'^{xK,yii] = uh

en désignant par u.^'''{œ,y) les p intégrales abéiiennes normales de première espèce et en supposant que, lorsque les variables «, sont égales à zéro, les p fonctions intégrales [ce,,, y^) coïncident avec l'origine {xa, Xa) des intégrales abéiiennes. Nous avons démontré qu'à tout système de valeurs des variables «;, excepté celles pour lesquelles il y a indétermination, correspond un seul système de points {x^, y,,), qui se permutent les uns dans les autres.

Dans le sens général, une /onction abélienne est une fonction rationnelle et symétrique des p valeurs d'une fonction rationnelle de a; et j en ces p points [x/,, y^). Soit

une fraction rationnelle, quotient de deux polynômes entiers en x ety; les p valeurs de la fraction sont

ti^-Xi)

tl^i.r'i

' ?(«p. rp)

Une fonction rationnelle et symétrique de ces p valeurs de z n'admet qu'une seule valeur pour chaque système de valeurs des variables «,■;

c'est donc une fonction niéromorphe de ces variables, à l'exception des valeurs pour lesquelles il y a indétermination; elle reprend la même valeur, quand on augmente simultanément les variables m,- des mêmes multiples de ap périodes correspondantes.

Cette fonction s'exprime rationnellement à l'aide des coefBcients de l'équation

dont les racines sont les p valeurs de z, c'est-à-dire à l'aide des p fonctions symétriques élémentaires

' 0i=5i-HZ2-|-. .. + ^,„

I <ij, = Z,Z-2.-.Zf.

!1 suffît donc de trouver les expressions de ces dernières fonctions.

98. Considérons d'abord le cas où les deux polynômes entiers ç(a;, j}, i{j(^,jc), qui composent la fraction rationnelle z, sont du même degré n. La fonction

w=n pïi —"1'

étudiée au a° 95, a été formée à l'aide des points où les courbes ç = o, •^ = coupent la courbe proposée F = o. Concevons que la seconde courbe ■{' = o soit remplacée par la courbe du même degré cf. + ^^({j = o, "k étant un paramètre arbitraire, et que, u''\l^, -n^) désignant toujours les valeurs des intégrales abéliennes aux points d'intersection des courbes F = o et 9 = 0, «'"(5^.%) soient les valeurs qu'acquièrent ces intégrales aux points d'intersection des courbes F = o et (p-+-Xi]^ = o, quand le paramètre y. varie d'une manière continue à partir de zéro.

INTÉGRATION DES ftQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ABÉLIENNES. IS'J

Dans cette fonction, les p points variables {sc^, y,,) sont quelconques; si ces points sont précisément ceux qui satisfont aux équations abéliennes {i), la fonction se change en une fonction

(5) wi.„i='rir' ^["'-°'"i^''!~ -S

des p variables Uj, et l'équation (rg) du n" 95 devient

En faisant coïncider les p points (i»A. Ja) iivec le point (a;,,,/^), on obtient la valeur de la constante

La fonction W(m,), définie par la formule (5), est une fonction méromorphe des variables «,-, qui reprend la même valeur, quand on les augmente simultanément des mêmes multiples de ap périodes correspondantes. Comme elle est égale, d'après l'équation (6), à une fonction entière et symétrique des p valeurs de k fraction rationnelle -- ; ■ ' ■ . ■ 1 c'est une fonction abélienne.

Si l'on développe le produit indiqué dans le premier membre, l'équation (6) se met sous la forme

(8) 1 + À(I), H- ^ï<Ix> + . , . + Âi'<Iip ^ -j^ W(«,-).

En attribuant au paramètre X successivement p valeurs différentes, et formant les fonctions W(u,) correspondantes, on obtiendra p équations du premier degré, à p inconnues O,, *j, .... «tp. On en déduira les valeurs de ces inconnues exprimées par des fonctions linéaires de p fonctions W(«,}.

La même méthode s'applique lorsque le polynôme '\f est d'un degré moindre que ç ; car la courbe (^j + ),,|/ = o, que nous avons substituée

IGO SECONDE PARTIE, — CHAPITRE Xni.

h la courbe i^ = o, est du même degré que la courbe ç — o. Si le polynôme (p était d'un degré moindre que ■1', on pourrait le regarder comme la limite d'un polynôme du même degré que ^, ce qui ferait coïncider plusieurs points (^^, -r,^) avec le point ;» = a; sur la sphère. On pourrait aussi former l'équation dont les racines sont les p valeurs

de la fraction -> ce qui ramène au cas précédent.

99. Il y a indétermination pour les valeurs des variables u^ comprises dans les formules

dans lesquelles entrent p— a quantités arbitraires «^ (n" 60). A chacun de ces systèmes de valeurs correspondent une infinité de valeurs des fonctions intégrales (a:*, y^) des équations abéliennes (i); chacun de ces systèmes de points {œ/,, y^), dont l'un est arbitraire, est situé sur une courbe Q = o, du degré ttî — 3, satisfaisant aux conditions relatives aux points critiques, et passant par les p — 2 points (%, P^) (n" 56). Dans ce cas, les fonctions W(«,) se présentent sous la forme |; car les deux fonctions 0, qui forment chacun des rapports

deviennent

et s'annulent à la fois, en vertu du théorème IV. Quand les variables «,-

tendent vers les valeurs y;, les valeurs des fonctions W(«,) sont indéterminées; elles dépendent des rapports des accroissements «,■ — y,- à l'un d'eux, e'est-à-dire de p — i rapports arbitraires ( ' ).

(') Théorie des fondions elUpiiqucs, p. i68.