Une seconde fraction rationnelle
admet aussi p valeurs. Nous appellerons valeurs con'espondantes des deux fractions 2 et Z celles qui se rapportent à un même point (^a. Ja)- Nous allons démontrer que chaque valeur de l'une des fractions est égale à une /onction rationnelle de la valeur correspondante de l'autre fraction et de/onctions W(«,), Imaginons, en effet, que l'on ait formé les équations du degré p qui admettent respectivement pour racines les p valeurs des fractions
et désignons, d'une manière générale, par
(10) [Zz^y - <i^'p.{Zz'Y-> -h'^'-izz^y-' - . . .^ {- lY^'^' ■--- •
l'équation dont les racines sont les p valeurs de la fraction
* étant un exposant entier, égal ou inférieur à p— r. Les fonctions symétriques
hZ.z'i
qui sont les coefficients du second terme dans les équations (lo), s'expriment chacune par une fonction linéaire de p fonctions W{u;).
Multiplions les deux membres de ces égalités respectivement par les indéterminées A„,, Ap 2, .... A,, i, ajoutons les résultats et égalons h zéro les coelïicienls de Z^, Z;,, ..., Zj„ ce qui donne le système
162 SECONDE PAIiTlE. - CHAPITRE XIII,
des p — I équations du premier degré
) sr'-i-A|sr"-HA2sS-'-4-...^Ap i = 0, / \ 3ir'-f- A,zg-- + A2-sr^ + - ■ ■ + An-, =0,
\ 3P-' -'-A|S^--H-AasP-'' + . . .+ Ap, — o,
à p— i inconnues A,, A^, ..., Ap,. L'équation résultante se réduit il
Z,(sr' + A,^^-^A2sV'-^-..■ + Ap.i) = C''r''+ A,Q'r-i-h... + A|,i'l'f .
Les équations (12) montrent que A,, A^. ..., Ap., sont les coefficients de l'équation du degré p — i qui a pour racines s., s^, ..., z^, équation que l'on obtient en divisant le premier membre de l'équation {3} par z — s,, ce qui donne
A, =si — $1,
et l'on a
h A, zr^ -4- Aa z;-' H- - ■ ■ -1- Ap- ,
Gomme s, désigne l'une quelconque des valeurs de z et Z, la valeur correspondante de 2, on en conclut que cbacune des p valeurs de 2 est égale à une fonction rationnelle de la valeur correspondante de z et de fonctions W{«,).
En remplaçant les quantités A,, A., ..., A^, par leurs valeurs, on obtient la formule
yGoosle
