INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ARÉLIENNES

Intégration des équations différentielles abéliennes.

101 . L'intégration des équations différentielles abéliennes, que nous avons mises sous la forme finie (i)

se déduit de ce qui précède; car la question consiste en la détermination des p points [x,,, y^), qui correspondent à un même système de valeurs des variables u^. Formons d'abord l'équation

[l4) 3^ — Qi3"-l +*oEl'-2 — ,. .-H (--l)P$p=0,

dont les racines sont les p valeurs de la fraction rationnelle

dans laquelle ^ est une constante, ce qui revient à supposer que les deux polynômes 9 et i sont du premier degré et de la forme ç = x — ^, ^^=x\ la droite (p = o coupe la courbe F=o en m points (^, vi^), la

droite (p + Ji = o en m points (^', r'^), ^' désignant la quantité — =-.■

Attribuant au paramètre 1 successivement p valeurs, on formera p fonctions abéliennes de la forme

d'où l'on déduira, à l'aide des équations (8), les coefficients de l'équation (i4)- exprimés par des fonctions linéaires de ces p fonctions

W(«i). En remplaçant ensuite dans cette équation s par sa valeur ([5), on obtiendra l'équation

[17) x^ — ffiX"-' -+- r^iX^-' — . ..-!-(— iji'Op — o,

164 SECONDE PARUE, - fflAPITRE XIII.

dont les racines sont les p quantités x^, qui coTrcspondent à un même système de valeurs des variables Ui, ou les p fonctions intégrales des équations différentielles (n" 60).

Il reste maintenant h déterminer la valeur j^ qui se rapporte à x,^. D'après le théorème général démontré au u" 100, chaque valeur de la fraction

dans laquelle -n désigne une constante, est égale à une fonction rationnelle de la valeur correspondante de s et de fonctions W(a,); ayant formé cette fonction rationnelle d'après la méthode indiquée, on en déduira l'expression de y par une fonction rationnelle de la valeur correspondante de oc et des mêmes fonctions W(Ui).

On peut obtenir directement l'équation (17) en faisant 9=1, '^ — ■x; les m points (^, vj^) d'intersection de la droite ç = o et de la courbe F = o coïncident alors avec le point œ = <xi sur la sphère. Faisant ensuite 'ï> = i, W=j, et formant les p équations qui admettent respectivement pour racines les p valeurs de

r, yx, rx\ ..., j^"-i,

on en déduit l'expression de v.

AppUcalion aux fonctions ullra-ellipliques .

102. Dans ce cas, la droite ^—^ = coupe la courbe F--o en deux points symétriques {l, -n), [\, — vi), la droite œ^l' =0 en deux autres points symétriques (^', 'n'), (^', —-<■')■ La fonction (16) se réduit à

__ Q[ui - ut'V,X', -V) - Q]Q [m - u('> (^', - n') - d]

yGoosle