VIII INTRODUCTION

On A\t qu'une fonction est continue dans une certaine partie du plan, lorsqu'elle est continue dans le voisinage de chacun des points situés dans cette partie du plan.

A. Soient z et s' deux points voisins situés dans !a partie du plan considérée; si le rapport

tend vers une limite, lorsque le point s' se rapproche indéfiniment du point z, et si cette limite est la même quel que soit le chemin suivi par le point s' pour arriver au point z, on dit que la fonction /(s) admet une dérivée au point z, et l'on représente cette dérivée par la notationy(s).

Cela signifie que l'on peut assigner un nombre p' tel que, pour tous les points z' situés dans le cercle décrit du point z comme centre, avec un rayon égal à p', le module de la différence

soit moindre qu'un nombre donné.

5. Soit u----X-\-Y\'^ I, X et Y étant des fonctions réelles des deux variables réelles et indépendantes ic et y. Si la fonction u est continue dans une certaine partie du plan, les deux fonctions réelles X et Y sont des fonctions continues dans la même étendue.

Laissant y constante, faisons varier ^; nous aurons

Aï(AX, AY ,^^.

" ' Az àx ' àx * '

si le premier rapport tend vers une limite quand Aic tend vers zéro, les deux autres rapports tendent respectivement vers des limites déterminées. On en conclut que les deux fonctions réelles X et Y admettent des dérivées partielles par rapport à x.

INTRODUCTION. ix

Laissant x constante, faisons maintenant varier j; nous aurons , , — Au AV AX , —

on en conclut de même que les deux fonctions rceUes X et Y admettent des dérivées partielles par rapport à 7.

Si la limite du rapport -r— esl la même dans les deux cas, ces dérivées partielles satisfont aux deux relations

^^ — ^Y ^I^ — ^ Ox dj^ àx ^ d.x

Quand la fonction proposée /(z), continue dans une partie du plan, admet une dérivée en chaque point, cette dérivée /'(s) est une nouvelle fonction de la variable imaginaire s. Si elle est continue comme la fonction proposée, les dérivées partielles -r-' j~i -p' -p sont, dans

la même étendue, des fonctions continues des deux variables réelles œ et 7, et elles satisfont aux deux relations précédentes.

6. J'appellerai fonction analytique d'une variable imaginaire une fonction dont chaque branche est continue et admet une dérivée ellemême continue, excepté en certains points singuliers. Je reprends une dénomination employée par Lagrange, en l'étendant aux fonctions des variables imaginaires.

7. Supposons que le point z soit astreint à rester dans une partie déterminée du plan; si tous les cbemins qui vont d'un point initial Zg à un point quelconque z situé dans cette partie du plan conduisent à la même valeur de la fonction, nous disons que la fonction est monotrope dans cette partie du plan. Il est évident, dans ce cas, que, si le point mobile décrit une courbe fermée, située dans la partie du plan considérée, la fonction reprend sa valeur primitive.

8. Lorsque, dans une partie du plan, une fonction est continue, monotrope, et admet une dérivée cllc-mcme continue, nous disons

\ IXTRODUCTIOK.

qae la fonction est holomorphe dans cette partie du plan. Nous indiquons par cette dénomination qu'elle est semblable aux fonctions entières, qui jouissent de cette propriété dans toute l'étendue du plan. On peut dire, d'une manière générale, que les points singuliers d'une fonction analytique sont les points où l'une des branches de la fonction cesse d'être holomorphe.

9. Lorsqu'une fonction u est holomorphe dans une partie du plan, excepté en un point où elle devient infinie, de manière toutefois que la fonction - reste holomorphe dans le voisinage de ce point, on dit que ce point est un pôle de la fonction u. Une fraction rationnelle admet comme pôles les racines du dénominateur.

Lorsqu'une fonction est holomorphe dans une partie du plan, excepté en certains pôles, nous disons qu'elle est méromorphe dans cette partie du plan, c'est-à-dire semblable aux fractions rationnelles.

10. On appelle point critique un point tel que, si la variable tourne autour de ce point, la fonction acquiert en un point voisin plusieurs valeurs différentes. Quand la variable s'éloigne ensuite du point critique, ces diverses valeurs engendrent par la continuité les branches de la fonction.

Si les diverses valeurs qu'acquiert une fonction autour d'un point critique sont en nombre fini, et, dans ce cas, elles se reproduisent circulairement, et si, en outre, elles différent infiniment peu d'une même valeur limite, le point critique est dit algébrique.

Si la fonction u devient infinie au point critique, mais de telle sorte que la fonction - acquière dans le voisinage de ce point un nombre fini de valeurs infiniment peu différentes de zéro, on regardera encore ce point comme un point critique algébrique de la fonction u.

Les pôles et les points critiques algébriques forment une première classe de points singuliers, que nous appelons points singuliers algébriques, parce qu'on ne rencontre que ces deux sortes de points singuliers dans l'étude des fonctions algébriques (' ],

{') Théorie des fnnctions cH'qittques, par MM. Briût et Bouquet, 2" i5dit,, p. Sn

INTRODUCTION. si

Comme exemples de points singuliers transcendants, nous citerons le point critique logarithmique z^z, de la fonction log(s— S|)(') et le point d'indétermination z^z, de la fonction e=--'(-).

tl. Pour étudier la variation d'une fonction, quand la variable z devient très-grande, on pose z=~,< et l'on donne à la nouvelle variable z' des valeurs voisines de zéro. Si l'on figure la marche de la variable par le mouvement d'un point sur la sphère ('), cette transformation revient à l'étude de la fonction dans le voisinage du point 0', diamétralement opposé au point qui correspond à s = o.

L'emploi de la sphère est utile, lorsque le point 0' est un point ordinaire, un pôle, ou un point critique algébrique; mais ce mode do représentation ne convient pas pour les fonctions périodiques. En ce qui concerne les fonctions doublement périodiques, par exemple, le plan est divisé en un réseau de parallélogrammes égaux, aux points homologues desquels la fonction reprend la même valeur {'); sur la sphère cette régularité disparait, et le point 0', ou s = » , devient un point d'indétermination, dans ie voisinage duquel la fonction acquiert toutes les valeurs possibles.

Des intégrales définies.