Pour définii' l'intégrale

[f[z)dz,

relative it une ligne zj-, tracée dans le plan, il suffit de supposer que la fonction /(s) est continue sur cette ligne. Prenons sur la ligne un certain nombre de points intermédiaires z,, z.,, ..., z„, ,, et considérons la somme

(•) Théoiie lies fonctions clUptiqiws, par SIM. lîriot Bt lîoiiquut, 2" Édit., |). <)C. (2) iè(W., p. 94.

(=) Ibld.,ç. i5.

yGoosle

xii lOTRODDCnON.

Soient

Z, =X, + Ji s/— I,

et supposons, pour fixer les idées, que, lorsque le point z décrit la ligne ZaK, X croisse de a;^ à 5 et j de jo à -n, de manière à avoir deux suites de quantités réelles croissantes

X,i, Xi.

. - , x,ii-

Si l'on pose

un terme quelconque de la somme devient

f{z„]{z,^, - 3,0 - [X„(.*„^, - ,^«) - V. (7„^, -rn)]

^ [Y„ {X„^ , - X„ } -i- X„ (/„+, - Tn )] v'- ' ■

Quand on augmente indéfiniment le nombre des divisions, de manière que toutes les différences ^„.,, — x,„ y,,^, —y„ tendent vers zéro, les quatre sommes partielles

tendent vers des limites déterminées, qui sont les intégrales définies réelles

f\dx, fYdr, f^Ydx, I Xrfj.

La somme

yGoosle

INTRODUCTION. xiii

tend donc vers une limite déterminée; cette limite est ce que Cauchy appelle l'intégrale définie relative à la ligne z^K- On a ainsi

toutes CCS intégrales se rapportant à la même ligne ZdC

13. Lorsqu'une portion du plan est limitée par une seule ligne fermée et continue, on dit qu'elle est à contour simple; si elle est limitée par plusieurs lignes distinctes, on dit qu'elle est à contour complexe (').

La démonstration du théorème fondamental de Cauchy résuite immédiatement d'une formule de Green, relative à la transformation d'une intégrale double en intégrale simple, et qui consiste en ceci : si deux fonctions réelles U et V des deux variables réelles x ei y sont continues, monotropes, et ont des dérivées partielles continues, dans une partie du plan à contour simple, on a

l'intégrale double s'étendant à la partie du plan limitée par une courbe intérieure infiniment voisine du contour de l'aire, et l'intégrale simple se rapportant à cette courbe décrite dans le sens positif (^) [voir la Note A à la fin du Volume).

Nous avons vu, en effet, que, lorsqu'une fonction analytique

de la variable imaginaire z est holomorpbe dans une partie du plan à contour simple, les deux fonctions réelles X et Y sont continues dans la même étendue, et admettent des dérivées partielles continues et

[') Théorie des fonctions elliptiques, p. 128. (^) Théorie (les fonctions eilipiiques, ç. ao.