XIV INTRODUCTION

satisfaisant aux relations

dx dy ' d.x ôf En vertu de la formule précédente, on a

les intégrales simples se rapportant à une courbe fermée intérieure, décrite dans le sens positif, et les intégrales doubles à l'aire enveloppée par cette courbe. On en conclut, d'aprfes la formule (i), que l'intégrale définie

relative à une courbe fermée quelconque, située dans la partie du plan considérée, est nulle.

\h-. Il en résulte que les intégrales définies

<^[z)^.£ s[z)dz,

relatives aux différentes lignes qui vont d'un point Zo à un autre z, dans la partie du plan considérée, sont égales ('). On peut regarder cette intégrale comme une nouvelle fonction analytique de la variable s, holomorphe dans la même étendue.

Nous remarquons d'abord que, d'après ce que nous venons de dire, la fonction 9(3) est monotrope. Elle est continue, car on a {-)

'?[z']^-^[z)=£f{-QdK.

( ' ) ryoï-ie des fa

(2) rbki., p, i34

INTRODUCTION. xv

Cette dernière intégrale étant indépendante de la ligne qui va du point s au point voisin s', on peut l'évaluer suivant la droite zz' ; si l'on appelle M le maximum du module de la fonction /(J^) sur la droite zz' et p la longueur de cette droite, le module de cette intégrale est moindre que Bip.

Il reste à faire voir que la fonction ^(2) a une dérivée. Si l'on pose

et par suite

'■'■'4=-'-^ =/(^) + -,'■■■ f'.rfç;

Z'—Z ■' ^ ' Z —^ Jz'

le dernier terme ayant un module moindre que le maximum du module de la quantité infiniment petite £ sur la droite zz', il est clair que le premier membre tend vers une limite égale Af{z), quand le point z' se rapproche indéfiniment du point z, d'une manière quelconque. La fonction continue ^{z), ayant une dérivée continue /(s), est holomorphe.

15. Du théorème de Cauchy on déduit une formule importante qui donne l'expression d'une fonction holomorphe par une intégrale définie. Si la fonction /(z) est holomorphe dans une partie du plan à contour simple, et si l'on désigne par t un point quelconque situé dans cette partie du plan, on a, en effet.

l'intégrale étant prise, dans le sens positif, sur le contour de l'aire ou sur une courbe intérieure infiniment voisine ( ' ).

Il en résulte que, si deux fonctions, holomorphes dans une même partie du plan, sont égales sur le contour de l'aire, elles sont égales dans tout l'intérieur. La connaissance des valeurs de la fonction sur

[1) Thàoriù des fonctions elliptiques, -ç. i36.