XVI INTRODUCTION

le contour détermine donc complètement la fonction dans l'aire enveloppée.

16. On conclut aussi de cette formule que, lorsqu'une fonction /(s) est holomorphe dans une partie du plan, sa dérivée est holomorphe dans la même étendue ('), et par suite que la fonction admet une infinité de dérivées successives, qui sont toutes holomorphes dans la même étendue (^).

17. Le développement d'une fonction holomorphe en une série entière se déduit de la même formule. On démontre que, lorsqu'une fonction /(s) est holomorphe dans un cercle décrit de l'origine comme centre, elle est développable en une série entière, c'est-à-dire en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de la variable, et convergente dans ce cercle (').

Plus généralement, lorsqu'une fonction /{z) est holomorphe dans un cercle décrit du point So comme centre, elle est développable en une série entière, ordonnée suivant les puissances de z — z^, et convergente dans ce cercle (").

18. La démonstration du théorème de Cauchy (n" 13) suppose seulement que, dans la partie du plan considérée, les fonctions réelles S et Y des deux variables réelles x ai y sont continues, et admettent des dérivées partielles continues et satisfaisant aux deux relations

^ ^ — ^ '^^ — dx dy ^ ' dx Oy '

qui expriment que le rapport

tend vers la même limite, pour deux déplacements de la variable parallèles aux axes des coordonnées (n" 5),

[') Théorie des fonctions elliptiques, p, i'!?. ('] 7Wrf.,p. iSg.

( = ) W/W.,p.ii9.

(M IhkL, p. i5a.

INTRODUCTION. xvii

Quand ces conditions sont remplies, il résulte de la formule {2),

qui est une conséquence du théorème de Cauchy, que ce rapport tend

vers la même limite, quelle que soit la direction du déplacement, et,

par conséquent, que la fonction est holomorphe.

19. Nous avons appeléyonc/ton analytique [n° 6) une fonction dont chaque branche est holomorphe, excepté en certains points singuliers. Si, dans une partie finie du plan, la fonction analytique /(z) est monotrope et continue en tous les points sans exception, il est impossible qu'en un nombre fini de points elle cesse d'avoir une dérivée, ou que la dérivée éprouve une discontinuité quelconque. Remarquons d'abord que le théorème de Cauchy subsisterait encore, quand même la dérivée cesserait d'exister, ou deviendrait discontinue, en un nombre fini de points œ, p, y, ..., situés dans la partie du plan considérée; car, en décrivant des petits cercles autour de ces points et les joignant au contour par des transversales, on formerait un contour simple enveloppant une partie du plan dans laquelle la fonction est holojnorphe. L'intégrale sur le contour entier est nulle. Les transversales, étant décrites chacune deux fois dans des sens contraires, donnent un résultat nul; la fonction /(s) étant supposée finie en tous les points, les petits cercles donnent des quantités infiniment petites et par conséquent nulles; il en résulte que l'intégrale relative au contour primitif est nulle. Remarquons ensuite que, pour établir la formule {2) du n" 15, il n'est pas nécessaire d'admettre qu'au point t la fonction admette une dérivée, ou que la dérivée soit continue; il suffit que la fonction /(z) soit continue dans le voisinage de ce point ('). Cette formule représente donc la fonction dans toute la partie considérée du plan, sans exception, et, par conséquent, la fonction admet une dérivée en chaque point, et cette dérivée est continue.

Propriétés fondamentales des fonctions analytiques. 20. A l'aide du développement en série entière, on démontre aisé-

(') Théorie des fondions elliptiques, p. iSj,