III. — Théorème de Riemann-Roch (M

17. On connaît le théorème de Riemann-Roch relatif au nombre des constantes arbitraires dont dépendent les fonctions rationnelles qui ont comme pôles simples n points donnés sur une courbe algébrique.

Considéré au point de vue de l'étude des séries linéaires de groupes de points, ce théorème s'énonce de la manière suivante :

Si g^,^ est une série complète^ la dif/erence \j. == p -^ r — n, où p désigne le genre de la courbe f^ est égale au nombre des adjointes d^ ordre m — 3 linéairement indépendantes passant par un groupe de la série.

Le théorème est évident dans le cas des séries complètes non spéciales.

Envisageons donc le cas àhcne série spéciale. Cette série g^^^ est alors comprise partielJement dans la série canonique g 2^-2- ^^ existe par suite une série résiduelle g'^p-^-n ^^ S^n P^^ rapport à g2p-^^'> ^^ 1^ nombre ?'' est égal, d'après ce que nous avons vu, au nombre [x des adjointes cp„^3 linéairement indépendantes passant par un groupe de g^^y diminué d'une unité. Soit

( ^ ) Nous étudions ici le théorème de Riemann-Roch sous sa forme géométrique, dans l'ordre d'idées de Brill et Nœther.

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Or, par un groupe G de g^^^ et par r' points arbitraires de /' (mais non par r^H- i), on peut faire passer une ^m.-.^- Appliquons successivement le théorème du n^ 13. Soient Pi, Po, • . -, Pr, les points arbitrairement choisis; la série

est complète, d'ordre 72 + i , de dimension i% et de plus elle est spéciale.

11 en est de même de la série

Finalement, on arrivera ainsi à une série g^^^j..^^ qui sera encore complète, mais ne sera plus spéciale, d'où l'on conclut l'égalité

et, en tenant compte de l'égalité précédente r' ■=z p. — i ,

n — r ^= p — [ji,

ce qu'il fallait démontrer.

On donne souvent au nombre [x le nom à' indice de spécialité de la série gj^.

18. La loi de réciprocité de Brill et Nœther se conclut immédiatement de ce qui précède. On considère deux séries

g a. g'n' {n-\-n' =ip — 'l),

résiduelles l'une de l'autre par rapport à la série canonique; des

égalités

r'=p.-i, on déduit

n -h 7^' — r = p ~i, d'où

19. Il ne sera pas Inutile de montrer comment on peut, de la forme géométrique cjue nous venons de donner au théorème de Riemann-Roch, passer à la forme analytique rappelée au début.

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Soit donc K(a^^y) la fonction rationnelle la plus générale ayant n infinis simples en des points A^, A2, .. ., A,^ de la courbe f. Nous remarquerons d'abord que cette fonction dépend linéairement de constantes arbitraires, car, en désignant par a^ , ^2, • • . , a,i les abscisses des A, le produit

{x— ai) .,. {x — an) R(^, y),

qui doit rester fini à distance finie, sera de la forme

P(.^, y) {x— bi) ... {x — ba)'

bi^ 627 • • -5 ^d étant les abscisses des points doubles, le polynôme P(^,/)/') s'annulant aux points de rencontre des droites x ^=: h avec la courbe /, et son degré étant déterminé par la condition que R reste aussi finie à l'infini : toutes ces conditions s'expriment par des relations linéaires et homogènes.

Cela posé, envisageons l'équation R(^,y) = a, où a est un paramètre variable, et où R est maintenant une fonction rationnelle déterminée devenant infinie en Aj, A2, . . ., A/^. Cette équation définit une série linéaire g]^^ dont un groupe particulier est le groupe Ai, A2, .. ., P^n qui correspond à la valeur a = 00. Si cette série n'est pas complète, elle sera contenue dans une série g]^ complète qui sera définie par un système linéaire d'adjointes

en désignant par cpo une adjointe s'annulant en A^ , A2, . . ., A/^. Par suite, la fonction rationnelle

est l'expression générale des fonctions ayant les infinis simples A^ , A2, . , ., Afi' Et c'est la fonction la plus générale jouissant de cette propriété, car, autrement, cette fonction plus générale définirait un groupe d'ordre n, contenant Aj, A2, ..., A/^ et de dimension supérieure à j\ Ce nombre r est donné par la relation

et, par suite, le nombre des constantes figurant dans l'expression

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cherchée est

C'est V expression analytique du théorème de Riemann-Roch.