Relativement à la dimension 7\ de la série des groupes de
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points déterminée par le système de toutes les adjointes d'ordre v sur la courbe f^ nous distinguerons deux cas, suivant que v est plus grand ou inférieur à m.
Si V <C /^, il est évident que la dimension de la série sera égale à la dimension du système linéaire des adjointes d'ordre v; on aura donc
Si v^m, il n'en est plus ainsi, car le système des adjointes contient alors le système linéaire formé par /et toutes les courbes d'ordre v — m. Le nombre de ces courbes linéairement indépendantes doit évidemment être défalqué et l'on aura dans ce cas la relation
r > 1 —cl ^
Ces deux expressions coïncident pour v = m — i et v = 7?i — i. Mettons en évidence le nombre in — 3, et introduisons le nombre
p — cl.
Pour V =: m — 3 + à (a^ i), on aura la relation r^) ^p — 2-4- 7?i a ; pour y =1 m — ^3 — a (a^o), on aura la relation
10. Quant au degré n^ de la série, il est égal à mv — id. Donc, pour v =^ m ^ — ^ 3 -4- a, on a
et, par suite, ,pc
et
n^) = ip — 2 -r- 772 a,
et pour V = m — 3 — a, on a
risj ^= ip — 2 — ^ 7?ta
11. Soit maintenant une série complète quelconque ^f^. Nous savons qu'on peut la considérer comme déterminée par un système linéaire de courbes adjointes cpv passant par un groupe fixe F sur/. Soit g2, la série complète déterminée par toutes ces adjointes d'ordre v; en assujettissant celles-ci à passer par F, /?v sera évidemment diminué du nombre ). des points de F, et /\ sera diminué de ce nombre ou d'un nombre moindre, suivant que les conditions imposées par le passage des adjointes en ces \ points seront ou ne seront pas indépendantes. On aura donc les relations
n =^ iisj — X,
r -, ry ~ 1 -i~ z ( £ = o ) , et, par suite,
On en conclut encore que, pour les séries déterminées par des adjointes d'ordre supérieur à m — 3, on a
et, pour les séries déterminées par des adjointes d'ordre inférieur ou égal km — -3,
12. Parmi les séries de groupes de points, il J a lieu de distinguer celles qu'on peut obtenir au moyen d'un système d'adjointes d'ordre 7n — 3; elles portent le nom de séries spéciales; dans le cas contraire, une séine est non spéciale.
La série canonique est la série spéciale déterminée par toutes les adjointes d'ordre m — 3 (' ).
Le degré d'une série spéciale est inférieur ou égal à 2/? — 2, et une série dont le degré surpasse ip — 2 est certainement non spéciale.
Nous allons démontrer sur les séries spéciales deux théorèmes fondamentaux d'où nous déduirons ensuite quelques conséquences importantes.
(^ ^ ) Une série, qui peut être déterminée par des adjointes d'ordre /n — 3 — a inférieur à m — 3, est spéciale, puisque l'on peut adjoindre à ces adjointes une courbe fixe arbitraire d'ordre a. De sorte que les séries non spéciales sont celles qui ne peuvent être déterminées que par des adjointes d'ordre supérieur à /n — 3.
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13. Soit g^^^ une série spéciale complète, et soit P im point fixe de y n'appartenant pas à toutes les ^m-^ q^^i déterminent un groupe G/2 de la série. Le premier théorème Cjae nous avons en vue est le suivant :
La série complète somme du point P et de g^^^ est de dimension r, et non de dimension supérieure.
Pour le démontrer, menons par le point P une droite quelconque L qui coupe f en. m — i autres points a. Par P et par un groupe Qji de la série, on peut faire passer une ^m^^-^ formée d'une ^m-^ passant par Ga et de la droite L; d'ailleurs l'adjointe '^m-^ rencontrera /' en dehors de G^^ en des points [3 qui, par hypothèse, ne comprennent pas P. La série complète somme de P et de g^j^ s'obtiendra au moyen de toutes les adjointes d'ordre ni — 2 passant par les points a et [3. Or, ces adjointes d'ordre m — • 2 ayant m ■ — I points a sur L, contiendront cette droite, et il ne restera à considérer que les adjointes d'ordre m — 3 qui déterminent précisément la série ^f^ complète. La série complète somme de P et de g^j^ est donc bien de dimension r et non de dimensioa supérieure.
Symboliquement, nous pouvons donc écrire
On doit remarquer que si P appartenait aux points [â, les (Djn-2 se décomposeraient bien encore en la droite L et en les adjointes o,n__^, mais celles-ci ne seraient plus assujetties à passer par P; donc la dimension de (P + g^,^) serait supérieure à r.
14. Nous avons vu que si la série complète ^J'^ était spéciale, on avait n — r'^p — i (n^^ 11). Le second théorème fondamental sur les séries spéciales est en quelque sorte la réciproque de cette proposition. Son énoncé est le suivant :
Soit g^^jj une série quelconque [complète ou non)^ si Von a
la série est spéciale.
Il suffit évidemment de supposer que la série est complète. Soit donc g'J^^ une série complète pour laquelle n — r"^p — 1 . Suppo-
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3o CHAPITRE II.
sons que le théorème soit démontré pour les séries de groupes de moins de n points. Prenons un groupe G de g^^^^ et soit P un de ses points non commun à tous les groupes formant g\-^ ; désignons par a les autres points de G. Ces points a déterminent une série complète g^j^\ de degré n — i et de dimension r — i , et, par hypothèse, cette série sera spéciale paisque
Gela posé, si les adjointes d'ordre m — 3, passant par les points a, ne passaient pas par P, la série normale somme de P et de ^vj^l] qui est g^]^ serait de dimension r — i seulement, en vertu du premier théorème, ce qui est contraire à l'hjpothèse. Par suite, le groupe G est sur une adjointe d'ordre m — 3 et le théorème est démontré.
jo. Voici quelques conséquences importantes des théorèmes précédents :
La série canonique a la dimension p — i . — Cette dimension est tout d'abord au moins égale k p — i [n° H, inégalité (2)]. Supposons qu'elle surpasse ce nombre. Il existera alors une série spéciale ^'^20-2 (^ = ^)- ^^ ^"^^ adjoignant un point fixe, on aurait, en vertu du premier théorème, une série ^'fpl,; celle-ci serait spéciale, en vertu du second théorème, puisque l'on a
ce qui est impossible, puisque son degré est 'ip — i.
// n^y a pas d^ autre série ^2/^-2 9.^^^ ^^ série canonicj[ue. — En efTet, une telle série satisfaisant à l'inégalité
est spéciale ; elle doit donc être contenue dans la série canonique, et, par suite, coïncider avec elle, puisqu'elle est de la même dimension.
La série canonique n^a pas de points fixes. — Supposons en effet que cette série ait un point fixe A sur y. En retranchant A, on aurait une série ^'^nl;}? et, en adjoignant alors à cette dernière
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LA GEOMETRIE SUR UNE COURBE ALGEBRIQUE. Ol
un point arbitraire P, on obtiendrait une série g2p-2 distincte de la série canonique, puisque tous ses groupes ne contiennent pas A, ce qui est impossible.
Remarquons d'ailleurs que les ^7?^3 qi^^ii déterminent la série canonique peuvent avoir des points communs fixes en dehors de f: telles sont, par exemple, les '^^u-^ d'une courbe du sixième ordre avec huit points doubles.
Pour une série complète non spéciale^ on an— r:=p. — On a, en effet, dans ce cas (n° 11 ),
Si donc n — r était inférieur à /?, il serait égal k p — r au moins et la série serait spéciale. Comme exemple, la série non spéciale g2p-2-h7n<x déterminée par toutes les adjointes d'ordre jji — ■ 3 + a (a> i) a pour dimension r =^ p — 2 + /na.
16. Voici encore une conséquence importante relative au genre cl^une courbe algébrique irréductible. Pour une courbe ayant seulement des points multiples à tangentes distinctes d'ordre /, le genre /> a pour expression
Lorsqu'il s'agit d'une courbe ayant des singularités quelconques, son genre /> est, par définition, celui d'une courbe n'ayant que des points multiples à tangentes distinctes à laquelle elle correspond par la succession étudiée de transformations quadratiques. Mais, pour que cette définition soit acceptable, il faut être assuré que les genres p et p' de deux courbes à singularités ordinaires (pour lesquelles par suite ces nombres sont définis) sont égaux, si les courbes se correspondent point par point. Pour établir ce théorème fondamental, il suffit de considérer sur la première ^courbe une série complète non spéciale g^^^ et dont tous les points sont mobiles.
Nous prendrons n supérieur à 9p — 2 et à 2/>^— 2; à cette série correspondra sur la deuxième courbe une série g-',^, non spéciale et complète. D'où l'on conclut
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et, par suite,
Remarquons encore que, lorsque des courlDes se correspondent point par point, une série spéciale complète gj'^ se transforme en une série spéciale.
On a, en effet, sur la première coui'be,
donc aussi sur la seconde. Ainsi la série canonique se transforme en une série canonique.
