Ges remarques faites, nous allons commencer par chercher

(^) La méthode que nous suivons dans cette section est empruntée à un élégant Mémoire de M. Castelnuovo, Sui multipli di una série lineare {Rend, di Palermo, t. VII ) .

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une relation entre r^ et 7^y^i. Dans ce but, considérons la série résiduelle de G,2 par rapport à g''^^ : elle aura la dimension r/^ — ■ va, puisque le fait pour une Sk de passer par Gn vaut précisément v/f conditions. Mais la série résiduelle considérée contient évidemment la série g[j;z\)n ^^ coïncide avec elle; on aura donc

et par suite

r/,- rk-xlik-^

si

rk~rk-\^n.

si

30. Proposons-nous maintenant de trouver une valeur limite de h à partir de laquelle on soit assuré que la série g'^\ nJest pas spéciale. Nous en déduirons un résultat extrêmement intéressant relatif au maximum du genre p d\ine courbe gauche de degré n.

Considérons toutes les valeurs de k jusqu'à l'entier ^ immédiatement inférieur à — — et satisfaisant par suite aux inégalités

Ce nombre y est le nombre cherché. Nous allons montrer, en effet, que la série découpée sur C par les surfaces de degré y n'est pas spéciale. On a

Supposons que la série g'^{: soit spéciale. Projetons la courbe C sur un plan en prenant comme point de vue un point A de cette courbe. Nous aurons une courbe G d'ordre n — ^ i et sur cette courbe une série g^^^ projection de la série considérée qui devrait être spéciale. Une droite D arbitraire du plan détermine avec le point A un plan qui coupe G suivant une G^ qui a v^ points indépendants. Donc, un groupe au moins de la série g^ pourrait contenir v.^ — -i points de G pris sur la droite D sans contenir les autres points de rencontre. La chose est impossible si la série est spéciale, puisque v^^ — i est au moins égal à /2 — 3, et qu'une

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adjointe d'ordre {n — i) — 3 qui passe par n — 3 points en ligne droite doit contenir la droite. La série g'^^J: n^est donc pas spéciale.

31. Appliquons le théorème de Riemann-Roch. La série peut ne pas être complète; désignons par d-^^o son défaut. On a, puisque la série n'est pas spéciale,

D'autre part, écrivons toutes les inégalités (i) depuis la valeur ^^ = 3 jusqu'à r^ et ajoutons-les-, on trouve

donc

d'où la conclusion que nous avions en vue, puisque dy^o] un maximum du genre p d^une courbe gauche de degré n est donné par la relation

Ce remarquable résultat est dû à M. Gastelnuovo (Mémoire cité).

32. Il est intéressant de comparer ce résultat avec un théorème obtenu par Halphen. Celui-ci a établi (^ ) que le nombre maximum des points doubles apparents d'une courbe gauche de degré tz, sans points singuliers, est le plus grand entier contenu dans

— -j . Comparons ces deux résultats : soit h le nombre des

points doubles apparents de la courbe C, supposée sans points singuliers. On a alors

{n — \){n — rL) ,

donc

,. (tI — l)(7Z — 2)

^= ^ ^ - xC'^ - ^ - x)-

Si /z = a), -j- I, on a

{}) Halphen, Mémoire sur la classification des courbes gauches algébriques {Journ. de l'École Polytechnique, 1882).

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les résultats sont identiques.

Si /2 = aX, on a encore

et

*aa-„.(^^)'

Le théorème d'Halphen se trouve établi et est donc compris, comme cas particulier, dans le résultat obtenu par M. Gastelnuovo.

On peut remarquer que le minimum de h (ou le maximum de/)) peut être atteint. Si /z === aX, il suffît, pour le voir, de considérer une surface du second degré et une surface d'ordre X. Le nombre des points doubles apparents de la courbe d'intersection étant, dans le cas général^ donné par la formule connue

on aura, pour v = a,

Si /2 = 2^ + I, on considère une quadrique et une surface de degré \ -\- 1 passant par une droite de la quadrique. Il y a, en dehors de la droite, une courbe d'intersection de degré 2 A -f- i : appliquant alors la formule

•2( /i — K) = ( m — m'){ IL — i) ( V — i)

relative aux deux courbes d'intersection des surfaces S^j^, Sv, d'ordres m et m^ [m-^m' = [^.v), ayant respectivement h et h' points doubles apparents, on trouve, en faisant A'==o, m^=i, [ji = X + i,

La réciproque est vraie ; pour toute courbe gauche sans point double, ayant le minimum du nombre des points doubles apparents, on peut faire passer une surface du second degré (^voir Halphen, loc. cit.)^ mais la démonstration de ce beau théorème nous entraînerait trop loin de notre sujet.

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33. Revenons à la série ^J^}. . Nous avons dit que cette série pouvait ne pas être complète, ce dont on se rend très bien compte, puisque, pour déterminer si cette série est complète oa non, il faut envisager la perspective de la courbe sur un plan arbitraire et considérer la série des groupes de points projetés. Une question se pose alors : comment varient les défauts d^ de ces séries quand k augmente? Nous allons montrer que les défauts d^ vont en diminuant ou restent fixes, quand k augmente^ et quHl arrive par conséquent un certain moment à partir duquel dk reste fixe.

Nous avons vu qu'à partir de la valeur y^ de A", on est assuré que la série g'^^ n'est pas spéciale. D'ailleurs, on a

à partir de yt =: «^ 4- i . Donc, en posant

rk= kn~ p — <r4, on a la relation

kn—p — dk~ [(>^--i) n—p~— dk-i\^n, ou

dk'^.dk-i'

En désignant par iz le nombre y^(^n—~i — y) considéré plus haut, on a

Par suite, à partir dhine valeur de k assez grande^ on a rk^=. kn — p — <:/, o^<il'n: — />, d étant un nombre fixe compris entre o et iz— p,

34. On pourrait se proposer de trouver une valeur de A* à partir

de laquelle d]^ a atteint certainement son minimum d, M. Gastel-

nuovo a démontré (Mémoire cité) que cela a certainement lieu

pour

Nous ne démontrerons pas ce résultat; nous allons seulement chercher à obtenir une expression de d^ en prenant pour k un nombre supérieur ou égal à /z — 2.

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Considérons la perspective F de la courbe gauche C sur un plan, en prenant un point de vue arbitraire O. La courbe F a un certain nombre h de points doubles apparents a^b^ c^ . , . correspondant aux couples de points (a^, «2), (è^, ^2): • • • delà courbe G, puis des points multiples i, projections des points multiples I de cette courbe. Les courbes d'ordre k^n — 2 adjointes à F déterminent

une série complète g^^ non spéciale, et l'on a, par suite

Donc, les cônes d'ordre k et de sommet O passant par ces adjointes définissent sur la courbe C une série linéaire de même ordre et de même dimension. Ces cônes passent par les points (a^, ^2), ... et par les points multiples L En chaque point I ils coupent la courbe G d'une manière bien déterminée, c'est-à-dire qu'il j a sur chaque branche de la courbe gauche en L autant de points de rencontre qu'en a une adjointe au point i avec la branche correspondante de la courbe F. Considérons alors toutes les surfaces H;^ d'ordre k passant par (a^, ^2), . . . par les points I et se comportant, en ces points, de la manière bien déterminée indiquée pour les cônes de même ordre.

Ges surfaces détermineront sur G la même série linéaire ^'j.

puisque la série linéaire correspondant à S'^^ est de même ordre que pour les cônes et que la série relative aux cônes est complète. Envisageons maintenant toutes les surfaces S/^ d'ordre k mais passant seulement par les points I, et de la manière indiquée; elles détermineront sur G une série d'ordre

Nous allons montrer que cette série est complète. Il suffit d'établir que le fait, pour une surface S^, de passer par (a^,a2), (6^, 62), . . . équivaut exactement à ih conditions ou, en d'autres termes, que ces ih points sont bien indépendants relativement à une S/^. Nous avons donc à faire voir qu'une surface S/t peut passer par a^, (Z?i , Z?2), (c^ , Co), ... sans passer par 6^2. Pour cela, considérons dans le plan de F une courbe d'ordre k — i{k — i^/z — 3) passant par b, c^ ... et se comportant aux points i comme une adjointe, ce qui est toujours possible, mais ne passant pas

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par a. On aura alors un cône d'ordre k — i ne passant pas par Oa et rentrant dans les '^h~\- En lui adjoignant un plan passant par a^^ et non par a^^ on a bien une 11\ qui passe par <^i5 ip\^ ^2)7 (^'ij c^i • • • et non par ^2-

Donc, les S/^ déterminent sur G une série non spéciale complète, d'ordre ni^-\~ 2/^ et de dimension %+ ih— p,

Nous sommes maintenant en mesure de répondre à la question, que nous nous sommes proposée, d'obtenir une expression du défaut d\ nous y parviendrons en prenant pour k un nombre supérieur ou égal à A — 2.

Soit d'abord le cas le plus simple où la courbe gauche G est supposée n! avoir pas de points multiples. Dans cette hypothèse, les surfaces Yx^ sont alors les surfaces arbitraires S^ de "Uegré A". Les surfaces S^ déterminent donc sur G une série non spéciale et complète g'2 : on a

n/c= nk, r/c = nk — p

et, par suite, dans ce cas

D'où nous concluons le résultat déjà obtenu au Ghàpitre VIII du tome P'' : le nombre N^e des conditions exprimant qu'une surface d'ordre k passe par une courbe gauche d'ordre n sans points multiples est égal à

Gonsidérons maintenant le cas où la courbe G a des points multiples. Soit a le nombre des points de rencontre d'une Sa avec G confondus aux points I : si ces points sont à tangentes

distinctes, on a

[ji — H t (i — i).

Les surfaces S^ déterminent sur G une série non spéciale complète. Or on a

n'j^ = nk — 2 h — [jl.

L'ordre de cette série est donc nk — [i. et sa dimension nk — [j. — p. Désignons par va le nombre des conditions qu'il faut imposer à une S/f pour qu'elle devienne une S/^, c'est-à-dire qui expriment qu'une S^ se comporte aux points I de la manière spécifiée plus haut. La dimension r/^ de la série g'^\ déterminée sur G par toutes

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les surfaces S^ d'ordre k sera alors

rji = kn — [X • — p -\-Vk^=. kn — jd — ( [ji — v/<;).

et comme nous savons que cette série n'est pas spéciale (k^n — 2), il en résulte que son défaut dk est

dk^ fi. — vy^,

nombre positif, puisqu'on a évidemment [a^v^. Or d^ diminue ou reste constant quand A* augmente, donc v^ ne diminue jamais quand k augmente, et, à partir d'une valeur assez grande, garde une valeur constante v. A partir de cette valeur de A", on a toujours le même défaut a — v,,

Supposons que les points I soient des points doubles à tangentes distinctes j en nombre S : on aura [i,i= 2S. Or Vh représente le nombre des conditions pour qu^une surface S^ passe par les S points, en tout S conditions indépendantes, puisque k^n - 2. On a donc va= S, et par suite

Supposons finalement le cas d'une courbe avec des points triples à tangentes distinctes, qui est le plus intéressant à considérer pour la théorie des surfaces. Il appelle l'attention sur la complication du problème de la recherche du nombre v/^.

Soit I un point triple ordinaire de C. Uae surface S/j doit couper chaque branche de courbe passant par I en deux points, puisqu'une adjointe à une courbe plane en un point triple i coupe chaque branche de cette courbe en deux points confondus en i : donc, six points de rencontre. Il s'agit maintenant de savoir combien de conditions entraîne pour la surface le fait de passer en I et de couper en deux points, confondus en I, chacune des trois branches de C qui passent par I. Deux circonstances différentes sont possibles.

Si les trois tangentes à C en 1 ne sont pas dans un même plan, la surface S aura en I trois tangentes non situées dans un même plan; le point I sera un point double pour S, donc quatre conditions. D'ailleurs les points triples donnent des conditions indépendantes, comme on le voit en raisonnant sur les adjointes

planes [k~^n — 2). On a donc

d — [x — V — 2 ^, et r/. = k n — p — 2t,

/ étant le nombre des points triples.

Si les trois tangentes sont dans le même plan, la surface S, tangente en I à deux des tangentes, est tangente à la troisième; le nombre des conditions se réduit à trois, et l'on aura

d =^ \x — V = 3 /, rk =^ kn — p — 3 /f .

P. ET S., ir.

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I, Systèmes linéaires de courbes irréductibles dans un plan.

1. Les systèmes linéaires de courbes que nous avons envisagés jusqu'à présent étaient définis a priori, par une relation de la forme

OÙ les ^ sont des fonctions entières de x, y^ et les h des constantes arbitraires.

Dans ce qui va suivre, nous considérerons un système linéaire comme défini par la manière dont se comportent les courbes qui Je composent en des points donnés du plan, il y a lieu de préciser cette définition.

Soit o un point du plan, considérons les courbes passant par o et telles que, leur équation étant mise sous la forme

OÙ cû/ désigne l'ensemble des termes homogènes de degré i, i! existe entre les coefficients des cp jusqu'à un certain rang A un certain nombre de relations linéaires et homogènes. Ces reJations peuvent être regardées comme définissant une certaine manière de se comporter de ces courbes en o. En particulier, on exprimera d'une telle façon que les courbes ont en o, avec une courbe déterminée passant par ce point, un certain nombre d'éléments communs, parmi lesquels en premier lieu le degré de multiplicité. Ceci posé, l'ensemble des courbes d'ordre /?, se comportant de manières données en des points donnés 0|, Oo, • . ., o/i du plan, constitue un système linéaire, soit

(i) aoQoH- aiQi-f-. . .-!- a,,Q,. =r o:

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DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES DANS UN PLAN. 5l

et si entre les poljnomes Q, de même degré n^ n'existe pas de relation linéaire, homogène et à coefficients constants, on dira que le système est de dimension r.

Le degré D de ce système linéaire est le nombre des points d'intersection variables de deux courbes arbitraires du système.

Le système linéaire sera complet ou i ncojitp le t suivant que l'on considère l'ensemble tout entier ou une partie de l'ensemble des courbes se comportant de la manière indiquée aux points donnés o^ . , . o/i, qui sont appelés les points-bases du système.

La propriété d'un système linéaire

(S) ho'hQ-+- hi^i-h. .,-i- h,.'\'r= o,

défini par des fonctions données ^o • • • '\'r de ^ et j/ d'ordre /z, d'être complet ou incomplet, est donc toute relative. Il faut, pour que cette définition ait un sens, formuler, parmi les points communs à toutes les courbes J/, ceux que l'on considère comme pointsbases et le comportement des courbes en ces points. Suivant que l'on prend la totalité ou quelques-uns de ces points, et suivant le comportement choisi, le même système (S) pourra être complet ou incomplet. Il nous arrivera de dire que le système (1') définit un système complet : il faut entendre par là qu'on considère le système qui a comme points-bases tous les points communs aux courbes ^ avec, en ces points, le même comportement que la courbe générale du système (S). Le système complet ainsi défini a alors même genre et même degré que le système (S).

En vertu du théorème de Nother, ces conditions se réduisent toujours à exprimer qu'une courbe a, en des points donnés, une multiplicité ordinaire donnée; c'est ce que nous supposerons dans la suite.

2. Démontrons d'abord que la courbe générale d'' un système linéaire irréductible n^ a pas de points multiples mobiles. Notons dans (i) un/a/^ceaw arbitraire que nous pouvons écrire

(2) [J-0Q0-+- p-iQi = o,

où Qo, Qi sont deux polynômes irréductibles de degré n. On va montrer que les points multiples de (2) ne se déplacent pas quand

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le rapport — v^arie. Or, en un point multiple (^Xq^j^q) de (2), on a

dq„ dQ,

et, par suite, les points multiples appartienaent aux deux courbes

Si ces deux courbes n'ont pas de partie commune, la proposition

est démontrée. Supposons donc que ces deux courbes aient une