partie commune, soit F =: o, qui ne peut être ni Qq, ni Qi, car si
Qo était partie commune, il en serait de même de Q,, à moins
que tous les points de la courbe Qo ne satisfassent aux deux
1 • àQo ôQq . , 1. p.
relations -y- == o, -y- = o, ce qui n a pas lieu. Posons
en tous les points de la courbe F, on a, en vertu de (3),
dK
dx
ôy
et, par suite, sur cette courbe, la fonction R garde une valeur constante soit R = Rq- La courbe F appartient donc à
(4) Qo-KoQi-o.
D'autre part, la courbe F est une courbe dont tous les points
sont multiples, puisqu'on a sur F, R =:r R^^ — - = o, y- = o. On
en conclut que Rq est une constante telle que la courbe (4) admette au moins un facteur carré, et est, par suite, une valeur
particulière de la constante — — • Ainsi un point arbitraire d'une courbe F commun aux courbes (3), s'il en existe une, ne peut être point multiple de [i.oQo+ p-i Qi =^ o, quand — est arbitrairC; et le théorème est démontré.
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3. Soit |G/^| un système complet d'ordre n. Désignons par /o^ le nombre des conditions auxquelles doit satisfaire une courbe d'ordre n pour passer de la manière indiquée parles points-bases. La dimension de \^n\ sera donnée par la formule
— \--ka'
11 peut arriver que k,i dépende de n. Tout d'abord ce nombre ne peut pas décroître avec n, puisque parmi les courbes du système |C/2{,|| se trouvent les courbes ]C/a| et une droite arbitraire. En second lieu le nombre k,i est évidemment au plus égal à la somme des conditions relatives à chaque point-base pris isolément. Il a donc un maximum fini, soit k. Donc à partir d\ine certaine valeur de n, on a /f/^= /f, et l'on a alors
Quand n a la valeur à partir de laquelle ki,-=^ A', le système est dit régulier ; quand le système n'est pas régulier, la différence k — k,i porte le nom de surabondance.
Indiquons un exemple où k,i variera au début avec n. On sait que toutes les courbes du troisième ordre passant par huit points ont un neuvième point commun. Si donc on prend les neuf points communs à un faisceau de courbes du troisième ordre, comme points-bases simples d'un système linéaire^ on aura, pour n = 3, 7"/^= I et /f/^ = 8, tandis que, pour n ^ 4; oi^ ^ ^0^= 9-
4. Soient |C,^| un système complet, régulier et irréductible, t: le genre de la courbe générale, D le degré du système, et r^ sa dimension : Il existe une relation importante entre D, tt et r,i. On a, en effet, en désignant par \ le degré de multiplicité d'un point-base,
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d'où l'on conclut Ja relation cherchée
5. Sur chaque courbe d'un système linéaire complet, régulier ou non, les autres courbes du système déterminent une série linéaire de groupes de points qui porte le nom de série caractéristique.
La série caractéristique est complète, que le système soit régulier ou non. En effet, l'ensemble des courbes du système forme, par rapport à l'une d'entre elles, l'ensemble des adjointes d'ordre n qui, ayant déjà par définition chaque point multiple d'ordre \ comme point d'ordre \ — i, sont, en outre, assujetties à avoir \ points d'intersection réunis en un seul en chacun de ces pointsbases. En vertu du théorème démontré précédemment (Ghap. II, n^ 4) la série linéaire ainsi déterminée est complète.
Si, en outre, le système linéaire est régulier^ la série caractéristique sera non spéciale ; car sa dimension est r^ — i et l'on a
Si le système linéaire n^ est pas régulier, la série caractéristique sera spéciale. On a, en eff'et, en désignant par S/^ la surabondance
d'oii
r,i—l = D — TT-h £/,.
Donc : La série caractéristique sera non spéciale ou spéciale suivant cjue le système linéaire de courbes sera régulier ou non (^ ).
La réciproque est évidente : Un système linéaire est régulier ou non suivant cjue la série caractéristique est non spéciale ou spéciale. En particulier le système linéaire des courbes adjointes d'ordre ^m ■ — ^3 est régulier.
(^) Pour l'étude de la série caractéristique dans l'étude des systèmes linéaires de courbes planes, voir Segre, Rendicojiti cli Palermo, 1887, et Gastel^^uovo, Mémoires de V Académie de Turin, série II, t. XLII.
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6. Le système adjoint à un système linéaire est formé par l'ensemble de toutes les adjointes d'ordre ii — 3 à une courbe arbitraire du système.
Le système adjoint détermine donc sur chaque courbe du système la série canonique g'^:^!^.
Il ne faudrait pas croire que le système adjoint à un système \dn\ soit toujours le seul système linéaire pouvant détacher sur C/z la série canonique. Voici un exemple du contraire : Considérons une cubique f^ et une quartique/r, quelconques : elles ont douze points communs A,, Ao, . . ., Aïo. Prenons ces points comme pointsbases simples d'un système de quartiques. Ces quartiques seront de la forme
(5) (a^H-Pj-HX)/3Hn/4-0,
soit un système de dimension 3. Une courbe quelconque de ce système, qu'on peut supposer être//,, est découpée par toutes les autres suivant la série caractéristique, laquelle en vertu de l'équation (5) est aussi déterminée par les droites arbitraires
et l'ensemble de ces droites forme le système canonique.
Dans ce cas, la série canonique et la série caractéristique coïncident, et le système linéaire jG,;! est coupé par lui-même suivant la série canonique.
7. Un système complet, somme de deux systèmes complets |Ci| et IC2I d'ordres respectifs m et /i, est, par définition, un système d'ordre m -\- n^ ayant comme point-base d'ordre [x + v un point base d'ordre ^ de l'un et d'ordre v de l'autre.
Désignons par Dj, D2 les degrés respectifs des deux systèmes, et soit i le nombre des points d'intersection d'une courbe Gj avec une courbe G2 : le degré D du système-somme sera évidemment
Soient, en effet
D = D1-1-D2-1- 'iL
aoQo-f- aiQi-f-. . . == o,
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les deux systèmes donnés. Le système
appartient au système-somme. Il suffît alors de compter le nombre des points d'intersection^ en dehors des points-bases, des deux
courbes
Q/Pa--=o, Qi^P/, = o.
Le genre de la courbe somme de deux autres, supposée irréductible, est donné par la formule
ainsi qu'il résulte immédiatement des trois relations
