Donnons quelques exemples de systèmes complets

(^) Ce théorème paraît avoir été établi pour la première fois par M. Enriques (Mémoire cité de la Société italienne des XL), mais sa démonstration est assez compliquée. L'emploi du lemme du n° 12 rend au contraire le théorème pour ainsi dire intuitif.

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DES SYSTEMES LINÉAIRES DE COURBES SUR LES SURFACES. lo3

Toutes les surfaces adjointes ou sous-adjointes d'un même ordre déterminent un système complet de courbes.

On obtient encore un système complet en assujettissant ces surfaces à passer par des points ou des courbes assignés à l'avance sur y avec un comporteuient donné, et en retranchant ensuite les courbes fixes des courbes du système.

Une courbe C, avec points-bases et comportements donnés, suffit pour déterminer un système complet.

Pour Je construire, on fera passer par cette courbe une adjointe <ï> d'ordre v. Soit F la courbe résiduelle. Toutes les adjointes <ï> d'ordre v passant par F et ayant aux points-bases donnés, avec la surface/*, le comportement donné, détermineront le système.

Un faisceau irréductible (/i =^ o, /' = i) est toujours normal.

Sur une surface générale d'ordre donné, les sections planes déterminent un système complet; et il en est de même sur une surface c[ui n'a pas de lignes multiples.

D'une manière plus générale, si une surface est telle cjue, sur une section plane arbitraire, les droites du plan déterminent sur la courbe une série g\^ complète, les sections planes de la surface formeront un système complet.

Considérons en effet une section plane arbitraire G. INous devons faire passer par G une adjointe. Prenons, par exemple, une adjointe d'ordre v + i formée par le plan P de G et une adjointe arbitraire d'ordre v c[ui coupe la surface / suivant une courbe F, en dehors des lignes multiples. 11 nous faut envisager toutes les adjointes d'ordre v 4- i passant par F : elles coupent toute section plane en m points variables, m étant l'ordre de /', et ces points doivent être en ligne droite, car autrement ces groupes de m points formeraient une série linéaire contenant la série g]^^ déterminée par les droites du plan, cjui alors ne serait pas complète.

De là, on conclut cpie la courbe y d'intersection des adjointes précédentes d'ordre v + i avec la surface/ est nécessairement d'ordre m et qu'elle est telle qu'un plan cfuelconque la rencontre en m points en ligne droite. La courbe y est donc plane et la proposition est démontrée.

Gomme exemple de surfaces à sections planes formant un système incomplet, citons la surface réglée du troisième ordre, laquelle admet une droite double.

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17. Soit encore, sur une surface, un système complet, simple, de dimension r et de degré /z, défini par

Nous avons vu qu'on peut faire correspondre à la surface/* dans l'espace à r dimensions une surface/^ définie par

Cette surface est d'ordre n, et elle est normale, en ce sens qu'elle ne peut être la perspective d'une surface du même ordre située dans un espace à un plus grand nombre de dimensions.

Une surface normale intéressante du quatrième degré dans l'espace à cinq dimensions est la surface de Véronèse, àé^me par les équations

Xi — ~ — j ' • ' } X'q ■ — ■ - — ,

où les L représentent six polynômes du second degré en a et p. Cette surface correspond au système linéaire de toutes les coniques du plan.