II. — Des systèmes complets

12. Ges préliminaires étant posés, nous allons, pour faire l'étude des systèmes linéaires de courbes sur une surface/, suivre la même marche que pour les séries linéaires de groupes de points sur une courbe (Gliap. II, p. 28). Soit donc un système linéaire quelconque de courbes |G| défini sur la surface f[x,y^z)^^o parle système de surfaces

(i^) aoLo+ a^Li -4- . . .H- a,.L;, — o.

Nous avons vu que le théorème du reste relatif aux courbes s'étend aux surfaces. En appliquant ce théorème, nous montrerons d'abord qu'w/i système linéaire cjuelconque |G| peut toujours être obtenu au moyen cVun système linéaire de surfaces sous-adjointes ou de surfaces adjointes cV un ordre suffisamment élevé, assujetties, s'il est nécessaire, à passer par un certain nombre d'éléments fixes (courbes ou points) delasurface.

Soit G' une certaine courbe de | G | déterminée par une surface L' de (L). Par G^ faisons passer une sous-adjointe o\ ce qui sera toujours possible en prenant son degré assez élevé; on obtient ainsi une courbe résiduelle V .

Soit maintenant L une autre surface de (L) qui détermine une

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courbe G du système : envisageons le produit

qui s'annule pour G, G^ et T'. Gette surface composée passe par l'intersection de/ et U, et l'on a donc, en appliquant le théorème du reste,

Lcp'= V(D + ô/.

D'où l'on déduit que cp est une sous-adjointe, passant par G et F, du même ordre que cp^ Par suite, on a, sur la surface S,

L,-o''=: L'cp,- (f = 0, i, . . ., r), donc

cp'(aoLo+ aiLi-H. . .+ a,.L;.) = L'(aocpo-l-. .' .-I- c(,r^r),

les surfaces o passant toutes par T', Par conséquent, l'équation (L) peut être remplacée par l'équation

(4>) do^fQ-^. . .-\- a,,(Dj,= o,

qui détermine comme la première sur S le système linéaire de courbes | G].

Les surfaces sous-adjointes cp passent par les points-bases du système jG], et elles ont, en ces points, avec la surface y des contacts c[ui dépendent du comportement des courbes du système. Si le système contient une partie fixe, elles passent par cette partie fixe.

13. Nous nous sommes servis de surfaces sous-adjointes, dans le raisonnement précédent; on peut tout aussi bien employer des surfaces adjointes, puisque le théorème du reste s'applique à ces surfaces. Il résulte d'ailleurs de l'égalité

Lcp' — L'cp — o,

C{ue si o^ est une adjointe, il en est même de cp ; on n'aurait qu'à reproduire les raisonnements faits au § 22 du Ghapitre IV.

Dans la plupart des démonstrations qui vont suivre, on pourra indifféremment employer l'un ou l'autre des deux systèmes de surfaces.

li. Une notion importante est celle de système complet.

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Soient [ Gj et [ G^[ deux systèmes, que nous supposerons d'abord irréductibles, ayant les mêmes points-bases et même comportement en ces points. Si la courbe générale G^ du second est une courbe totale du premier, et si la dimension du premier est supérieure à celle du second, ce second système | G^ | sera dit contenu totalement dans le premier. Ges deux systèmes ont évidemment même degré.

Gela posé, un système linéaire irréductible de degré n[n^o) est complet ou normal, relativement au degré, sHl n^ est pas contenu totalement clans un autre système irréductible, de même degré et à un plus grand nombre de dimensions.

15. Démontrons maintenant un théorème fondamental (' ) : Si un système linéaire irréductible n^ est pas complet, il existe un système complet et uti seul, cjui le contient totalement.

Soit G^ une courbe générale d'un système linéaire irréductible I C^|. Tout système linéaire contenant totalement CI est déterminé par des adjointes d'un certain ordre v, passant par une courbe résiduelle F, et se comportant en outre d'une manière convenable aux points-bases de | G^ |. Si donc l'on considère toutes les adjointes d'ordre v, linéairement indépendantes, ainsi spécifiées, on obtiendra un certain système linéaire | G | de dimension r^r\ défini par

dont le degré sera le degré n du système | G'|. Le système proposé I G'I est nécessairement contenu dans le système | G |, s'il ne coïncide pas avec lui, et tout système contenant totalement | G' | et par suite G^ sera aussi contenu totalement dans | G |. Le système | G| est donc le système normal ou complet cherché; il est complètement déterminé et uniciue.

Ge système complet ne dépend ni de l'ordre des adjointes cp employées, ni de la courbe G^ du système | G^ [ d'où l'on part.