CV

Ci,

Par suite, en appliquant le théorème du reste, on en conclut que (F, G!,) et G', sont sur une même adjointe, donc que le système résiduel de G', par rapport à |G| est le même que le système résiduel de Q'[ par rapport à ] G | ; c'est ce que nous voulions établir.

En représentant par | G2 | sans accent, le système résiduel, on pourra écrire symboliquement

28. Il résulte aussi de la démonstration précédente^ qu'une courbe G^ et une courbe Go étant sur une surface adjointe | cp |^ la courbe composée Gi -{- G2 est une courbe totale de | G |, et que les points-bases pour | G | qui ne sont pas points-bases pour | G^ | sont bases pour | G2 1 avec le degré de multiplicité \oulu. La somme I G^ -r Go I différera donc du système | G |, en ce que le premier système a, en outre des points-bases du second, les points-bases de I G, I non bases pour | G |. Désignant par A ces points et par \j.

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leur degré de multiplicité, et nous reportant à ce que nous avons

dit relativement à l'addition d'un point, on voit que l'on peut

écrire

i G ! = ICiH-SA^-t-Gsl et en déduire

I 0^1 = 1G-Gi-SA!^^|.

29. Des raisonnements analogues à ceux que nous avons faits au n" 21 montrent alors sans difficulté comment les relations (a) et (p) doivent être modifiées. En désignant par /i, ^,, 722 les degrés respectifs des trois systèmes et par ti, tz^ , iz.y leurs genres, on a

( a' ) 7Z — 7iî -[- 719 -f- 2 f H- 21 [J.^ ^

( ô') TT -. TTi + 712^ J-- 1 + S ^ ' ^^ " ' I .

30. Faisons encore une remarque dont nous aurons à faire usage dans la suite. Soit|C| un système linéaire irréductible ayant des points-bases O de multiplicité \. Nous avons vu que ce système pouvait être déterminé au moyen d'un système de surfaces adjointes ou sous-adjointes. On fait passer par une courbe G une adjointe cp d'ordre v qui détermine une courbe résiduelle F, et l'on envisage parmi toutes les adjointes d'ordre v qui passent par F celles qui se comportent en O de telle sorte que l'intersection avec la surface donnée ait en ce point un point multiple d'ordre X. Jjaissant de côté cette dernière condition, toutes les adjointes d'ordre v qui passent par F déterminent un système linéaire, soit I L I , qui, si l'ordre v est pris suffisamment élevé, est irréductible, n'a pas de points-bases, et est ce que l'on appelle an système pu7\he système | L | contient partiellement le système | G |, et l'on a

I L I :- I G ^ E 0>^ I ou

Ainsi on peut, et d'une infinité de manières, considérer un système irréductible | G| comme le système résiduel de ses pointsbases par rapport à un système pur.

Plus généralement on peut, et d'une infinité de manières, trouver un système pur | L | contenant partiellement le système [ G [ et, en désignant par I G, | le système résiduel de |G| par rapport à |L|, on

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aura

I Ll =- ! G-i-Gi-hSO>^| oa

I G| = i L — Cl— S0>^ |.

31. Terminons ce Chapitre par une observation importante. Les expressions symboliques dont nous avons fait usage et que nous emploierons encore dans la suite ne sont qii^ un moyen de simplifier le langage et de résumer par un symbole une série d'opérations faites sur des systèmes linéaires de courbes. Elles n'ont de valeur qu' autant que Von a reconnu auparavant que ces opérations ont un sens et qu'elles sont possibles. Il est donc important de ne jamais leur faire subir une modification sans se reporter aux définitions. Donnons quelques exemples :

Nous avons vu que de l'égalité

jG, | = |G|~G„ on ne peut, en général, pas conclure à l'égalité réciproque