G|- IG1H-G2I

Il faut, pour passer de la première égalité symbolique à la seconde, vérifier auparavant que les points-bases de | G | se composent des points bases de | G| | et des points-bases de | G2 | avec Je comportement convenable.

Soit encore le système défini par

I Gi I =. I G ^ 0>^ I

où O est un point base d'ordre X pour | G |. On le forme en faisant passer par une courbe G une surface adjointe d'ordre v; soit F la courbe résiduelle. Le système | G, | est défini par l'ensemble des surfaces adjointes d'ordre v, passant par F, et parles points bases de I G I avec un comportement convenable, sauf le point O. Or, il peut se faire que, de ces conditions, résulte pour ces surfaces adjointes la nécessité d'avoir le point O comme point-base, et alors le symbole précédent n'a pas de signification.

Considérons encore le cas où quatre systèmes | G^ |, 1 G2 L 1 G3 L I G4 I seraient tels que le système somme | Gi + G2 | serait équivalent au système | G3 + G4 |, en sorte que l'on peut écrire sjmboli-

Il6 CHAP. V. — DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES SUR LES SURFACES.

quement

I Gi-kG2 I - I G,-f- G,.

On ne peut en déduire l'égalité

! Cl — G3 1 ^ ! G4- G^ !

que si l'on sait, par ailleurs, que le système | Ci | contient partiellement I C3 |, ce qui peut ne pas avoir lieu.

Ces quelques exemples suffiront pour montrer quelles précautions il faut apporter quand on fait usage des expressions symboliques, constamment employées par M* Enriques dans son Mémoire déjà plusieurs fois cité [Introduzione alla Geoinetria sop/'a le superficie algehriche, 1896).

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DU SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE COURBES ET DU GENRE NUMÉRIQUE.

I. - Du système adjoint à un système linéaire sur les surfaces de genre géométrique supérieur à zéro.

1 . Nous nous proposons dans ce Chapitre de définir ie système adjoint à un s^^stème linéaire de courbes sur une surface, et d'étudier ses propriétés. Cette opération à^adj onction '^one un rôle fondamental dans la théorie des systèmes linéaires de courbes sur une surface. Des relations qui existent entre un système et son adjoint nous déduirons, en particulier, l'invariance du genre numérique d'une surface.

2. Voici d'abord une définition générale : soit sur la surface f{x^ y, Jï) = o d'ordre m un système linéaire irréductible | C | de genre iz et de degré n ; on donne le nom de courbes sous-adjointes cU ordre n — 3 + r au système |C| aux courbes qui jouissent de la propriété de couper une courbe générale C en un groupe de points appartenant à une série g^iz-^-irni'

Cela posé, envisageons en premier lieu le cas où \q système |C| est celui des sections planes de la surface /. Le système des surfaces sous-adjointes d'ordre m — Z -\- r découpe sur cette surface un système de courbes sous-adjointes d'ordre m — 3 + 7' au système |C|, et nous démontrerons plus tard que réciproquement toute courbe sous-adjointe d'ordre m — 3 -h /' au système des sections planes appartient à ce système. Parmi ces sous-adjointes, les plus intéressantes sont celles d'ordre m — 3, et parmi ces dernières, celles qui sont découpées par les surfaces adjointes d'ordre m — 3 constituent le système adjoint proprement dit au système | C | des sections planes de /'. Ce système est évidemment

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Il8 CHAPITRE VI.

compris dans le système sous-adjoint d'ordre m — Set peut coïncider avec lui, si les systèmes des surfaces adjointes et sousadjoiates coïncident.

3. Avant de définir le système adjoint à un système linéaire irréductible jC| quelconque sur la surface /, rappelons la définition du système canonique.

Le système canonique | K | sur une surface est déterminé par le système des surfaces canoniques, c'est-à-dire par le système des surfaces adjointes d'ordre m — ■ l\. Ce système peut être réductible : nous avons vu, en effet, qu'il contenait certainement comme partie ïxis.^ l'ensemble des courbes exceptionnelles de la surface /. Sa courbe variable pourrait être elle-même réductible et se décomposer, par suite, en un certain nombre de courbes d'un même faisceau. Ce dernier cas donne lieu à des observations intéressantes, comme nous l'avons vu au Chapitre VIII du Tome I.

4. Soit maintenant |C| un système linéaire donné sur la surface y, que nous supposerons complet, irréductible, simple^ de genre t: supérieur à zéro, et de degré n. Nous aurons plus tard quelques restrictions à faire sur ce système. Considérons le système de surfaces cjui détermine | C |, soit

les surfaces L étant des surfaces arbitraires du système, ce que l'on peut toujours supposer. Envisageons un système quelconque à trois dimensions, tel que

('->.) aoLo-f- aiLi-+- a2L2H- GCsLs = o,

et effectuons la transformation

/ON ? Li L2 L3

LiQ LiQ LiQ

A la surface /* d'ordre m va correspondre une surface f d'ordre 72. Au système (2) correspondront les sections planes de /', et au système (j) le système complet | C | contenant ces sections planes.

Sur la surface/^ le système | C^ | a un système adjoint | C^ | dé-

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SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE COURBES. I ig

terminé par les surfaces adjointes d'ordre /z — 3. Le système |G^| correspondant sur /à | C^| est, par définition, le système adjoint au système | G |.

5. Le système adjoint, ainsi défini, dépend d'une opération effectuée sur une surface-image ; d'où une certaine indétermination apparente, et une difficulté pour établir les relations d'invariance qui existent, sur la surface/, entre un système et son adjoint. On conçoit donc Fintérêt qu'il y a à modifier cette définition de manière à ne faire dépendre le système adjoint que d^ opérations effectuées sur la surface même. On y arrive facilement dans le cas où la surface donnée/ a un genre géométrique pg différent de zéro. C'est ce que nous supposerons tout d'abord dans la suite des théorèmes que nous allons établir. Nous nous réservons de traiter ensuite le cas où le genre géométrique p^ de la surface est nul.

6. Commençons par démontrer l'importante proposition suivante : Une courbe canonicjue arbitraire Ys. sur f découpe sur la courbe générale dun système irréductible |C| un groupe de points qui, ajouté à un groupe de la série caractéristique de |C| et aux points-bases de |C|, comptés avec leur degré de multiplicité.^ constitue un groupe de la série canonique g 2^1-21 Il étant le genre d^ une courbe C.

Soit |K'| le système canonique de la surface/^, image de / effectuée au moyen de la transformation (3), et soit O un pointbase multiple d'ordre), du système |G|. A. ce point correspond sur /^, comme nous le savons, une courbe exceptionnelle ù, unicursale et de degré )^, qui est coupée en)^ points par une courbe C^ image de C. Le système |K^|, déterminé par les adjointes d'ordre n — 4 à/^, contient comme partie ^\^q les courbes 0; on peut le considérer comme la somme |S0 -j- K"| des courbes 0 et d'une partie résiduelle |K'^| qui peut avoir ou ne pas avoir de partie fixe. D'autre part, il résulte de la relation d'invariance qui existe entre les surfaces adjointes d'ordre m — -4 à /et les surfaces adjointes d'ordre /^ — 4 de la transformée /^ que le système |K| sur /correspond au système jK^^j sur /^

D'ailleurs les points de rencontre d'une K/ et d'une C sont,, dans le plan de C^ sur une adjointe d'ordre n — 4? ^t, ces points^

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[.io CHAPITRE vr.

avec n points en ligne droite, c'est-à-dire av^ec les points de rencontre de deux C^ sont sur nne adjointe d'ordre n — 3 à G^ Ils forment, par conséquent, un groupe spécial de iiz — 2 points.

Revenant alors à la surface /, le groupe spécial que nous venons de définir correspondra aux points de rencontre de K et de G, aux points-bases comptés chacun avec leur degré de multiplicité et aux points de rencontre variables de deux courbes G, d'où la proposition énoncée.

7. Nous sommes en mesure maintenant de définir le système adjoint jG^j au système |G}, sur la surface /*, par une série d'opérations efifectuées sur cette surface même, sans recourir à une surface-image. Dans ce but remarquons que, sur la surface /^ la courbe composée CI -\~ 1L\ ou G ~\~ SQ -h K'^, déterminée par un plan et une adjointe d'ordre n — 4? est sur une adjointe d'ordre a — 3 k f ] donc la somme |G^ -f- K^| , ou la somme \G -\~^ù H- K^^| , est le système adjoint à [G^|, comme il résulte de la définition d'un système somme, et à ce système |G'^1 correspond sur y le système adjoint |G^^| à |G|. Or, pour effectuer la somme |G^-t- SQ -f- K'^|, on peut, d'après ce que nous avons dit au Ghapitre précédent (Ghap. V, n° 14), effectuer d'abord la somme |G^+SQ| et lui ajouter |K.^''|, ce qui, sur la surface /*, revient à considérer le système |G-t-SO| et à lui ajouter le système 1K|. Le premier de ces deux systèmes n'est autre que le système des courbes de même ordre que les courbes G, sur la surface /*, et ayant comme points-bases les points-bases de |G|, mais avec un degré de multiplicité inférieur d'une unité, le second système est le svslème canonique de la surface/.

Le système adjoint \Ca\ est donc la somuie de ces deux systèmes. // a nécessairement y dUiprès cette définition, comme points-bases d^ ordre \ — 1 tout point-base cC ordre \ de |G| et, en outre, les points-bases de jK] avec leur degré de multiplicité, si ce dernier système en possède. On pourra donc représenter symboliquement le système adjoint par là formule

(a) |G^| = |GH-SO-r Kl

qui résume toutes les opérations qu'il faut effectuer sur la surlace / pour l'obtenir.

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SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINÉAIRE DE COURBES. l'2\

8. De celle définition des adjointes, exprimées par la relation symbolique (a), nous allons déduire une série de conséquences importantes.

En vertu du théorème de l'addition, le système |G«| étant la somme des deux systèmes |G4-S0| et |K], chacun de ces systèmes est le système résiduel de |C^/| par rapport à l'autre. Nous pouvons donc énoncer le résultat précédent de la manière suivante :

Siu' toute surface de genre géométrique différent de zéro, tout système linéaire irréductible, cjui admet un système adjoint, est contenu dans cet adjoint et, le système résiduel cV un système par rapport à son adjoint est le système canonicjue.

Ce résultat peut être exprimé par l'égalité symbolique

9. Soient |Gi| et [C^j deux systèmes irréductibles et jG| leur

somme

|G! -. :Gi-;-G2|.

En effectuant les opérations définies par l'égalité (a), on a \0a\ -|Gi-,-G2--20i-i:02-f-Ki,

0{ étant un point-base de \C\\ et Oo un point-base de [Go]. Remplaçant successivement |Gi -f- SO, H- K| et IGo -!- SO2 + K], qui sont les systèmes adjoints à |G, | et à |G:,j, par \i^\a\ et |G2a|, on en

conclut

|Ga|- iGi^.-hG.2--S02| - !G2«-i-Gi^-2 0i|,

d'où ce théorème fondamental au point de vue 011 se place M. Enriques :

>5'/ |Gi| et IG2I sont deux systèmes linéaires irréductibles de courbes sur une surface, le système [Gial adjoint au premier, additionné au second IG2I, donne un système lG^,^-h G2I cjui est contenu dans le système adjoint |G«| à |G| et en difjère seulement en ce que tout point-base d^ ordre \ pour IG2I et non pour jGi| est d^ ordre \ pour IGi^-j- G2I et d^ ordre A — i pour |Grt|.

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10. Soit encore |Gtl un système irréductible, et A un de ses points-bases d'ordre u, le système défini par

est le système des courbes du même ordre que G^ sur/", mais avec le point base A en moins. Le système adjoint à |G| différera donc du système adjoint à |Gi| en ce que le second admet le pointbase A avec un degré de multiplicité ui — i et que le premier n'admet pas ce point comme point-base; on pourra donc écrire

IC^I- |Gia-^A!^-i| et !Gi«|-|C«-AI^'-i|.

H. Les opérations précédentes sont relatives à l'addition. Supposons maintenant qu'un système ]Gi| soit contenu partiellement dans un système [G] : ce système, comme nous le savons, peut avoir des points-bases A d'ordre pi qui ne soient pas bases pour jGj. Soit IG2I le système résiduel de |G| par rapport à jGij,

IG2I-IGI-G1.

Nous avons vu que le système |G| n'est pas égal à la somme

[Gi -\- G2I en général, mais à la somme du système jG^ -t- 5 Ah| et

du système |Go],

|Gi ^ [Gi-i-SAlJ^-f- G2I ;

Soit B les points-bases de IG2I, c'est-à-dire les points-bases de |G1 qui ne sont point bases pour |G^|. On aura alors, en appliquant le théorème de l'addition,

IGJ =. KGi H- SAH-)^^ G^^f- SB| =^ |Gi«-- SAH-^ -v G^-i^ SB|,

d'où

|Gi«i- IG^-SAH'-i-G^-SBI.