SI

où a a la même valeur mais où le poljnome Q satisfait à la condition nécessaire pour notre réduction ultérieure, condition à laquelle ne satisfaisait pas P.

Nous concluons de là que, si le plan ^ = a passe par uiipoinlpiace, V intégrale

'P(^, y^ z) dx dy

(x~ ay^J'L

peuty comme quand le plan ne passait pas par un point-pince ^ être ramenée au cas de a. ~~ i .

Une démonstration analogue s'applique, avec peu de modifications, au cas où le plan œ = a passe par un point triple de la courbe double, et nous pouvons, par conséquent, conclure que toutes les intégrales considérées de seconde espèce se ramènent à la forme

16. Allons encore plus loin, et établissons que l'on peut faire disparaître le facteur œ — a du dénominateur. Nous partons de

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l'intégrale supposée de seconde espèce

^P(,r, y, z) dx dy

{x~ a) fi

[P(.r, j/j 5) s'annulant sur la courbe double].

Nous savons (n° 6) que, dans le voisinage d'un point de la section plane x --=. a, on obtiendra une intégrale restant finie dans le voisinage de ce point en retranchant de l'intégrale précédente une intégrale de la forme

[B(^, jK, z) étant une fonction rationnelle de x^ y et z ne devenant pas identiquement infinie pour x = a\ Il résulte de là que l'on a

Via, y.t") ^ rry i «rx-i r /•/ y^ t

yf ' - ^[B(^,r. C)J Ui^ci.y, O-o].

La courbe /( (2, y^ Q =: o ayant des points singuliers, nous ne pouvons pas conclure, comme au n" 8, que B(a, j)/, Ç) est un polynôme en y et t^, mais il résulte des théorèmes les plus simples sur les fonctions algébriques d'une variable, que l'on peut écrire

Mfr, D

M(jKj Q étant un polynôme en y et Ç qui s'annule pour les points de la courbe /(«, JK, '() = o, cjui correspondent à /^'=: o (si la courbe a un point triple, la courbe M(j/, E^) == o aura ce point comme point double). Ceci posé, nous allons chercher à former un polynôme Q(x, y^ z) tel que la surface

passe par les deux courbes de rencontre des surfaces

(dont l'une est la courbe double cpie nous appellerons F, tandis (|ue l'autre C représentera le lieu des points simples de la surface où le plan tangent est parallèle à Faxe des z)^ et que l'on ait

Q^{ct,y,z)^U{y, z)~^^{y, z)j\a,y, z).

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l8o CHAPITRE VII.

6(jK, z) étant un polynôme arbitraire, et où, comme nous l'avons dit, le polynôme M (y, z) s^annule aux points doubles de la

courbe

et aux points simples de cette courbe où la tangente est parallèle à O^. [Dans le cas où le plan x ^= a passerait par un point commun à G et F, la tangente à la courbe M(j)/, ^) = o en ce point serait parallèle à l'axe des z.] La question revient à trouver une surface

passant par G et F, et coupant à distance finie le plan ^ = a seulement suivant la courbe M(y, ^) + 6(jk, ^)/(a, y, ;3) = o. La possibilité de cette recherche résulte du théorème général de M. Castelnuovo sur les systèmes linéaires de surfaces établi dans un Gliapitre précédent : Un système linéaire complet de surfaces défini par des lignes-bases et par des points-bases découpe sur un plan arbitraire un système complet (^régulier) de courbes y pourvu que le degré des surfaces dépasse une certaine limite. Nous appliquerons ce théorème au système linéaire complet S des surfaces de degré \ passant simplement par G et F, et aux sections par le plan ^ r= a, Le système linéaire S découpe sur le plan ^ = a le système complet a- des courbes de ce plan passant par les points où il rencontre G et F ( si ^ = a passe par un point P commun à G et à F, les courbes du système plan ont une tangente déterminée, intersection du plan tangent à la surface en P avec le plan x r=; a), pourvu que le degré \ des surfaces soit assez grand. Parmi les courbes du système c- se trouve, si X est pris assez grand, la courbe composée formée de la courbe

et de la droite à l'infini répétée un nombre convenable de fois. Il y aura donc, d'après le théorème de M. Gastelnuovo, une surface

coupant le plan x ^^ a suivant la courbe (a) et la droite à l'infini avec un certain degré de multiplicité; le polynôme Q remplira les conditions requises.

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SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPECE. l8l

On voit alors que l'intégrale à soustraire peut être prise égale à

D'ailleurs, l'expression

ày V fk J sera de la forme

- — y. — (R étant un polynôme)

puiscjue le poljnome Q/^. sera nécessairement (n° 14) de la

forme

notre intégrale, par la soustraction de l'intégrale ci-dessus, est

donc ramenée à

r rV{x,y,z)dxcly ^

Nous arrivons donc finalement au théorème déjà obtenu pour les surfaces sans singularités :

Etant donnée une surface

que Von peut supposer à singularités ordinaires {une ligne double a^ec des points triples), toutes les intégrales doubles de seconde espèce relatives à cette surface se ramènent par la soustraction d^ une intégrale de la forme

(U et V rationnelles en x^y et z) au type

r rP(x, 7, z)dx dy