J'envisage les expressions de la forme

U et V étant des polynômes en ^, y, z.

Cherchons à quelle condition cette expression est de la forme

M(^, jK, z) étant un polynôme en x, y et z. En développant l'expression ci-dessus, on a

^ dV ^ <)V

d^ d^ dz^ àz;^'; __ U /p .. fi\JL (f" f" 'tk

TT^TT /^^ ff f^K'' ^''fU /?V"^ ^''n

Il n'y aura pas de terme en -^ si U/^4- V/j est divisible par /J, c'est-à-dire si l'on a l'identité en x^ y et z,

A. et B étant deux polynômes. Nous allons voir que, dans ces conditions, l'expression proposée a la forme demandée. Il suffît de

montrer qu'il ne reste pas alors de terme en-^; or le coefficient de -777^ est égal à

En différentiant par rapport à z l'identité à laquelle satisfont U et V, on voit de suite que ce coefficient est de la forme

K et H étant des polynômes, et l'on a

dz

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Donc, V expression (a) sera de la forme ((3), si U e^ V satisfont à r identité (y) en x, y et z,

15. Revenons maintenant au n"" 13. Pour pouvoir ramener au cas de a = I , en suivant la méthode employée aux n°^ 7 et 12, il faudrait que dans l'expression

V{x, y, z) dxdy

le polynôme P(^, JK, ^), qui s'annule le long de la courbe double,

fût tel que la courbe

eût, comme tangente au point-pince, la tangente au point de rebroussement de la courbe /(a, y, ^) = o. S'il n'en est pas ainsi, nous allons montrer qu'on peut faire une première transformation réalisant cette condition. Formons la combinaison

\x-a)^~^fi

qui peut s'écrire

P ( .2^, jK, ^ ) 4- ( a — 1 ) V

(lY^-

àx\f'J

Prenons pour U un polynôme tel que la surface U = o passe par la courbe double et par la courbe simple de rencontre de/ = o et/j=o; de même, prenons pour V un polynôme satisfaisant aux mêmes conditions, en ajoutant, en plus, la condition que la surface

P(a7, JK, z) ~r- {a. — i)V = O

soit tangente au point-pince à la tangente à /(«, j-, ^) = o dans le plan ^ = a, et cette dernière condition peut évidemment être réalisée. D'autre part la surface

-"Jy-

a pour ligne double la courbe double de / et passe, comme U = o et V = o, par la ligne simple de renconti'c de /= o et//:=: o ; on

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a donc

Enfin -jj et -7, restant finies en un point arbitraire de la courbe double, l'expression

sera de la forme

M étant un poljnome s' annulant sur la courbe double. Donc, par la soustraction effectuée, l'intégrale

Pf.'T, y, z) dx dy

est remplacée par l'intégrale

'Q(.^, y, z) dx dy