Partons de l'intégrale (I), où le polynôme

est de degré/?, et désignons par Pi (^, y^ z) l'ensemble des termes homogènes et de degré /> dans P. Posons

H et R étant des polynômes de degré p en x, y et z. On peut choisir^ si p est assez grand ^ les polynômes H et K de degré p, de telle manière que V on ait V identité

Vify^yf'x=-^f'z-~^^f {^ et B étant des polynômes),

identité qui peut s'écrire

Pi (r/; - ^/i ) - H/;. -H K/i - kfi - B/.

Pour légitimer cette assertion, nous n'avons qu'à nous appuyer sur la proposition de M. Castelnaovo dont nous avons déjà fait usage (n° 16). Considérons la surface <ï> représentée par l'équation

Elle passe par les deux courbes définies par les équations

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SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPECE. l83

L'une de ces courbes T est la ligne double de /; désignons l'autre par G. Les axes ayant été pris arbitrairement, on peut supposer que G et F sont des lignes simples de rencontre de f^=Oj /'.r= o. Ensuite <ï> coupe le plan de l'infini, suivant la ligne

(ï) ^=-0, Pi(7cp;.-:-^cpi) = 0,

en introduisant la quatrième coordonnée homogène t^ et en désignant par o l'ensemble des termes homogènes de plus haut degré m dans f. Réciproquement, toute surface de degré p passant par les coLirbes G et F et contenant la ligne plane (v) a le premier membre de son équation de la forme

où U et V sont des polynômes de la forme (a).

D'autre part, la surface <ï> est aussi représentée par l'équation

Elle passe donc par la courbe simple D de la surface /, définie par les équations

De plus, elle passe, comme nous le savions déjà, par la ligne double, mais nous voyons maintenant que ^ est tangent à la surface

le long de la ligne double F; réciproquement, toute surface passant par D et par F, et étant tangente à /^= o le long de F, a le premier membre de son équation de la forme

Gonsidérons alors le système linéaire S des surfaces de degré m ~\~ p défini par les lignes-bases simples G, D et F, avec la condition que le long de F ces surfaces soient tangentes ày^= o. Si p est assez grand, et par suite m +/?, ce système linéaire découpera

sur le plan de l'infini

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le système linéaire complet de courbes de degré m -]-/?, caractérisé par les points-bases simples qui sont les intersections du plan de l'infini avec les courbes G, D et F, avec la condition supplémentaire qu'aux points d'intersection du plan de l'infini avec la courbe F, la courbe soit tangente à la surface f'z=^ <>• Or la courbe (y), considérée plus haut^ définie parles équations

satisfait bien à ces diverses conditions, car la courbe

qu'elle contient partiellement, passe par les points à l'infini de C, D et F. Les points à l'infini de F satisfaisant aux équations

la courbe j/cp' 4- ^cp^.r:^ o dont l'équation peut s'écrire

— Z Cpl -}- /?! cp =0

est bien tangente à 0^=: o aux points doubles de o.

Donc, sip est assez grand, nous pourrons certainement trouver une surface du système linéaire S, donnée soit par l'équation

soit par l'équation qui lui est identique

où U et V ont la forme (a).

19. Nous allons facilement achever la démonstration. Après avoir déterminé U et V comme il vient d'être dit, formons la différence

f'z p — /?z -1- 3 L àf \ fi ! dx \ f. j

nous allons voir qu'elle est de la forme

oùÇl est seulement de degré p — 1 , tandis que P était de degré/?.

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On a l'identité en x, y, z

uy;+.vyi^A/!+B/,

A et B étant des polynômes respectivement de degré/) + i et p. D'après le calcul du n" 14, on a sur la surface /= o

c)U ^ ^ OA ^

Or, soient dans U, V, A, B les termes homogènes de plus haut degré en œ, y, z représentés respectivement par u, v^ a, b\ on aura d'abord

donc

P 1 ( yo'y H- xo'^.) = cccd'--- b(D, d'où l'on déduit

P 1 ( — 5 CD ~ -r- 7?i cp ) = aoL-h bo, on en conclut

^ P,j ^ i Xc2 )

^ ^ (X polyn. homog. en ce, y, z de degré p -{- 1 — m).

h = 7?iPi — Xcp^ )

On aura donc, comme on le vérifie immédiatement,

du dv àa , , ox i-^ '^^

— -f- h = {p — m + 3) Pi -f- — cp.

dy dx dz ' ôz '

On pourra par suite, sur ta surface f^ écrire

dy ox az

Q(^,jK5 ^) étant un poljnome de degré /> — i au plus. Nous con cluons donc de là qu'on peut passer de l'intégrale

V {x, r, z ) dx dy

où p est un poljnome de degré /?, à une intégrale de même forme où P sera seulement de degré p -— i, pourvu que p dépasse une certaine limite.

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l86 CHAPITRE VII.

20. Nous pouvons enfin déduire de toutes les transformations précédentes le théorème fondamental relatif au nombre limité des intégrales distinctes de seconde espèce. Convenons de dire que des intégrales de seconde espèce sont distinctes , si aucune combinaison linéaire de ces intégrales n'est de la forme

U et V étant rationnelles qw x^ y^ z.

Le théorème fondamental sur les intégrales doubles de seconde espèce est alors le suivant :

// n'^y a pour une surface algébriciue quUin nombre limité d^ intégrales doubles distinctes de seconde espèce.

Ou encore :

Il existe pour une surface algébrique un certain nombre p d^ intégrales doubles distinctes de seconde espèce

II, h^ •••, Ip,

(elles c[ue toute autre intégrale double de seconde espèce est de la forme

ai I] -f- «2 12 -

-ffi^-^fr)''^''^^

les a étant des constantes^ et U et V des fonctions rationnelles

dex,y,z,

21. La démonstration précédente s'applique à tous les cas. Pour établir que les intégrales

T {x,y^ z) dx dy

sp

se réduisent à un nombre fini d'entre elles, on pourrait se borner au cas où la surface est la plus générale de son degré.

En prenant pour/(x, jk, ^) un polynôme arbitraire de degré m, on peut trouver facilement une limite du degré p. Reprenons l'identité fondamentale

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en supposant que U et V sont de degré p -j- i . On a alors

Q étant un polynôme de degré p. Nous avons va que dans Q(^, r, 5) l'ensemble des termes homogènes de degré p sera égal à un polynôme homogène donné Pj (^, y^ z)y si l'on a

U==:7Pi-i-H )

[ (H et K polynômes de degré p ).

Formons alors l'identité

Dans H/1.+ ^/'xt ^^^ ^^ ^'^ ^ ^^"^^ ^^^ polynômes arbitraires de degré />, le nombres des arbitraires est égal à

D'autre part, pour avoir une identité de la forme (^), il faut et il suffît que la surface obtenue en égalant à zéro le premier membre de cette identité, que nous appellerons la surface <ï>, passe par la courbe gauche

Or, on sait que le nombre des conditions exprimant qu'une surface de degré ^ passe par une courbe gauche sans point singulier de degré d et de genre tï est égal à

si [ji est assez grand; dans le cas où la courbe est l'intersection complète de deux surfaces de degrés a et [3, on doit avoir

Dans la cjuestion actuelle

De plus, la surface <ï> a, quels que soient les arbitraires c[ui y figurent, un nombre de points communs avec la courbe (y) égal à

l88 CHAPITRE Vil.

ni[m — i), et qui sont les m{in — i) points à l'infini de (y); le nombre des conditions est donc à diminuer de ]n[m — ^ j). Le nombre des paramètres sera au moins égal au nombre des conditions qui expriment que la surface ^ passe par la courbe (y), si l'on a

( yo -h i ) ( /> -h '2 ) ( /3 -h 3 ) (p — m-^- i){p — m-^3)( p — jn ^ i) __ ___ -

Si po désigne le plus grand nombre entier positif pour lequel cette inégalité n^ est pas vérifiée, on pourra ramener toute inté-

^^rale

'^V (x. y,z) dx dy

à une intégrale de même forme, où le degré de P sera au plus/>o- On ne peut pas trouver pour p^ une expression simple, mais on vérifie facilement que

et l'on est par suite assuré de pouvoir réduire à 2/72 — 4 l<^ degré du polynôme qui figure au numérateur de l'intégrale double.

VI. — Recherche des conditions pour qu'une intégrale double soit de seconde espèce.

22. Nous venons de montrer que toutes les intégrales de seconde espèce se ramènent par une soustraction convenable à la forme

P(^, y, z) dx dy

(le polynôme P s'annulant sur la courbe double), où le degré/; du polynôme P est limité. Mais toutes les intégrales doubles de cette forme ne sont pas de seconde espèce. Il faut maintenant exprimer que cette intégrale est de seconde espèce.

Nous n'avons rien à exprimer pour ce qui regarde les points à distance finie de la surface

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Nous avons seuleaient à examiner les points à l'infini, en supposant d'ailleurs, comme il est permis, qu'avant toute réduction on ait fait une transformation homographique.

Posons

et soit alors F(X, Y, Z) = o l'équation de la surface transformée. L'intégrale prendra la forme

"""■"■'■ '<,xd^-.

H(X, Y,Z) désignant un polynôme qui s'annule pour la courbe double de F. Si p est au plus égal k m — /[, l'intégrale est de première espèce. Soit donc

Par la soustraction d'une intégrale convenabJe de la forme (n°^ 7 et 12)

d rB(X,Y,Z)"

r n â rA(x,Y,z)i à rB{

j J (dX ^ XP"^'»---^) J "^ 6'Y L -> on obtient une intégrale

Xp-{m-k)

\ dX clY,

I K(X, Y, Z) dX.cn

K(X, Y, Z) étant un polynôme s'annulant pour la courbe double. D'après le n"* 16, pour que cette intégrale ait sur la ligne X = o le caractère d'une intégrale de seconde espèce, il faut et il suffit que l'expression

Fi(o, Y,Z)

soit la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z. On pourra reconnaître s'il en est effectivement ainsi, ce qui entraînera en général

conditions, en désignant par iz le genre d'une section plane quelconque de la surface et par suite de la courbe F(o,Y, Z) = o. Les

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igo CHAPITRE VII.

conditions reviennent en effet à écrire que l'intégrale abélienne

rK(o,Y, Z)f/Y

Fi(o, Y,Z)

est algébrique ; les 271 périodes cycliques doivent être donc nulles, ainsi que les m résidus relatifs aux points à l'infini, qui donnent seulement m — ^1 conditions. On sait d'ailleurs que toutes ces conditions s'expriment sous forme algébrique.

23. Toutes ces conditions étant remplies, nous sommes assuré que pour les points à l'infini de la surface

qui correspondent à

X r- o, Y -- une valeur finie,

les conditions pour que l'intégrale proposée soit de seconde espèce se trouvent vérifiées. Si l'on avait posé

on aux'ait eu l'intégrale

^ l ^ 1, Zi

clX.dY, [Fi(Xi, Yi,Zo-ol.

Pour les points de la courbe Y, = o, elle devrait en général avoir le caractère d'une intégrale de seconde espèce, puisque cette courbe correspond à X== o. Donc pour tous les points à l'infini de la surface F^ qui correspondent à Y^ = o et à une valeur finie de X^ se trouvent vérifiées les conditions pour que l'intégrale soit de seconde espèce. Mais on a

donc aux points de F exclus plus haut pour lesquels

correspondent sur F^

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SUR LES INTÉGRALES DOURLES DE SECONDE ESPECE. igj

et par suite pour les points à l'infini de la surface /pour lesquels

X — o, Y - ce

les conditions relatives à la nature de l'intégrale double sont bien

vérifiées.

Il reste enfin à examiner les points à l'infini de la surface/ pour

lesquels