Prenons maintenant l'intégrale double

r r P(^, y, z) dx dy

le polynôme P(^,y, z) étant uniquement assujetti à passer par la courbe double. D'après l'étude faite dans la Section H du Chapitre XI (t. II, p. 35 1), et en nous servant des résultats précédents, nous sommes assuré que, si la surface n'a pas d'intégrales de différentielles totales de seconde espèce, il y a 'ip-^-m — i fonctions Ù linéairement indépendantes, et, par suite, un nombre de périodes (^au sens où nous les avons entendues dans toutes nos recherches antérieures) égal à

N — 'ip — (7?l — i).

C'est le théorème fondamental de la page 354 (t. II). Que devient ce résultat, quand la surface a, comme ci-dessus, r intégrales

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INTÉGRALES DOIJCLKS DISTINCTES DE SECONDE ESPfXE. 4^^

de diflereutielles totales de seconde espèce? Il y a alors seulement, comme il vient d'être établi,

'ip -^ m — \ — r

12 linéairement indépendants. On voit bien facilement la modification que ceci amène dans tous les raisonnements. Le nombre des périodes est aloj's égal à

c^est-à-due

On trouve ces périodes par les mêmes combinaisons que plus haut, et l'on démontre par la même voie leur indépendance.

Sur le nombre des conditions exprimant qu'une intégrale double est de seconde espèce.

14. Nous avons recherché précédemment (t. 11, p. 210) quel est le nombre des conditions exprimant ç[\\' une intégrcde double de la forme

P ( 57, jK, -S ) clx dy

est de seconde espèce. Nous avons trouvé que ce nombre est an plus égal à 2/>.

Ce résultat a été ensuite jDrécisé (t. II, p. 828), et il a été démontré que ce nombre est certainement égal à 2/?, cjuand Vécjuation E n^ admet pas comme solution un polynôme.

Nous sommes maintenant en mesure d'approfondir encore davantage la question et d'arriver à un résultat définitif.

15. Supposons que la surface admette /* intégrales de différentielles totales de seconde espèce. Nous avons vu (Section I) que Féquation E admet comme solutions /' polynômes linéairement indépendants. Que va-t-il arriver pour l'équation E'? Nous alJons

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4o4 CHAPITUE XII.

montrer qii^ elle admet comme solutions r polynômes en y, en outre des m — i polynômes correspondant aux points à l^ infini. Dans le voisinage d'un point singulier Z>, l'équation E^ admettra le système fondamental qui pourra être formé des fonctions

les t: étant des polynômes, les iù' étant tous holomorphes autour de b^ sauf l'un d'eux co'^ qui a un point singulier logarithmique en b. A ces iù' correspondent 2/? cycles distincts sur la surface de Riemann.

D'autre part, si nous revenons à l'équation E, elle admettra autour de b le système fondamental

COi, CO2, .... 0^2^-1, C02p5

les o) correspondant aux mêmes cycles que les co^, et étant holomorphes autour de Z?, sauf le dernier too^.

On peut associer deux à deux les intégrales des équations E^ et E, nous voulons dire les intégrales de E^ et E correspondant à un même cycle. Soit, pour une valeur non singulière A àe y (et son voisinage), deux intégrales

u' et u,

ainsi associées et correspondant à un cycle F; allons dans le plan àe y par un chemin déterminé du point A à un point 3 voisin du point singulier b. On aura, en p,

u' — hi W^ -4- /Z2 Wg -f- . . . -H h2pM2P -H /^2 '^2 -H . . • H- l^m'^m, U = AiWi -1-/12^2 +...-+- h2pO}2p,

les h et les k étant des entiers; il est essentiel de remarquer que les h sont les mêmes pour u' et pour u^ mais que pour u il y auia en général de plus des termes en tî, car il est possible que le passage du cycle F aux cycles correspondant aux (±> (et aux w^) se fasse en traversant des points à l'infini, et c'est de h\ que proviennent les termes en tt.

Ceci posé, supposons que le cycle F corresponde à une solution de E qui soit un polynôme. L'intégrale u étant dans ces conditions un polynôme, il faudra nécessairement que, dans l'expression de Uj à l'aide des co, on ait

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pour que b ne soit pas un point singulier logarithmique. Mais alors u' sera aussi liolomorplie autour du point b. Celui-ci étant un point singulier quelconque, ^^^ sera holomorphe autour de tous les points singuliers et, par suite, sera un polynôme.

Ainsi, à tout polynôme vérifiant l'équation E, correspond un polynôme yérifiant l'équation E^ La réciproque résulte d'ailleurs de la même analyse. Nous aurons donc comme solutions distinctes de r équation E^, en dehors des m — i polynômes tt, un nombre de polynômes précisément égcd à 7^, comme il a été énoncé,