Si, clans la forme F/noiis posons
( ui = — Q2, u, = — Q,,
la forme F devient
F = coi Qi + CO2 O2 -1- . ,. .
D'après ce qui précède, celle forme bilinéaire se transforme en elle-même, quand on effectue sur les co la substitution a-, et que l'on effectue en même temps sur les ^ la substitution correspondante résultant du changement de variables (4), la substitution (a-) ayant été effectuée sur les u en même temps que sur les to. Nous appellerons S la substitution correspondant à la substitution cr^ effectuée sur les 0. Désignons cette dernière par
(2) o;. =: M(l2i-i-M^,0, -4-...-f-Mi;;02;. (i'= I, 2, ..., 2/?).
On a identiquement
Wi^i H- (1)2^2 -^- • •+ ^-^ip^ip = ^i ^1 -4- fo^ ^2 ~^* • -"^ ^^'^p^'ipi
et de là se déduisent immédiatement des relations entre les m et les M. On voit bien aisément que, en vertu de ces relations, la substitution inverse de S, c'est-à-dire l'expression des Q en fonction des Q! ^ correspond à
Qi = îii] Q\ H- /??? o:^ -f-. . .-H jn'f^'Q'.^P {i= i, 1^ . , ., ip). Or posons maintenant, dans les équations (2), Pi = — Q2, ' . •, P 2p— 1 = — Q27J5
P2 == Ql; •••: ^2p — Q2/;-l 5
le système de ces équations (2) devient manifestement
d'après la manière même dont on passe de la substitution a- à la substitution S.
Dans la question qui nous occupe, on peut donc remplacer le système des équations (2), pris bien entendu pour toutes les substitutions du groupe de E, par le système des équations (5); on doit
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établir que, pour les équations (5) et les équations (3), le degré d'indétermination dans la solution (les Q et les X étant considérées comme les inconnues) est le même.
La chose est immédiate si nous transformons encore le système (5) en résolvant par rapport aux lettres Q du second membre, ce qui nous ramène à la substitution inverse et donne le système (5)^
(5)' q,=:mjq,~^mfq,+.,.-^m}Pq,p (i=:i, '1, ..., ^p).
Or, le système (5)^ n'est autre que le système (3); il suffit de poser
On voit ainsi bien nettement que, à toute solution du système (2), correspond une solution du système (3). Il y a donc le même degré d'indétermination dans les deux systèmes et le théorème est établi. Nous pouvons dire que, à toute intégrale de différentielle totale de seconde espèce (transcendante) ^ correspond un système de quantités P; par suite, à toute intégrale de cette nature correspond un certain polynôme en y, solution de E et, inversement, à tout polynôme en y, solution de E, correspond, pour la surface, une intégrale de différentielle totale.
Puisque les \ s'expriment à l'aide de r d'entre eux par des formules homogènes et linéaires à coefficients commensurables, on peut affirmer que ^intégrale cjui a servi à former l' équation E admet r périodes distinctes cjui sont des polynômes en y.
On le voit de suite; car, en changeant, s'il est nécessaire, les indices, on peut supposer queX,+j7 "-) '^^2p s'expriment de la manière indiquée à l'aide de )m? ^2, . . ., V? l'expression générale de nos polynômes sera
Al ( W,, — /Ci 0);,+i — /C2 W;.+2 — ... — /i:2p-?- ^2p) + • • .
-+- X/. ( W/. — Il W/-+1 — . . . — t2p—r^2p)i
les k, ..., l étant des nombres rationnels : les coefficients des X sont r polynômes nécessairement indépendants, puisque les (o forment un système de solutions distinctes de E.
Sgd CHAPITRE XII.
7. Il ne sera pas sans intérêt de faire une vérification directe pour p z=i 2. Ecrivons la substitution g* sous la forme
CjO^j = Cil CO] H- 61 CD2 -1- Cl CjO;3 -}- <ii (.O4, 0)2 = «2 <^'^1 + ^2 ^1^2 + C2 CO3 -f- <:/2 (O4, a/3= «3 0)1 -h- Z^sWo + C3CO3 + r/gW-,,
CJO4 =: «4 a)| -f- b^ 0J2 -H C4 W3 H- <:/4 CO4.
Cette substitution effectuée à la fois sur les lu et les u transforin-ant en elle-même la forme bilinéaire
OJ1U2 — 0)2 Oj + 0)304 — 0)4^3,
on aura les relations
a^ 62 — a^bi -\- a^ 64 — «4 ^3 = i , C] r/2 — C2 r/i -{- C3 (f/4 — C4 <:/3 = T ,
cil ^2 «^2 Cl -f- a^ Cl, «4 C3 =: o,
rt] <^2 — (^H di -H «3 dj, — «4 6/3 = o, bi Cl — ^2 Cl 4- b^Cf^. — bi^c^ = o, 61^/2 — ^2 <^i + ^;^ «^4 — ^4 d'^ = o.
Le système des équations (2) est ici
Pi = ai Pi + bi P2 -1- Cl P3 + di \\,
P2 = «2 Pi + b, P2 M- C2 P3 4- ^4 P4,
^ P3-«3PlH-^3P2 + C3P3+c/3F4,
P4 - a, Pi + ^4 P2 + c, P3 -f- ^4 P4 et le système des équations (3) est
!Xi — cil 11 H- «2 ^^2 -H «3 ^^3 + «4 ^^4, X2 — bi Xi -h bi'ki -i- ^:W^3 ^- ^4 ^^4, X3 = CiXi -f- C2A2 H- C3À3 4- C4X4, X4 =z cli^i-h d^ X2 -H <:/3 X3 -f- ^4 ^^4-
Ce sont les systèmes (a) et ([3) que nous avons à comparer. Or^ si l'on pose, dans les équations (a),
P2r=. Qi, P4= Q3,
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on a les équations du type des équations (5)
Ql = -^2 Ql — «2 Q2 -+- ^2 Qs — C, Qi,
, Q2 = — ^1 Qi -)- ^^1 Q2 — ch Q3 + Cl Q,i,,
^^ ^ Q.s = -H ^4 Ql - a, Q2 -f- ^^. Q3 - c, Q4,
Q',. = — ^3 Ql + ^^3 Q2 — ^3 Q3 M- ^3 Q4
et l'on trouve les équations correspondant aux équations (5)' en résolvant les équations (y) par rapport aux lettres Q qui sont dans le second membre et en se servant des relations entre les a, b^ c, d. On a ainsi
Q., = ai Ql -h ^?2 Q2 -f- <23 Q3 -I- «4 Q4,
Q2- 6iQi-f-62Q2+ ^:^3Q3H-^4Q4,
Q3 == Cl Ql H- c. Q2 -4- C3 Q3 -H C4 Q4,
Q4 ^ ch Ql H- f/2 Q2 + ^4 Q3 -i- ^4 Q4. Ces dernières équations sont les équations ((î) quand on pose
Xi=Qi, X2 = Q2, As^^Qs, >^4==Q4
et cela est bien conforme à la démonstration générale du paragraphe précédent. La vérification est donc complète.
8. Le théorème général, qui vient d'être établi sur les intégrales de différentielles totales de seconde espèce, aurait pu être démontré par une autre voie. D'après ce que nous avons vu antérieurement, la recherche des intégrales de différentielles totales de seconde espèce peut être faite de la manière suivante. Soient, comme habituellement, 2p intégrales distinctes de seconde espèce
T r (lh{x, y, z)dx
de la courbe entre x et z
f{x,y, z) =.0; désignons par
Lù'[, m(^, ..., W^^/;i, LO^lp
les 2p périodes de l/i prises suivant le système des p rétrosections (G, D) de Riemann, un w d'indice impair et le suivant cor-
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respondant respectivement aux parties G et D de la rétrosection. On doit considérer le système d'équations en a
( S ) «1 o)]. 4- a^^ w|. -H ... -1-- a^p iù\P = P/t' ( /c — i , 2, . . . , 2/)),
les P étant des constantes satisfaisant aux relations rappelées plus haut. Ces équations donnent, pour les a, des fonctions rationnelles dey.
Rappelons-nous maintenant que, si l'on a les périodes
w(^ w^', ..., wfp i, tO^^p,
, Ji' , Jl' , .II' }l'
correspondant à deux intégrales \h et ly^', l'expression
C0^^(t>2' wj CO^f -{-...+ ^\p-\ ^Xp — 0^2P ^2P-1
reste invariable par les substitutions du groupe tant de fois considéré et est, par suite, un polynôme en jk. On déduit alors des équations (S) que la combinaison
( 0 ) p ^ w^^ ~ P. O)^'^ -h . . . + Psp-i M^ip — V^p ^2P-1
est une fonction rationnelle de y et, par suite, un polynôme, puisque autour d'nn point singulier y = b elle est nécessairement de la forme
^(r) + [^(j')iog(r — ^),
X et p. étant liolomorphes, et qu'il faut alors que [i.(r) soit identiquement nul. Si donc il y a /' arbitraires parmi les constantes P, il y aura r combinaisons distinctes (S) qui donneront des polynômes; par conséquent, V équation E admettra comme solutions r polynômes distincts.
Le même raisonnement démontre la réciproque. Supposons qu'il y ait r expressions (S) distinctes se réduisant à des polynômes pour des valeurs des constantes P (bien entendu, quel que soit /z=: I, 2, ..., 2yo). Le système des équations (S) peut être remplacé par un système équivalent S de la forme
(2) aiiz'l-^ a^iz).-^-.. .-^a^pT^l^' =\^k (/c = i, 2, . . ., 2/?),
les Tî et les U étant des polynômes en j; de là on tire pour les a
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des fractions rationnelles de y. A chaque système de valeurs convenables des constantes P correspond donc une intégrale de différentielle totale de seconde espèce, ce qui démontre la réciproque. T ajoute quelques remarques importantes sur les périodes des I. D'après le § II, il j a 2/> — /' cjuantités Û linéairement indépendantes, soient
Quand la variable y partant d'un point j revient, une substitution linéaire à coefficients entiers se trouve effectuée sur les 0. Celles-ci satisfont à une équation linéaire d'ordre 2p — r à coefficients rationnels (^). Outre les 'ip — r cycles, correspondant à ces 0, de la surface de Riemann f{x^y, z) = o^ il j a r autres cycles qui correspondent précisément aux r polynômes dont il vient d'être question; ces r cycles ne se modifient pas par une circulation dey.
Considérons maintenant les équations analogues à (S), donnant les a, en supposant que les périodes
M^l, 0)J, ..., iù^^p
soient relatives aux cycles ci-dessus : soient
pour les 2p — r d'abord considérés, et
pour les r derniers. Ecrivons alors de nouveau les équations
(S') ^iW^H- a2C0| -f-. . .-I- 6Ï27;W|/' = P/, ( /c = 1 , 2, . . . , 2/> ).
Il est très facile de voir ce c[ue doivent être les constantes P;^, pour cjue les a tirés de (S) soient rationnels en y. Les expressions (a) étant transformées par des substitutions linéaires les concernant seules, et les expressions (P) n'étant pas modifiées, on aura né-
(^) Au lieu de Téquation différentielle linéaire E on pourrait donc considérer Féquation différentielle linéaire E^ d'ordre 2/?— r à laquelle satisfont les O; nous reviendrons sur l'équation E^ au Chapitre suivant.
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ogo CHAPITRE XII.
cessairement
tandis que Po/^-r+i, . • ., P2/? sont des constantes arbitraires.
Sur le nombre des périodes de certaines intégrales doubles»
9. Nous venons d'étudier, dans la Section précédente, l'équation E à laquelle satisfont les périodes de l'intégrale abélienne de
seconde espèce
' Q(^, y, z) dx
JL
Nous avons envisagé précédemment (par exemple, t. II, p. 21^ et 35 1) une autre équation diiïerentielle linéaire qui a été appelée E'; c'est l'équation à laquelle satisfont les périodes de l'intégrale abélienne arbitraire (n'étant pas nécessairement de seconde
espèce)
rV{x,y,z)dx
^'^ J fr~~'
P passant toujours parla courbe double.
Cette équation est d'ordre
et, parmi les périodes de (6), se trouvent m — i polynômes.
Qu'arrive-t-il pour l'équation E^ quand la surface possède 7^ intégrales de différentielles totales de seconde espèce? Il y a, pour l'équation E^, une intégrale particulière relative à chaque point critique bi que nous continuons à dénommer Q/.
Nous allons montrer que, parmi les C2/, il y en a
'ip -h 771 — I — r linéairement indépendantes ^ et inversement^ sHl y a
ip -i- 771 — [ — r
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Û linéairement indépendants^ la surface possède r intégrales simples de seconde espèce. C'est une propriété de l'équation E^ analogue à la propriété de l'équation E démontrée au n"" 2 de ee Chapitre.
10. Parmi les ù il j en a certainement au moins ip — r linéairement indépendants, c'est-à-dire qui correspondent à des cycles distincts sur la surface de lliemann relative à l'équation entre x
et z
puisqu'il en est ainsi dans le cas de l'équation E. Désignons par
les 0 correspondant à ces cycles. A ces o.p — r périodes de (6) adjoignons /' autres périodes co,, too, ..., to,. correspondant sur la surface de Riemann à des cj^cles formant, avec les cycles qui sont relatifs aux ù précédents, un système complet sur la surface de Riemann. Nous aurons alors pour l'équation E^ les ip-\-m — i intégrales indépendantes
^1, O2, ..., il-2p-r, tOi, OJ2, ..., tO;., TT., ..., -ju,
les iz désignant, comme dans tout le Ciiapitre XI (t. Il), les polynômes correspondant aux points logarithmiques à Finfini. Soient maintenant
-2 /;+/;?.- l—Tî
2p -\- m — I — T fonctions ù linéairement indépendantes, formées des 2p — r fonctions 0 déjà considérées et d'un certain nombre d'autres. Ces dernières, que nous avons désignées par
Qo
ip-'rin—ï—'Zi
correspondent à des cycles de la surface de Riemann cjui, sur celle-ci regardée comme fermée, se ramènent aux cycles relatifs à ù|, O2, ' "■) ^^-ip-r] par suite, les expressions (8) s'expriment linéairement à l'aide de
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Soient ainsi
(9) 0/, = X^^QiH- XfQ2-t-...H-Xjp-;.^2;;-r-i- [^2^2 -+-...4- {J-in'^m ( /i = 2/? — 7^ H- I , , . , ^ 2p -\- ni — I T ),
les \ et les [Ji étant rationnels. Le nombre des équations (9), c'està-dire
doit être au plus égal km — i, car, autrement, on aurait une relation linéaire entre les fonctions (7), ce qui n'a pas lieu-, on a donc nécessairement
Ajoutons encore que, si l'on envisage les équations avec les indéterminées c
fji^' C2 -H . . . M- [i^in Cm — o {h ~ 'ip — r -h i, . . . , ip -^ m —- i — z),
on pourra certainement y satisfaire, les c n'étant pas tous nuls (sauf dans le cas où t == r) et, sur les c, on pourra certainement en prendre t — r arbitrairement.
Nous voulons précisément démontrer que 1 est égal cl r. D'après ce qui précède, il faut montrer que t n'est pas supérieur à /'.
11. Plaçons-nous donc dans l'iiypotlièse t >> r. Nous n'avons à peu près qu'à généraliser l'analyse de la page 38 1 (t. II) s 'appliquant à la même question, mais dans le cas où r=^ o.
Reprenons les intégrales [loc. cit.)
j II dcc^ . . . , / I2P dx^ I J2 dx^ . . . , / S ,jidx
avec les
Of, rf (^ = I, 2, ..., 2/?; /r=^ 2, ..., 7?z),
l'indice i étant relatif au cycle. Envisageons, en outre, les périodes
correspondant, pour les intégrales précédentes, à tOi, coo? •••7 w^. Les périodes de l'intégrale abélienne
INTÉGUALKS DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE. 4oi
ne dépendront pas de y, si les c sont des constantes et si les a (pouvant dépendre de y) et les constantes c satisfont aux conditions suivantes (où les Cy sont des constantes arbitraires)
(ir= I, 2, ..., ip — r), ,,, , <^iCl>} -4- a2wf -H. . .-f- aanwf^ -h Cguf -I-. . .4- c,„uf — C/
( Zi) / "^ "^ J
(^h = ip — 7' + I , . . . ^ '2p -{- jn — 1 — T ).
Si les a et les c satisfont à toutes ces conditions, on aura nécessairement, d'après les équations (9),
(h = 2p — ''-HT, . . ., ip -{- f7l — I — z).
11 est aisé de voir que l'on peut satisfaire à toutes les conditions S. Les équations de la troisième ligne dans S font connaître les c, dont t — r restent arbitraires; les deux premières lignes, dont le nombre total est 2/?, déterminent les a. Ceux-ci sont bien des fonctions rationnelles de y. En effet, les équations ne changent pas cjuandy décrit un contour fermé cjuelconque. Ceci est immédiat quand y tourne autour d'un des points singuliers &,, ^2? • • •? b2p-ri et pour les points
^ip-?--hh •••5 '^ip+ni—i—x
c'est une conséquence des équations (9) et de la troisième ligne des relations S. Quant aux autres points critiques, les ù qui leur correspondent étant fonctions linéaires des ip -^ m — i — t premiers, la chose est manifeste.
Il n'y a plus maintenant qu'à raisonner comme à la page 882 (t. II). On formera en se servant de l'intégrale
(ai II -h. . .H- a^pX^p -I- C2 J2 -H. . .-H G,n^m^ dx
une intégrale de différentielle totale de la surface de nature transcendante (puisque tous les c ne sont pas nuls) et n'ayant aucune ligne logarithmique à distance finie; de pJas, puisque tous les c ne
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sont pas nuls, elle ne sera pas une intégrale de seconde espèce. Or ceci est impossible, et cette contradiction montre que l'hypothèse T >- /• est inadmissible ; on a donc
C^ est le théorème que nous avons énoncé (n*^ 6).
12. Que devient la démonstration précédente, quand t = /■. Les équations
[jJ.l C2 -(-... + [J./;i Cm = 0 (h = 2p — 7' -H I , . . . , 2/? -f- /?Z — I — 7' )
sont alors en nombre m — i, et elles donneront pour tons les c la valeur zéro. Il est impossible, en effet, que le déterminant des a soit nul, car alors, d'après les équations (9), les 0 de la ligne (7) ne seraient pas linéairement indépendants. Tous les c étant nuls, l'analyse du paragraphe précédent conduit à une intégrale de différentielle totale de seconde espèce, avec les r arbitraires
Cl, G2, . . . , C,.,
ce qui est bien d'accord avec le fait que la surface a /• intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce.
