D'UNE SURFACE

Sur une inégalité entre r et

3, relative à la connexion linéaire.

1. Nous allons établir ane inégalité importante relative à la connexion linéaire d'une surface. Commençons par quelques remarques concernant les courbes algébriques, d'où se déduira l'inégalité cherchée.

Tout d'abord les p intégrales abéliennes de première espèce d'une courbe algébrique ne peuvent avoir dans leur ensemble moins de 2/? périodes; d'une manière générale, soient (g <^ p) q intégrales de première espèce distinctes

d'une courbe algébrique; nous allons montrer que le nombre de leurs périodes (dans leur ensemble), ou, si l'on aime mieux, que le nombre des périodes, arithmétiquement distinctes, d'' une combinaison linéaire àp>.bitiiaiiie de ces intégrales , ne peut être inférieur à 2q. Supposons, en effet, qu'il en soit autrement et qu'il y ait seulement 2^ — s périodes; on pourra avoir, pour les I, un Tableau de périodes, correspondant à 2/? cycles distincts de la courbe algébrique (ou de la surface de Riemann correspondante), qui sera de la forme

Ctq^'i.q—s O

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4l8 CHAPITRE Xlir.

le nomJjre des zéros dans chaque ligne étant ip — 'iq-^s. Si Ton prend maintenant d'autres intégrales de première espèce 1,^^,, . . ., \p formant avec les I|, L, . . . , 1^ un système de p intégrales distinctes de la même espèce, le Tableau des périodes se complétera par

2. Ceci posé, rappelons-nous que l'on peut former, étant donnée une courbe algébrique, une intégrale de première espèce, pour laquelle les parties réelles des périodes relatives à ip cycles distincts ont des valeurs arbitrairement choisies; c'est là un point classique dans la théorie de Riemann. Or formons ]a combinaison

(i) (ai -I- t Pi) Il -f-. . .-H (a^; H- ^(3/,) \p ;

on doit pouvoir choisir les constantes réelles a et [i de manière que les parties réelles des périodes de (i) aient telles valeurs que l'on voudra, pour les ip cycles correspondant aux ip colonnes verticales du Tableau ci-dessus. Or, si l'on égale à

valeurs données les parties réelles des périodes correspondant aux 2/> — iq -\- s dernières colonnes du Tableau, on aura 2/j — iq ~\- s équations linéaires entre les inconnues

qui sont en nombre

ip — iq.

Le nombre des inconnues est inférieur de s au nombre des équations; ceci entraîne nécessairement des relations entre les parties réelles données des périodes, ce qui nous conduit à une contradiction. Il est donc impossible de supposer que s est différent de zéro, et le théorème énoncé au n" 1 est établi (').

(^) Siu' cette question ou peut consulter le Mémoire de i\l. E. I^icaiïd [Sui^ la détenniiiatioii du nombre des périodes des intégrcdes abéliennes ( Bulletin de la Société ma tJiëniatique de France, t. XI, i883)].

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3. Considérons maintenant, en premier lieu, une surface algébrique régulière, c'est-à-dire pour laquelle pg=ipfi (voir^ pour cette définition, t. Il, p. 89). L'ensemble des adjointes d'ordre m — 3, de la surface donne, sur Je plan

l'ensemble des adjointes d'ordre m — 3 de la courbe

la surface étant, bien entendu, représentée pary*(^, y^ z) = o.

Les intégrales de première espèce de la courbe précédente (2) seront représentées par

Q/i == o représentant une surface adjointe d'ordre m — 3 de la surface f. Je suppose que la surface admette r intégrales distinctes de seconde espèce. D'après ce que nous avons démontré antérieurement, il y a /' cycles distincts {voir Chapitre précédent, n'' 6) donnant des périodes qui s'expriment par des polynômes en j^. Prenons nos intégrales (3); ])armi leurs 2/? périodes, il y en a /-qui sont des polynômes en y. Or développons dans le voisinage de jK = GO une période d'ailleurs quelconque de (3). Cela sera

facile, en posant

Si l'on a, en groupant par termes homogènes,

Qh (^, y,z) = q/,{x,y,z)-h...,

on voit de suite qu'une période quelconque de (3), pour y très grand, est de la forme

où a représente une période de l'intégrale

' qu{x, \, z) dx

elative à Ja courbe o{x, i, z) = o].

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420 CHAPITRE XHI.

Or considérons les r périodes de (3), qai sont des polynômes en y. D'après la forme précédente (4), elles sont identiquement nulles. Nous sommes clone conduits à cette conclusion, que les p intégrales (3) de première espèce ont /• périodes nulles, correspondant à j' cycles distincts de la courbe entre ^ et ^ représentée par f(^x^y^z)=^o. Nous pouvons maintenant appliquer les remarcjues faites plus haut; la courbe précédente a toutes ses intégrales de première espèce, cjui ont seulement 2p — r périodes.

Ceci en traîne

Ainsi se trouve établi le théorème suivant :

Une sur j ace régulière n^a pas cV intégrales de différentielles totales de seconde espèce (^transcendantes).

Cet intéressant théorème a été démontré pour la première fois par M. Severi (^) en se plaçant au point de vue de la théorie géométrique des systèmes linéaires de courbes tracées sur une surface. La démonstration (-) qu'on vient de lire rattache très simplement le théorème aux méthodes des Chapitres précédents.

4. Allons plus loin et appliquons le théorème préliminaire du n^ 1 dans toute sa généralité. Supposons que la surface/ se présente dans les conditions suivantes : elle est irrégulière, et sur un plan quelconque les adjointes d'ordre m — 3 de /' découpent un système linéaire de courbes d'ordre m — 3 dépendant seulement de p — cO;/i 3 paramètres arbitraires {^m-'i > o). Nous pouvons former p — ^m-'i intégrales distinctes de première espèce de la courbe entre x et z représentée par/^ o, qui seront de la forme

r Q/,(^,.>', z) dx

où Q/i = o est une adjointe d'ordre m — 3 de la surface.

(1) F. Severi, Sulla superficie algebriche che possegono intégrait di Picard delta secujida specie {Reiidiconti délia R. Academia dei Lincei, septembre

C-^) E. Picard, Sur quelques théorèmes relatifs aux surfaces algébriques de connexion linéaire supérieure à V unité {Comptes rendus^ i6 janvier igoô).

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INTÉGRALES TOTALES DE PREMIÈRE ET DE SECONDE ESPliCE. 4'2 1

Or, en raisonnant comme ci-clessas, il est clair que Fensemble des intégrales (3) a seulement ip — r périodes arithméticfuement distinctes, puisque r périodes correspondant à des cycles distincts sont des polynômes s'annulant pourj/ = co, et, par suite, identiquement nuls.

Nous pouvons alors appliquer le théorème préliminaire du n'' 1. ÎNous avons p — ^m-?, intégrales d'une courbe algébrique avec 2/j» — r périodes seulement; le nombre des périodes étant au moins double du nombre des intégrales, on a

c'est-à-dire

C'est une inégalité importante {^)] comme, d'ailleurs, d'après la définition même de pg — pa (page 88 de ce volume), on a

^ni-z'kPg — Pli,

il en résulte que

Nous reviendrons à la fin de ce Chapitre sur rinégalilé (6), ])Our en déduire un théorème relatif aux adjointes d'une surface algébrique.

Sur une propriété de l'équation linéaire E, et sur une inégalité

qui s'en déduit.

5. Indiquons une propriété de l'équation différentielle linéaire E, qui va nous être très utile. En prenant ip périodes distinctes

d'une intégrale de seconde espèce du type toujours envisagé, nous

') E. Picard, Sur une inégalité relative à la connexion linéaire et sur le calcul du genre numérique d'une surface algébrique ( Comptes rendus, 3 juillet igoS).

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L\2'^ GUAPIÏRE XIII.

avons vu au Chapitre précédent que le groupe de l'équation E laissait invariable une expression, classique dans la théorie des fonctions abéliennes, de la forme

ik^r^A'^

les c étant des entiers de déterminant un (cik=^ — c/v/), quand on effectue à la fois sur les co et les 'j une substitution du groupe. Or il y a r périodes, soient

qui sont des polynômes en y. Désignons, comme nous l'avons fait antérieurement, par

les 2p — /■ autres périodes distinctes, soumises entre elles à dés substitutions linéaires par la circulation de y. Le groupe qui nous occupe a ses substitutions de la forme

(.0/, = iO,-,

OJ,i> , = a.2p-.r,l^[ 4- a,p-r,l^^2-+-' . .-\-a2p-r,

Avec ces nouvelles notations, il faut considérer dans l'expression (g) que .

sont respectivement égaux à

Rappelons que nous avons établi (p. 39^) que les Q satisfont à une équation différentielle linéaire Eq d'ordre 2/> — r k coefficients rationnels en y; en réalité, c^est r équation Eq qui joue le principal rôle dans notre théorie, plus encore cpie V équation E.

11 j a dans (c)) des termes où i et k sont tous deux au plus égaux à /', d'autres termes où ils sont tous deux supérieurs à r, et enfin des termes où l'un de ces nombres est au plus égal, l'autre supérieur à r.

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Soit A'</' et i >> r. Pour que la forme (9) soit invariante, on devra avoir la somme

7 Ci/,(.ùi

(où k reste fixe, et i varie de ;•-}- i à 2/j>) elle-même invariante, c'est-à-dire cjue la somme précédente sera nne fonction uniforme dey, par suite un polynôme. Mais, si r a été bien choisi, il n'y a pas de combinaison linéaire des Q, c[ui se réduise à un polynôme en j/, sauf le cas où tous les coefficients sont nuls. On a donc nécessairement

Donc, dans la somme (9), il y a deux catégories de termes, ceux qui dépendent des co et ceux qui dépendent des ù. Nous pouvons donc l'écrire sous la forme

ik i'k'

i et k variant de un à r, tandis que i' et k' varient de un à ayj) — r, et l'on a toujours

Ci/c — — C/d, Ci'/,' = — Ck'i'.

Le déterminant total des c est égal à l'unité; or il est visiblement égal au produit des deux déterminants

|c//, I et \ci'k'\.

Ceci entraîne tout d'abord que r soit pai/-^ car un déterminant symétrique gauche d'ordre impair est nul. Nous avons donc ce théorème :

Le nombre r des intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce est nécessairement pair.

6. Nous pouvons encore tirer des considérations précédentes une autre conséquence. Il est d'abord bien connu qu'en effectuant sur les Lu (et les u) une substitution à coefficients entiers et de déterminant un^ on peut ramener la première somme figurant dans (10) à la forme canonique

(Oi'j2 — CO2U1 -}-... -}- cO/..i'j,, — a>/.'j/,i,

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L\l[\ CHAPITRE XIII.

et l'on peut avoir la forme canonique analogue pour la seconde sonirae. Delà, nous concluons {.^^tvecles r cycles corrcsponclant aux 10, on peut faire - réirosectlons de Riemami

puis cwec les ':ip — r cycles corresponclcuit aux 0 on peut faire

p— - rétrosections

Ce résultat précise J)ien la disposition de ces différents cycles.

7. Nous allons en déduire de suite une inégalité entre le nom])re /' des intégrales simples de seconde espèce^ et le nombre ro des intégrales simples de première espèce. Soient

II, J2, . . ., Ip

les fj intégrales de première espèce de la courbe entre x et z^ /{x. y^ jz) = o. Si la surface a des intégrales de première espèce, on pourra trouver, d'après un raisonnement fait bien des fois, des fonctions rationnelles a,, «o, ..., cip de y, telles que l'intégrale aJjélienne

«ili -1- ail2 -+-. . .-f- c(j,]jj,

relative à la courbe précédente ait ses périodes indépendantes dey. Or, pour une intégrale de première espèce^ on ne peut se donner que les périodes relatives à p cycles, appartenant à p rétrosections de Riemann^ soient ici les G/ et les G/,. Mais pour les G^. les périodes de toute intégrale de différentielle totale de seconde espèce sont nécessairement nulles (ainsi que pour les DJ^.) ; nous pouvons donc nous donner seulement tout au plus les - constantes relatives aux G/. Ce cjui nous donne ^inégalité

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INTÉGRALES TOTALES DE PRE)IIÈRE ET DE SECONDE ESPÈCE. f\1^

Quelques théorèmes sur les nombres des intégrales de première et de seconde espèce.

8. Etablissons encore une inégalité intéressante. Tout d'abord ous ne diminuons pas la d'une surface pour laquelle

nous ne diminuons pas la généralité en supposant qu'il s'agisse

Wm-3 ~ Pg—Pn,

c'est-à-dire pour laquelle tous les défauts w^ (^voif p. 88) sont nuls quand hS.jn — 2 ; ceci résulte [voir p. 128) de ce que l'on peut tracer sur une surface un système linéaire S de courbes, pour lequel le système adjoint découpe sur chaque courbe un groupe de points avec le défaut maximum po- — p^i. Si alors on fait la transformation habituelle, en utilisant un système à trois paramètres faisant partie de S, on aura réalisé la condition supposée. Pour éviter toute confusion, nous poserons dans la suite co^3 = o. Les p intégrales de première espèce de la courbe entre x et z

sont alors susceptibles d'être représentées par

(11) j ^ ^ry— ^ (t==:l, 2, ...,/J — 0),

(ri) / — (A = I, '2, ..., 0) .

les Q représentent des polynômes adjoints d'ordre m — 3 ; les 1.^ représentent des polynômes correspondant à des adjointes particulières d'ordre m — 2, cpii sont seulement de degré m — 3 en ^ et ^, et de degré m — 2 en x^ y et z.

Nous désignerons d'une manière générale une intégrale de première espèce par

fq/,{x, y,z)dx ^

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L\26 CHAPITRE Xfll.

les intégrales (12) correspondront à h=^p — 5 -|- i , ...;/>; le^ inlégrales (ii)àA=i, 2, ...,/> — ■ 0.