Comme précédemment, nous représentons par

M^{, wf, ..., Lù^ip (A = I, 2, . ..,/»)

les périodes de ïk- On peut supposer que les périodes correspondant aux indices inférieurs I, 2, ..., 2/>, sont, pour les indices i et 2, 3 et 4, . . ., '^p — I et 2/j>, relatives auxy> rétrosec lions (G, D) et (G, D^) dun«6.

Ceci posé, supposons que le coefficient de da^ dans une intégrale de différentielle totale de première espèce soit

les a ne dépendant que dey. On aura nécessairement les 2/? équations auxquelles devront satisfaire «4, . . ., cip

«icol -h- a-i^l H-. . .-H a^oj/^^ — P25 • 1

ai (S)}, -h a^o^r 4- . . . -t- <^-^p w /^ — P/-,

Pi , Po, . . ., Pr sont des constantes qui représentent les périodes de j'intégrale de différentielle totale pour les rétrosections

d'après nos notations, Pi correspond à Cj et Po à D,,q3uis P3 à Cj et P4 à Do, et ainsi de suite. Les périodes de l'intégrale relatives aux (C^, D^) sont nécessairement nulles. Hemarquons encore que les

sont des constantes (puisque ce sont des polynômes de degré zéro

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au plus). De plus, pour

ces constantes seront nulles (car le degré du polynôme serait — 1). Des équations (i3), il résulte que l'on a

(14 ) Pi wj - PaO)^^ -+- P3 Wj — P^ Lù(^ -+- . . . -I- P;.-i CO? — Pr^^r-i = O ;

c'est une conséquence de la relation entre les périodes de deux intégrales de première espèce. Les éc[uations (14)7 où ^^s coefficients des P sont des constantes, sont seulement en nombre S, puisque les équations sont des identités pour A= i , 2, ...,/> — S, d'après ce que nous venons de dire.

10. Nous allons établir réciproquement que, si l'on a /• constantes P,, P2, . . . , Pr satisfaisant aux 0 relations (14)7 les . 2/> équations (i3) en ctij (22, . . ., ap seront compatibles, et qu'il en résultera une intégrale de différentielle totale de première espèce, dont les périodes seront précisément P|, Po, . . ., P,.

Tout d'abord, on voit immédiatement que les équations (i3) sont seulement en nombre />, quand les conditions (^vf\) sont vérifiées. Il suffit, pour s'en assurer, de multiplier respectivement les équations par

{h étant compris entre un et p') et de faire la somme; on a une combinaison identiquement nulle.

Les équations (i3) reviennent donc à/; d'entre elles, convenablement choisies, par exemple à celles qui correspondent aux cycles C et G', et qui, par suite, correspondront aux équations prises de deux en deux.

■ap^^l = P3

aiCO/.j |-<3^2W^.__i -I-. . .-f-a/;W(^^ =Pr-I,

«lW|p i-f-^2w|;;-l-^. ••-^^/^^*^2/;-l ^ ^'

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428 CHAPITHE XIII.

On sait que le déterminant d'ordre p formé avec les w^^,^, n'est pas identiquement nul.

Il est clair que les équations (i3) et, par suite ^ les équations (i 5) donnent pour les a des fonctions uniformes (et, par suite, rationnelles) dej)/; en effet, les ;• premières équations (i3) restent invariables, quand y partant d'un point y revient, puisque les w qui y iigurent sont des constantes, et les ip — r autres sont seulement remplacées par des combinaisons linéaires d'elles-mêmes.

Cherchons maintenant quelle est la nature des fonctions rationnelles a dejK, satisfaisant aux équations (i5). JNous aurons à distinguer, relativement à A, suivant que h appartient à la suite

ou à la suite

Si 11 est dans la suite (a) on a pour j/ très grand

et a^ est manifestement égale à une période de l'intégrale

quix, T, z^dx

relative à la courbe o (^, i, iî) = o, en désignant par qh{^^ jK, ^) et cc(^,jK, z) les termes homogènes de pJus haut degré (respectivement m — 3 et ni) dans O/j (^, y, ^) et dans/*(^, j^, z). Si II est dans la suite ( [3), on aura

et a^. a la même signification que plus haut, sauf que qh{oo^ y^ z) est un polynôme homogène de degré m — • 2.

De cette signification des a^J, il résulte que le déterminant

ai,

il'

INTÉGRALES TOTALES DE rilEMIÎîRE ET DE SECONDE ESPÈCE. 4^9

n'est pas nul d'après une proposition classique dans la théorie des inlégraies abéliennes de première espèce; car ce déterminant: représente le déterminant des périodes pour les cycles G et C^ des

intégrales

quand on y hil y = oo, ce qui donne alors (avec le changement de variables fait plus haut) des intégrales relatives à la courbe

Il résulte de là que le développement des a suivant les puissances descendantes de y commence par un terme, qui est au plus du premier degré en y pour

et qui est une constante pour les autres fonctions a.

11. Nous allons montrer maintenant que a,, ^2, .. ., cip^ sont des polynômes du premier degré enjK, fit que les autres a sont des constantes. Il suffira de voir qu'ils ne sont infinis pour aucune valeur finie dey. Or le déterminant

4p-l ^lp~i .-. ^^?;;-l

reste évidemment ^fini et différent de zéro^ quand y n'est pas en un point singulier h de l'équation E. Les seules valeurs à examiner sont donc les valeurs h.

Donnons à y une valeur voisine de b. On peut supposer que les cycles donnant les périodes marquées par les indices i , 3, . . ., ip — I sont formés, le premier par un petit contour y enveloppant les deux points singuliers de la courbe /(^^ y-, i?) == o voisins de h^ et les autres de/> — i contours ne passant pas dans le voisinage de 6, et qui deviendront, quand j^ sera égal à Z?, /j>~— i cycles de la courbe de genre /> — i

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43o CHAriTUE XIII.

appartenant respectivement aux rétrosections d'une division canonique de Riemann.

Les adjointes Q^ de la surface / ici considérées dépendent de p paramètres ; on peut donc supposer que p — i d'entre elles

Q,, Q2, ..., Qp i

passent par le point de la surface où le plan tangent est donne par

la dernière Q^ ne passant pas par ce point.

Que deviennent dans le déterminant (16) les différents ternies pour j/ r= Z?? Dans la première ligne, on aura

coj = (x>| =. . .= a)^^^~^ = o. co/j^ p^o {^ouY y = b).

D'autre part, le déterminant d'ordre/; — i

''2P~1 ^ip-l

(pourjK=: b)

n'est pas nul, puisque c'est le déterminant de p — i périodes appartenant chacune à une rétrosection du type canonic{ue pour la courbe /(^, ^, ^) = o de genre p — i .

Il résuite de là que le déterminant (16) est différent de zéro pour y =/^. Les fonctions rationnelles a sont donc finies pour toute valeur finie de y, et l'on aura donc, d'après ce qui a été dit au numéro précédent,

les a et les p étant des constantes.

12. Le théorème énoncé est maintenant immédiat, car l'expression

a^ Q I -4- a. 2 Q-2 H- . . . -h apQ/,

est le coefficient de dx dans une intégrale de différentielle totale de seconde espèce, et, d'après la forme des a, cette intégrale de

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seconde espèce est de première espèce, Noas pouvons donc dire que :

Le nombre des intégrales simples distinctes de première espèce dUuie surface cdgébriciiie est égal au nombre des constantes V pouvcuit être prises arbitrairement dans les o équations

P^COJ — P2w(^-4- P3W(; — P4OJJ +. . .H- P;,iW^^— P;. W/Li = o

(A [jrenant les valeurs p — 3 -f- i , . . . , /j>). Dans ces équations les Cl) sont des constantes.

13. Si les premiers membres des équations précédentes regardés

comme des poljnomes en P sont indépendants^ on pourra

prend r e arbi traire ment

des P, et alors le nombre /'o des intégrales de première espèce sera précisément /' — ^ S. On aura donc

ro = 7' — 0 ;

mais ce raisonnement rend seulement ce résultat vraisemblable. Si les polynômes en P se réduisaient à un moindre nombre, il y aurait plus de r — 5 lettres P arbitraires. Nous pouvons donc seulement en toute rigueur conclure à Vinégalité

Ou'arriverait-il, si les équations du numéro précédent n'étaient pas indépendantes? 11 est visible qu'il y aurait une intégrale abélienne de la forme

(les \ étant des constantes non toutes nulles) dont les ;• périodes relatives aux rétrosections (G, D) seraient nulles.

Ainsi, il y aurait une intégrale de première espèce du second type [le type (12)] dont les r premières périodes seraient nulles y comme il arrive à toutes les intégrales du type (i i). Dans la note citée au n^ 3, M. Picard, pensant avoir démontré que cette

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432 CHAPITRE XIIÏ.

circonstance est impossible, énonce que l'on a

(17) /'o rrr r — 0.

Mais, cette démonstration ayant besoin d'être complétée, nous ne nous y arrêterons pas. D'ailleurs, l'égalité (17) a été établie, en se plaçant à un tout autre point de vue, par M. Severi dans un très intéressant Mémoire auquel nous renverrons (' ).

14. Nous énoncerons encore un théorème extrêmement remarquable dû à M. Gastelnuovo relatif aux nombres des intégrales de différentielles totales de première et de seconde espèce (-). Ce théorème consiste en ce cjne Von a V égalité

cVoù résulte en outre, en vertu de la relation (17),

Nous ne donnerons pas la démonstration de M. Gastelnuovo; elle s'appuie sur un théorème fondamental de M. Enriques, c[ui n'a pas été établi dans cet Ouvrage et dont l'étude nous entraînerait trop loin (•^). En utilisant aussi ce théorème, M. Severi ( '' ) a donné une autre démonstration de la relation (18).

Que faudrait-il faire pour établir le théorème de M. Gastelnuovo, en se servant de la proposition que nous avons démontrée au n° 12. Pour le voir, cherchons d'abord quelles conséquences résulteront du théorème de M. Gastelnuovo, pour le Tableau des périodes des intégrales (1 1) et (12) de la page 42^7 q^ii forment les/j intégrales de première espèce de la courbe entre x el z.

( 1 ) F. Severi, Sulla differenza ira i niuneri degll integrali di Picard délia prima et délia secuiida specie appartenenti ad luia superficie al gehrica (Accadeiïiia Reale délie Scienze di Torino, 18 janvier 1900).

(2) G. Gastelnuovo, Sugli integrali semplici appartenenti ad una superficie irregolare {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, janvier 1905, et Bendiconti délia R. Accademia dei Lincei, mai-juin 1906 ).

( 2 ) F. Enriques, Sulla proprieta caratteristica délie superficie algebriche irregolari {Atti délia R. Accademia délie Scienze delV Istituto di Bologna, Il déc. 1904).

{'') F. Severi, Il teorema d'Abel suite superficie algebriche {Annali di Matematica, 3'' série, t. XII).

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, on a un Tableau des pë-

Pour les p — S intégrales du type (i riodes que l'on peut éci^ire

les r premières colonnes correspondant aux cycles (C, D).

Quant aux - intégrales (i 2), on peut évidemment supposer qu'elles

correspondent aux - intégrales de différentielles totales de première espèce, nous voulons dire qu'elles représentent ces intégrales quand on y fait dy = o. Dans ces conditions, les périodes des intégrales (12) relatives aux cycles (C^, D') sont nulles, et l'on a alors pour ces intégrales le Tableau

ail

an a -2,

OÙ les a sont des constantes.

Si, maintenant, prenant deux intégrales quelconques parmi les p intégrales de première espèce (11) et (12), on forme la relation bilinéaire entre les périodes de ces intégrales, on aura une relation qui sera identiquement vérifiée si l'on prend une intégrale du Tableau (tui ) et une intégrale du Tableau (tco); cette relation ne contiendra que les périodes relatives aux cycles (G^, D^) si l'on envisage deux intégrales du Tableau (tt,), et enfin elle ne contiendra que les périodes relatives aux cycles (G, D) si l'on prend deux intégrales du Tableau (tûo).

De là nous concluons, toujours en admettant le théorème de M. Gastelnuovo, que, si l'on prend deux intégrales abéliennes quelconques de première espèce

'*lt(^, jK, z) dx

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de la courbe entre x el z

fix,y,z) = o,

où R et IV sont des polynômes en x^ y ei z^ on a entre les solutions

des équations Eo et Ej^ relatii^es à ces deux intégrales (en revenant aux notations des n"' 9 et suivants) la relation bilinéalre

Nous savons, d'après ce cjui a été établi dans la Section II de ce Chapitre, que le groupe de l'écjuation ¥^çs laisse invariable le premier membre de (19) c|uancl on effectue simultanément sur les co et les (JL)^ les substitutions de ce groupe, mais nous n'avons pas réussi à démontrer directement cjue ce premier membre est nul(^); il nous semble toutefois très probable c[u'on pourra un jour y parvenir.

Quoi cju'il en soit, si V on admet ce fait, nous allons voir cjue l'on peut démontrer facilement, en se servant des théorèmes établis dans les paragraphes précédents, que le nombre des intégrales

de différentielles totales de première espèce est égal à -•