I . Pa<~i

En ce cas, il suffit d'évaluer l'invariant de Zeutlien-Segre à l'aide du faisceau des courbes K, en tenant compte de l'irrationalité de celui-ci (^); on en déduit que le genre des K est o et, par suite (n° 21), que la surface peut être ramenée à une réglée (^).

Donc : Toute surface de genres p g = o, />^ < — i peut être transformée en une réglée.

If. Pa=—l¥

Ce cas est beaucoup plus difficile.

(1) Gastelnuovo et Enriques, toc, cit., n'» G, Oss.

{') Enriques, Suite superficie algebriche di génère geonietrico zéro {Bendic. del Circolo Matein. di Palermo, t. XX, 5 marzo).

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RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5l5

En supposant que les K aient Je genre '7r>>o, on peut envisager sur la surface la série non linéaire des courbes K'^, secondes adjointes aux courbes K.

L'examen de certaines courbes K'^, qui se décomposent en une courbe K et en une courbe résiduelle elliptique, conduit à construire sur la surface un faisceau rationnel de courbes elliptiques, qui découpent les K en /^ >> i points. On remarquera que ce second faisceau existe même lorsque TT z= o, car alors la surface se ramène à une réglée elliptique: seulement on peut avoir ici /z = i.

Maintenant on peut représenter les surfaces de genres pg.-=zo^ pa'=^ — i> sur des cylindres elliptiques multiples, de façon qu'à un point du cylindre correspondent n points de la surface.

Par l'étude de cette correspondance la construction de toutes les surfaces de genres p g = 0, /?« = — i se trouve ramenée à une transformation de déterminant d'ordre n des fonctions elliptiques.

Dans le cas où n est un nombre premier, on peut transformer birationnellement la surface en une surface

cp(X, Y, Z)-o,

où X, Y, Z s'expriment à l'aide de deux paramètres «, ^ par des formules de la forme suivante :

X = ) V t^py{u-{-\(Ms,) / y{z- ai)h^...{z — atyH^ hi<^n^ \ A/ = o (mod/i), v = co, o, i, ..., n—-\\

p^(i6) r= p(t^; I /zoj, w'), tOv=co pour V = oc,

p^(i^) — j){u\iù — vo)', w'), Wv= w' pour V =^ o, [, 2, . . ., /z — i

Si Ton envisage maintenant les plurigenres des surfaces que nous venons de construire, on trouve que

P4>o, ou P6>o, ou bien

ce dernier cas correspondant à l'hypothèse tc m o et conduisant par conséquent aux réglées elliptiques.

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En rapprochant ce résultat du précédent {pa<i — i) et de celui du n^ 'Ik concernant le cas /?^=o, on obtient enfin le théorème général suivant (^ ) :

Les conditions pour qu'une suj^f ace puisse être transformée birationnellement en une réglée {rationnelle ou irrationnelle) pem>ent être exprimées en annulant les deux genres d'ordre 4, 6 :

11 convient de remarquer que ces conditions ne peuvent être simplifiées ultérieurement, car il y a effectivement des surfaces pour lesquelles

7?^= P2= P3== P4=P5=0, Pe^ï, 2, (/?^= — I),

et d^autres pour lesquelles

pg^ P2== P3- P5= Pg- O, P4 = I, {pa^^l),

27. Il y a lieu seulement d'ajouter quelques remarques au sujet du cas particulier

Pa< — \'

Nous avons vu que toute surface de genres

Pg=Oi Pa<—\

peut être ramenée à une réglée.

Or si, dans la discussion qui précède, on introduit le théorème du n° 9 sous sa forme la plus expressive, on réussit à simplifier le résultat en montrant que la condition /?^= o est superflue. MM. Castelnuovo ( ^ ) et Enriques (^) ont fait en même temps cette remarque, d'après laquelle il résulte que :

Toute surface de genre numérique p a <. — i peut être ramenée à une réglée.

Ces conditions peuvent aisément être exprimées d'une façon transcendante. En effet, d'après le n^ 8, on voit qu'i7 s'agit de reconnaître que la surface possède p '> l intégrales simples de première espèce

(1) Enriques, loc. cit.

(-) Castelnuovo, Rendic. del Circolo Matem. di Palenno, t. XX, p. 55.

(^) Enriques, ibid., t. XX, p. 61.

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et qu'elle ne possède aucune Intégrale double de première espèce

Sons celle forme (avec la reslriclion superflue que les p inlégi^ales simples aient 2p périodes), les conditions énoncées avalent été trouvées antérieurement, c'est-à-dire en 1900 (^).

28. Le problème général de déterminer les surfaces qui admettent une infinité continue de transformations birationnelles en elles-mêmes a été posé par M. Picard en i885,

11 y a lieu d'abord de distinguer deux, cas, suivant que les transformations données engendrent un groupe d'ordre fini (au sens de Lie), ou qu'elles engendrent par multiplication une série de transformations dépendant d'un nombre infini de paramètres.

L'analyse de M. Picard se rapporte au premier cas. Elle aboutit aux. résultats suivants :

Les surfaces qui admettent un groupe continu fini de transformations birationnelles en elles-mêmes se partagent en trois familles :

i^ Surfaces hyperelliptiques^ douées d'un groupe oo"- de transformations échangeables;

2^ Surfaces possédant un faisceau de courbes rationnelles ; 3° Surfaces possédant un faisceau de courbes elliptùjues.

Le premier cas, à plusieurs égards le plus important, est caractérisé par M. Picard d'une façon complète : les coordonnées d'un point de la surface sont des fonctions' quadruplement périodiques de deux variables, ou, si l'on aime mieux, la surface peut être représentée sur la variété des couples de points de la courbe de genre deux (^).

Dans le second cas, M. Painlevé a remarqué que la surface peut être transformée en une réglée, ce qui résulte à présent du théorème général du n^ 2i .

Dans le troisième cas il y a lieu de pousser plus avant l'analyse des conditions pour lesquelles une surface, qui renferme un faisceau de courbes elliptiques, admet un groupe de transformations dont ces courbes sont les trajectoires.

Cette question délicate a été résolue par M. Painlevé (^). Il résulte

(') Enriques^ Annales de Toulouse, 2** sér., t. III. (2) Voir ce Traité, t. II, Cliap. XIV.

("') Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles ( l^aris Ilermaiin, 1897), P- ^^^'

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5l8 ?(OTE V.

de ses recherches que si une surface admet un groupe continu de transformations birationnelleSj dont les trajectoires sont des courbes elliptiques, les coordonnées des points de la surface peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles de

p( w 4- Xo) -H p.tJo' I aco -h Z?co', ccû -h <ica'), p'

et de p, w liées par une relation algébrique

Les surfaces qui jouissent d'une telle représentation paramétrique ont été appelées surfaces elliptiques; elles sont caractérisées géométriquement par le fait de renferaier : i° un faisceau, rationnel ou irrationnel, de courbes elliptiques ayant le même module; 2° un autre faisceau elliptique de courbes de genre quelconque, coupant les premières en n-zn ad — hc points ( ^ ).

Il y a lieu d'ailleurs de déterminer les différentes classes de surfaces elliptiques par une analyse de l'équation

Parmi ces classes, il faut nommer les surfaces de genres

/?g = O, pa——^,

dont nous avons donné les types au n° 26.

Nous pouvons maintenant résumer les résultats que nous venons d'exposer, en énonçant le théorème suivant :

Les surfaces qui admettent un groupe continu de transformations hirationnelles en elles-mêmes rentrent dans trois familles :

1° Surfaces hyperelliptiques, douées d'un groupe transitif oo^ de transformations échangeables ;

2^ Surfaces réglées, douées (au moins) d'un groupe de transformations, dont les trajectoires sont des courbes rationnelles;

S*' Surfaces elliptiques, admettant un groupe (au moins) de transformations, dont les trajectoires sont des courbes elliptiques.

Parmi ces surfaces, il y a en particulier les surfaces douées d'un groupe transitif de dimension r'^ 2 \ nous avons remarqué qu^elles

(*) Enriques, Rendic. del Circolo di Palermo {loc, cit., 5 marzo).

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RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5ig

se réduisent aux surfaces rationnelles et aux réglées elliptiques (}),

29. La question se pose main tenant de reconnaître si une surface donnée rentre dans une des familles de surfaces douées d'un groupe, qui sont classifiées dans le numéro précédent.

?\ous allons rendre compte brièvement de l'analyse, qui a permis de répondre à cette question par la simple évaluation des caractères invariants de la surface (^).

On remarquera d'abord (avec M. Picard) que les surfaces hyperelliptiques ont

Pa=—\, Pg=^,

et, ensuite, que les surfaces elliptiques ont

pa=^—l,

et que leur genre pg est égal au genre du faisceau des trajectoires elliptiques du groupe.

Soit maintenant une surface, dont le genre arithmétique

Pa< O.

Si Pa<i — ^1 OH tombe sur la famille des surfaces réglées (n° 27). Envisageons le cas

Il faut distinguer les hypothèses

Pg=^^ Pff>^^ Pg^^'

Lorsque p^=:o, la surface renferme un faisceau elliptique de courbes, et un second faisceau rationnel de courbes elliptiques (n^26); elle est par conséquent une surface elliptique, ce qui résulte d'ailleurs de sa représentation paramétrique.

Lorsque p^^ >> I, puisque

Pg> 2/?a-f- 3,

la surface renferme un faisceau irrationnel de genre >i de courbes

(^) Castelnuovo et Enriques, Comptes rendus, juillet 1895.

(2) Enriques, Sulle superficie algebriche di génère geonietrico zéro; Suite superficie atgebriche che cumnettono un gruppô continua {Rendiconti del Circolo matematico di Pater mo, t. XX).

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(n^ 9), qui sont d'riilleurs elliptiques. Une analyse approfondie montre que ]e genre du faisceau est précisément/?^.

Envisageons maintenant les f>^4- « intégrales simples de première espèce, qui appartiennent à la surface (n*^ 8); parmi celles-ci il y en ^ Pg^ correspondant au faisceau nommé, dont les périodes se réduisent à 2/?^; on aura par suite une intégrale avec deux périodes distinctes, qui nous fournira sur la surface un second faisceau irrationnel, et précisément elliptique, de courbes. La surface est donc elliptique.

Soit enfin

11 y a deux intégrales simples de première espèce (n° 8), et, s'il n'y a pas de courbe canonique proprement dite, en dehors des courbes exceptionnelles, on sait que la surface est hyiDereliiptique (^).

Mais il peut se faire qu'il y ait une courbe canonique de genre /?(^^zz:i; en ce cas, on trouve deux intégrales réductibles aux intégrales elliptiques et, par suite, deux faisceaux elliptiques de courbes, dont Tun est composé de courbes elliptiques, l'autre de courbes ayant un genre tt^i. La surface admet en ce cas un groupe elliptique oo^ ; elle admet un second groupe analogue, et rentre comme cas particulier dans la famille des surfaces hyperelliptiques, seulement dans le cas 11 r= I .

Or, comment pourra-t-on distinguer les deux cas des surfaces iiyperelliptiques et des surfaces elliptiques correspondant aux mêmes valeurs jo^= ] ^ p^z=z — i ?

Il suffira, pour cela, d'évaluer le genre d'ordre 4i P4 ; on ^1 en effet,

P4-1 dans le premier cas,

P4>i dans le second.

On peut résumer les résultats obtenus en énonçant le théorème suivant (^) :

La condition nécessaire et suffisante pour qu' une surface non rationnelle admette un groupe continu de transformations birationnelles en elles-mêmes, c'est que le genre arithmétique

Pa< o.

( 1) Picard; voir ce Traité, t. II, Cliap. XIV, n° 17. ( - ) Enriques, voir le second Mémoire cité ci-dessus.

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RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5'2 l

On a des surfaces admettant un groupe rationnel {famille de réglées) pour pa<. — ï; 6l des surfaces elliptiques ou liyperellip^ tiques si

le cas hrperelliptique étant déterminé par les valeurs

Et, en rapprochant ce théorème de celui énoncé au n*^ 26, on peut dresser le Tableau suivant :

Pa=^—^'

Pa ^ 0-

P4-i-Pe=o

réglées de genre —pa

réglées elliptiques

réglées rationnelles

impossible

surfaces elliptiques admettant un groupe co^

impossible

surfaces hyperelliptiques

30. Il reste enfin à examiner les surfaces admettant une série continue de transformations, qui n'engendrent pas un groupe d'ordre fini.

Il y a lieu de remarquer d'abord qu'on peut construire une telle série sur les surfaces rationnelles et réglées. Or, le théorème du n° 23 nous a permis de démontrer réciproquement que ce cas est le seul possible.

Partons du système | G | des sections planes delà surface/, et transformons-le, en lui appliquant successivement un certain nombre r de transformations arbitraires de la série; nous parvenons ainsi à un nouveau système |C,.|. qui doit avoir nécessairement des points-base multiples, si la série n'est contenue en aucun groupe fini. En faisant abstraction de ces points, on peut calculer le genre virtuel tt^ et le

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