SECONDE PARTIE

18. La théorie générale des surfaces, dont nous venons de parler, montre sa fécondité lorsqu'on cherche à en appliquer les résultats à des classes particulières de surfaces. Parmi celles-ci, nous allons étudier maintenant les surfaces réglées, et celles qui admettent un groupe continu de transformations birationnelles en elles-mêmes.

Rappelons qu'une surface /(^, j^, ^) = o est dite rationnelle (ou unicursale), si Ton peut exprimer les coordonnées œ^ r. z de chacun de ses points par des fonctions rationnelles de deux paramètres «, (^, de telle sorte que w, (^ s'expriment à leur tour rationnellement à l'aide de œ^ y, z.

La famille des surfaces rationnelles rentre comme cas particulier dans celle des surfaces réglées ou leurs transformées ; pour ces surfaces [/(^i y, z) = o] les coordonnées d'un point sont des fonctions rationnelles d'un paramètre ^, et de deux variables X, Y liées par une relation algébrique de la forme

cp(X, Y) = o (équation d'un cylindre).

Au point de vue algébrique, la détermination de la famille des surfaces réglées et, en particulier, des surfaces rationnelles, fournit la réponse au problème suivant :

Etant donnée une équation algébrique

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5o/4 NOTE y,

entre trois inconnues^ reconnaître si elle peut être transformée rationnellement de façon à éliminer une, oUy en particulier, deux inconnues.

Dans celte recherche, on peut se placer à deux points de vue :

a. On cherche d'abord à obtenir la transformation demandée, en construisant sur / certaines fonctions rationnelles de x^ y, z par un procédé qui permet de décider toujours par un nombre fini d'opérations si la transformation est possible ou non. On arrive ainsi à établir une détermination des surfaces rationnelles et réglées à l'aide de caractères qualitatifs,

h. On cherche à établir les conditions d'existence delà transformation demandée, en évaluant les caractères invariants de la surface. On arrive ainsi à une détermination des surfaces rationnelles et réglées à l'aide de caractères quantitatifs .

19. Examinons d'abord un cas particulier. Supposons que l'équation de la surface ait la forme z^z=:f[x^ y).

Nous allons expliquer en quel sens on est parvenu à résoudre en ce cas la question proposée, soit en se plaçant au point de vue a, soit au point de vue b.

Il s'agit de chercher les conditions auxquelles doit satisfaire ia courbe plane /— o pour que la surface z^^=.f{x^ y) soit rationnelle; on donne à cette surface le nom de plan double qui a la courbe limite fz=L o.

Glebsch a posé ce problème et en a examiné un cas; M. Nother, en reprenant la question, dans toute sa généralité, est parvenu au résultat suivant :

Pour que la surface z^zmf^x, y) soit rationnelle, il faut et il suffit que la courbe f puisse se ramener, par une ti'ansformation birationnelle du plan x, y, à V un des types suii^ants :

1° Courbe d'ordre in quelconque douée d'un point multiple d'ordre iîi — 2 ;

2^ Courbe générale du quatrième ordre;

3^ Courbe du sixième ordre douée de deux points triples infiniment voisins.

On peut, d'ailleurs, décider a priori si une courbe donnée/ peut être transformée en un des types nommés.

Supposons que l'ordre de la courbe / et les multiplicités de ses points singuliers distincts soient des nombres pairs 2/z, 2 i^^ 2 4, ... :

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RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5o5

on peut toujours satisfaire à ces conditions en recourant, s'il est nécessaire, à une transformation birationnelle préalable de la courbe/.

Appelons maintenant courbe adjointe d'indice /c( = i, 2, ...)àla courbe /une courbe d'ordre in — 3/c assujettie à passer avec ii — k branches par tout point 2 ^P^^ de/. On reconnaît alors que, si la courbe/ peut se ramener à l'un des types de Clebsch-Nôther, elle ne possède aucune courbe adjointe dont l'indice soit ^2, et vice versa; donc, la non-existence des courbes adjointes d indices 2, 3, ... à la courbe f est la condition pour que la surface z*- ■:=^ f {^x ^ y^ soit rationnelle, ou puisse être transformée birationnellement en une surface réglée (^). La seconde éventualité regarde certains cas de réduction de la courbe/, précisément le cas où la courbe/ se compose d'un certain nombre de courbes rationnelles appartenant à un même faisceau.

Au moyen des relations qui existent entre les courbes canoniques, bicanoniques, . . . d'une surface z'—^ifi^x^ y) et les courbes adjointes des différents indices à la courbe/, on peut transformer ce résultat en le suivant, plus expressif que le théorème de Clebsch-Nother :

Une surface z^z=zf(x, y), dont le genre géométrique pg, le bigenre V^, le trigenre P3, . . . sont nuls, est rationnelle ou peut être transformée en une surface réglée (-).

D'après la condition qualitative qui précède, il suffit même de vérifier que

où V est le plus grand entier S.^-, n étant l'ordre de /, et l'on en

déduit Pv+i = o, ....

Mais des conditions plus expressives découlent du n° 26. Il est à souhaiter qu'on y parvienne d'une façon élémentaire, en développant l'analyse des courbes adjointes d'ordre k sur le plan^

20. Ces théorèmes nous amènent à quelques applications remarquables en elles-mêmes, et qui constitueront le point de départ de l'analyse générale que nous nous proposons d'établir.

Supposons qu'une surface / possède uu système linéaire 00^ de courbes rationnelles. On peut d'abord, d'après M. Nother, transformer birationnellement la surface en une autre /^ possédant un système 00^

(1) Gastelnuovo et Enriques, Suite condizioni dl razionalità dei piani doppi {Rendic. del Circolo matera, dl Palerino, t. XIV, 1900). (") Loc. cit.

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5o6 NOTE V.

de coniques, découpées par les plans passant par une droite, qui aura la multiplicité n — 2 si la surface /a Tordre /z. Or, cette surface/^, à Taide d'une projection efifectuée d'un point de la droite nommée, se représente sur un plan double, dont la courbe limite a un certain ordre 2 771 et possède un point multiple d'ordre 2 m — 2.

Il résulte, d'après le théorème de Glebsch-Nôther, que la surface/^ et, en conséquence, la surface y, est rationnelle; d'où le théorème de M. Nôther :

Une surface qui possède un système linéaire 00^ de courbes rationnelles est rationnelle (^).

Supposons, en second lieu, qu'une surface possède un système linéaire 00^ de courbes elliptiques, système ayant (au moins) un pointbase simple. L'existence de ce système fait voir d'abord que la surface a le genre géométrique/?^ et les plurigenres P2, P3, . . . nuls; elle permet en outre de représenter la surface sur un plan double, en représentant, sur les points d'une droite variable d'un faisceau, les couples de points de la série gl^ qui appartient à l'une des 00^ courbes elliptiques et qui possède un point double au point-base nommé. En recourant au dernier théorème du n^ 19, on a donc :

Une surface qui possède un système linéaire 00^ de courbes elliptiques ayant {au moins) un point-base simple, est rationnelle ou peut être transformée bi rationnellement en une surface réglée^ quon voit d'ailleurs être elliptique (^).

Enfin, d'une manière analogue, on démontre qu'une surface contenant un système linéaire 00' de courbes hyperelliptiques de genre tt quelconque, système ayant des points-base dont les multiplicités donnent une somme supérieure à 271 — 2, est rationnelle ou peut être représentée sur une surface réglée (^).

De ces théorèmes résultent des propositions, dont le lecteur verra de suite l'importance, quoiqu'elles soient moins expressives que les théorèmes primitifs.

Une surface dont les sections planes sont des courbes rationnelles est elle-même rationnelle.

(^) M. Nôther {Math. Amialen, t. III) y parvient d'une manière directe, en construisant sur la F' une courbe qui rencontre en un seul point chacune des oc^ coniques. Voir aussi page 272 de ce Traité (en note).

(^) Gastelnuovo et Enriques, Siille condizioni di razionalità . . . , toc. cit.

(^; Loc. cit.

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RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. Soy

Une surface dont les sections planes sont des courbes elliptiques est rationnelle ou réglée (^).

Une surface dont les sections planes sont des courbes hyperellip-^ tiques de genre quelconque est rationnelle ou réglée (^).

On peut voir une démonstration du premier théorème à la page ôg du Tome II. Aux deuK autres nous étions déjà parvenus par des procédés directs, tout à fait différents, avant d'avoir démontré les propositions générales d'où nous venons de les déduire.

21. A côté des résultats précédents, on peut placer d'autres théorèmes, en quelque sorte analogues, où, étant donnés sur une surface des systèmes particuliers de courbes, on conclut que la surface peut être transformée en une réglée.

Une surface réglée, ou une surface qui peut êLre transformée bi rationnellement en celle-ci, contient un faisceau de courbes rationnelles, c'est-à-dire une série co^ telle que par tout point de la surface passe uue seule courbe de la série. Inversement, pourra-t-on affirmer que toute surface contenant un faisceau de courbes rationnelles peut être transformée en une surface réglée? M. Nôther (^) a abordé cette question; il a démontré qu'on peut, par une transformation préalable, changer la surface en une autre contenant un faisceau de droites ou de coniques. Dans le premier cas la question est tranchée; dans le second il s'agit encore de chercher si l'on peut tracer sur la surface une courbe qui découpe chaque conique en un seul point. Or l'existence d'une telle courbe a été démontrée par M. Nôther dans Thypothèse que le faisceau soit rationnel, ainsi que nous l'avons dit au n« 20; et dans l'hypothèse d'un faisceau quelconque la démonstration a été donnée par Tun de nous.

On a donc le théorème :

Toute surface contenant un faisceau de courbes rationnelles peut être transformée birationnellement en une surface réglée (*).

Une autre propriété de toute surface réglée c'est qu'on peut construire sur elle des systèmes linéaires de courbes (coupant en un

(^) Gastelnuovo, Rendic. délia R. Accad. d. Lincei, 1894.

(^) Enriques, Rendic. délia R. Accad, d. Lincei^ 1898 ; Mathem. Ajinalen, t. XLVI.

(^) Math. Aiin., t. III.

(") Enriques, Sopi^a le superficie algehriche che contengono un fascio di curve razionali {Math. Ann., t. LU).

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5o8 NOTE V.

seul point chaque génératrice), ayant le même genre et les dimensions aussi grandes que l'on veut. Or cette propriété caractérise entièrement la famille des surfaces réglées et de leurs transformées.

Plus précisément : une surface contenant un système linéaire de courbes de genre -iz^ <i et dimension r^ Stt — 5, peut être transformée en une surface réglée rationnelle ou irrationnelle (pour

'n: = i, 2, ^'o/r le no 20) (^).

En effet, si Ton impose aux courbes du système les 3(11 — 2) conditions de passer doublement par 11 — 2 points arbitraires de la surface, on obtient ou bien un système linéaire de courbes de genre 2, auquel on appliquera un théorème du n*^ 20, ou bien un système de courbes réductibles auquel on peut appliquer le théorème énoncé cidessus.

2*2. Nous supposons maintenant qu'une surface/(^, y, ;3)=:o soit donnée sans aucune restriction apriori\ nous ne connaissons, par conséquent, sur celle-ci aucun système remarquable de courbes. Nous allons développer un procédé général, d'après lequel il sera toujours possible de reconnaître si la surface / appartient à la famille des surfaces rationnelles et réglées.

Envisageons le système linéaire | G | constitué par les sections planes de la surface/.

Construisons le système | C^| adjoint à |G|, puis le système \CJ \ adjoint à | G^|, et ainsi de suite. On parvient ainsi à une série de systèmes adjoints successifs, | G|, | G'|, |G''|, .... Deux cas peuvent se réaliser. Ou bien la série a un nombre infini de termes; ou bien elle s'arrête après un nombre fini d'opérations, parce qu'on arrive à un système |G^'| qui ne possède aucun système adjoint. Gette distinction est essentielle, car elle ne dépend pas des transformations birationnelles qu'on peut appliquer à la surface /. D'une manière précise, si l'on transforme birationnellementla surface/ en une nouvelle surface/i, et si l'on construit les systèmes adjoints successifs en partant du système des sections planes | G^l de /i, on parvient à une nouvelle série, qui sera infinie ou finie, selon que le premier ou le second cas se présente pour la série relative à/(^). On est donc porté à répartir les surfaces en deux familles, l'une composée des surfaces sur lesquelles le pro-

(^) Cf. Enriques, Sulla inassima dUnensione . . . (Atti delV Accad. délie Scienze di Tovino, 1894).

(2) Castelnuovo et Enriques, Sopra alcune questiojii fondamentali. . ., loc. cit., n° 12.

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RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5og

cédé d'adjonction peut se poursuivre à l'infini, l'autre des surfaces sur lesquelles ledit procédé a un terme après un nombre fini d'opérations. A la première famille appartient, par exemple, toute surface d'ordre > 3 n'ayant aucun point singulier, ou, d'une manière générale, toute surface dont le genre géométrique ou le bigenre... est supérieur à zéro.

La seconde famille comprend les surfaces rationnelles et les surfaces représentabîes birationnellement sur les surfaces réglées; elle ne comprend pas d'autres surfaces en dehors de celles-ci, et c'est là un résultat essentiel de la théorie, que nous nous proposons de résumer.

Il y a lieu de faire de suite la remarque suivante : une surface qui renferme un système | G | au moins de courbes de genre iz quelconque, dont le degré est n'> 2% — 2, appartient à la seconde famille; en effet les courbes adjointes successives G', G'', . . . rencontrent la G en des groupes composés d'un nombre décroissant de points. Vice versa, sur tonte surface de la seconde famille on peut construire un système tel que I G I; il suffit de prendre, dans la série des systèmes adjoints successifs à un système quelconque, un terme assez éloigné de celui-ci.

Une surface/de la seconde famille a, d'après ce qui précède, pg=^o et, par conséquent, Pa~0] posons /?« = — p{p= o). Nous allons fixer notre attention sur le dernier système ] G^' 1, de dimension r^^ i, qu'on rencontre en parcourant une série de systèmes adjoints successifs, par exemple la série qu'on obtient en partant des sections planes de/. On voit de suite que ce système a le genre tt^- Sp -\- i. Mais un examen plus approfondi, où le théorème de Riemann-Roch ( n<* 3) et l'invariant 1 de Zeuthen-Segre vont jouer un rôle essentiel, permet d'établir que la dimension du système | G^" | est r,-^ Sit/ — 5, si le système est irréductible. Si, au contraire, \0\ est réductible, les composantes irréductibles des courbes G% ou bien forment un système linéaire satisfaisant à l'inégalité qui précède, ou bien sont des courbes rationnelles qui appartiennent à un faisceau de genre p. Si l'on se reporte maintenant aux résultats des n«* 20, 21, on parvient à établir le théorème fondamental suivant :

Toute surface, sur laquelle le procédé d'adjonction s'épuise par un nombre fini d'opérations, peut être transformée birationnellement en une surf ace réglée rationnelle {pa=^o) ou irrationnelle

iPa<0){^).

Le problème de reconnaître si une surface appartient à la famille

(^) Gastelnuovo et Enriques, Sopra alcune questioni fondanientali. . ., loc. cit., n° 15.

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5lO NOTE V.

des surfaces rationnelles et réglées, se trouve résolu par le théorème énoncé, au point de vue qualitatif {a) du n« 18.

Ce théorème conduit à des conséquences remarquables; parmi celles-ci, quelques-unes avaient été déjà établies avant de posséder le théorème cité, par une application j^l^^'S limitée du même procédé d'adjonction, qui a joué le rôle essentiel dans la démonstration rappelée ci-dessus.

D'abord nous sommes maintenant en mesure de donner plus de précision aux résultats du n« 21.

Il suffît, en effet, de rappeler la remarque du n° 13, pour qu'on puisse énoncer le théorème suivant :

Toute surface qui renferme un système au moins oo'^ de courbes de genre tt quelconque et de degré n'^iiz — 2, peut être transformée en une surface réglée rationnelle {p^^=zo) ou ir rationnelle {pa<.o) : on peut même supposer le système cc^\ ^/ ir >> o.

Ce théorème renferme les cas particuliers concernant les surfaces dont les sections planes ont le genre tu = o, i , 2, que nous avons cités au no 20.

En faisant tuizzS, on obtient déjà un résultat nouveau, à savoir : les surfaces d'ordre > 4, dont les sections planes ont le genre 3, sont rationnelles^ ou peuvent être transformées en une surf ace réglée de genre /> 5 3.

23. Voici maintenant une conséquence remarquable du dernier théorème, qui regarde la définition même d'une surface rationnelle.

Supposons que les coordonnées d'un point variable sur une surface s'expriment par des fonctions rationnelles de deux paramètres

(i) x=^f{u,ç), jK = f(z^(^), z^^{u,vy,

la surface est certainement rationnelle si l'on peut résoudre les (i) en exprimant w, v par des fonctions rationnelles de x^ y, z. Mais il n'en est pas toujours ainsi. Il peut se faire qu'à tout point (^, y^ z) de la surface correspondent /i >» i points (w, t^) d'un plan; dans ce cas la surface se représente sur une involution plane de co^ groupes de n points. Est-ce que la surface sera encore rationnelle? 11 s'agit de voir si l'on peut remplacer u^ ç par deux nouveaux paramètres w', ^^ (fonctions rationnelles de u, (^), tels que x, y, z s'expriment rationnellement par u' ^ v' ^ et u' , ç' s'expriment à leur tour rationnellement par .T, j, z.

Remarquons, à cet effet, qu'aux droites du plan (w, r) correspon-

dent sur la surface des courbes G, d'un certain genre tt, appartenant à un même système complet.

Or on démontre : i° que ce système a la série caractéristique complète; 2° que le degré du système est n'^'iiz — 2, ce qui j)ermet d'appliquer Je tliéorème du n° '22. On conclut donc que : une surface, dont les coordonnées d'un point variable s' expriment par des fonctions rationnelles de deux paramètres, est rationnelle {^).

Il y a lieu de généraliser ce résultat de la façon suivante :

Supposons que les coordonnées x^ y, z du point général d'une surface/s'expriment par des fonctions rationnelles des coordonnées X, Y, t d'un point variable sur une surface réglée (cylindre) cp

A tout point de / correspondent, au moyen des relations (i), n^i points de cp, formant un groupe d'une involution 00^ sur la surface réglée. Inversement à tout point de o correspond un point de/; et si le premier point parcourt une droite X = A, Y =: /r [où cp(/i, k) =: o], le second point parcourt une courbe rationnelle de f. La surface/ contient donc Go^ courbes rationnelles formant une série algébrique. Or, si par tout point de / passe une seule courbe de la série, la surface/ est représentable birationnellement sur une surface réglée (n^ 21). Dans le cas contraire, on démontre que les oc^ courbes rationnelles appartiennent à un même système linéaire, dont les courbes générales ont un certain genre iz et se rencontrent deux à deux en /z > 2 7u — 2 points variables; on conclut (n°22) que la surface/est rationnelle, puisque l'éventualité qu'elle puisse être transformée en une surface réglée irrationnelle doit être exclue par la présence de co^ courbes rationnelles ne formant pas un faisceau. On parvient ainsi au théorème :

Si les coordonnées d'un point variable sur une surface sont des fonctions rationnelles des coordonnées d' un point d' une surface réglée^ la première surface elle-même peut être ramenée à une réglée {rationnelle ou irrationnelle) par une transformation birationnelle.

Ou bien :

Les groupes d'une involution quelconque située sur une surface

{{) Gastelnuovo, Sulla razionalità délie involuzioni plane {Mathem, Annaleii, t. XLIV).

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5l2 NOTE V.

réglée peui^ent être représentés hlrationnellemeat sur les points d'un plan ou d'une nouvelle surface réglée (^).

On peut exprimer le même résultat sous une autre forme, en disant que :

Une surface possédant une série algébrique (au moins oc^) de courbes rationnelles, peut être transformée birationnellement en une surface réglée, si la série est un faisceau, ou bien elle est rationnelle.

Une autre conséquence du théorème du n*^ 22 a été déjà énoncée au sujet des courbes exceptionnelles (n« 10).

En effet, dès qu'on a démontré qu'une surface, qui ne renferme aucun système de genre tt et de degré n^iiz — 2, possède un nombre fini de courbes exceptionnelles, on conclut que toute surface possédant un nombre infini de telles courbes peut être transformée en une surface réglée (rationnelle ou irrationnelle) (^).

24-. Nous nous plaçons maintenant au point de vue {b) du n^ 18, en cherchant à déterminer la famille des surfaces rationnelles et réglées par les valeurs de leurs caractères invariants.

Il y a lieu dans cette recherche de recourir à des méthodes différentes, suivant que la surface est régulière ou irrégulière (surfaces rationnelles et surfaces irrationnelles).

Soit d'abord une surface régulière de genre p^^ -zap^-^z o. A j)artir de ses sections planes G, nous construisons les systèmes adjoints successifs

Puisque l'on a po^= o, le système | 01 1 ne contient pas [ G |; mais il peut se faire que | QJ' \ renferme | G |; dans ce cas le bigenre P2 ^ i, et la surface n'est certainement pas rationnelle. Supposons au contraire P2=^=^ ^'1 ^ïi examinant alors la série des points que | G'' | découpe sur une courbe G, on trouve une inégalité arithmétique entre les genres de trois systèmes adjoints successifs, d'où il résulte que les genres ii, 71', t^'^ . . . des systèmes adjoints forment, à partir d'un certain terme, une série décroissante, qui a nécessairement un nombre fini de termes. On en déduit le théorème :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une surface soit ra-

(^) Castelnuovo et Enriques, loc. cit., n® 17. (^) Castelnuovo et Enriques, loc. cit., n° 18.

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IIÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5l3

tionnelle est que le genre arithmétique et le bigenre soient nuls ( ^ ). (La relation p^r = o résulte de P2 = o ).

On a donc le moyen de caractériser la classe des surfaces rationnelles par les valeurs particulières que prennent certains invariants, en un sens analogue à celui qui permet de caractériser les courbes rationnelles par la valeur du genre /> =zo. Toutefois, le résultat établi pour les courbes ne s'étend pas aux. surfaces de la manière qu'on pourrait supposer, car on peut donner des exemples de surfaces ayant jc>^z=/>^=: o et P2 > o, qui ne sont pas, en conséquence, rationnelles. Le lecteur pourra les trouver à la page i48 et suivantes du tome IL

25. Avant de passer au cas pa <, o, nous nous arrêterons un moment sur la remarque suivante.

Au sujet des surfaces rationnelles il convient de faire la distinction qui suit.

Soit /(^, /, ^) = o une surface rationnelle; on pourra donc exprimer ^, y^ z par des fonctions rationnelles invertibles de deux paramètres a^ ç. Mais il arrivera généralement que, dans les coefficients de ces fonctions, entreront des irrationalités arithmétiques. A ce point de vue on est porté à établir, parmi les surfaces rationnelles, une classification ultérieure d'après la nature de ces irrationalités. On y parvient en s'appuyant encore sur le procédé d'adjonction, car il suffit d'examiner le dernier système adjoint (au moins oo^) qu'on obtient en partant des sections planes de la surface.

On est porté ainsi à distinguer des types de surf aces rationnelles^ dont la représentation sur un plan dépend respectivement de racines carrées ou cubiques, et des irrationalités définies par une des équations que Von rencontre dans la bissection des fonctions hyperelliptiques de genre /> ==: j , 2, 3. . . ou des fonctions abéliennes du genre 3 ow 4 (^)-

26. Soit maintenant une surface irrégulière de genres /?^— o, Pa<^ o» A partir des sections planes G, construisons la série des systèmes adjoints successifs

Cette série ne s'arrête pas si l'on a, pour quelques valeurs de i,

(*) Gastelnuovo, Suite superficie di génère zéro, toc. cit.

(^) Enriques, Suite irrazionalità . • . {Mathem. Amialeîi, t. XLtX).

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5l4 NOTE Y.

c'est ce qui arrive certainement si la surface / a un nombre fini de courbes exceptionnelles, lorsque

Mais on ne peut pas être assuré directement de la non-existence d'une surface n'appartenant pas à la famille des réglées et ayant, par conséquent, un nombre fini de courbes exceptionnelles, pour laquelle

Ainsi le critérium qualitatif établi au n^ 22 ne fournit pas une détermination de la famille des surfaces réglées (/?^<o) à Taide de caractères invariants.

Un tel critérium serait fourni, il est vrai, dans le cas pa -< — i, par l'inégalité

mais le calcul du genre linéaire défini au n° 17, de façon à comprendre le cas des surfaces réglées, exige d'établir le maximum d*une certaine expression formée avec les caractères des systèmes linéaires appartenant à la surface, et amène, en pratique, à effectuer les mêmes opérations que l'on doit effectuer d'après le n'^ 22.

Il convient donc de traiter la question proposée par une autre méthode, en prenant comme point de départ la propriété caractéristique des surfaces irrégulières (n^ /r^), d'après laquelle on sait, en particulier (n*^ 9), qu'une surface de genres p^ ziz o, />^<; o, renferme un faisceau irrationnel de courbes K.

Il y a lieu de distinguer deux cas :