V. — Premier aperçu sur la connexion à deux dimensions

26. Nous avons défini, d'une manière générale, la connexion pi à deux dimensions d'une surface algébrique. Nous ne voulons pas, pour le moment, approfondir cette notion, mais nous tenons à montrer, dès maintenant, la différence considérable qui existe entre /?i et p^,. Gomme nous l'avons vu, la connexion /?< est la même, pour une surface prise arbitrairement, que pour le continuum correspondant aux deux variables indépendantes illimitées X et y, c'est-à-dire que/>i= i ; il en est tout autrement pour p.,, qui a, en général, une valeur supérieure à la valeur t/^ois correspondant à ce continuum ; par suite, c'est dans la théorie des cycles à deux dimensions d'une suif ace que se trouve la véritable généralisation de la théorie des cycles d'une courbe algébrique, généralisation que n'avaient pas donnée les cycles linéaires.

Les domaines fermés à deux dimensions, servant à la définition de /?2j sont les surfaces cycliques ou les cycles à deux dimensions de la surface s. Il est clair que toute courbe fermée à une dimension, tracée sur un cjcle à deux dimensions, est un cycle linéaire de la surface.

11 est aisé de voir que la question des cycles à deux dimensions est intimement liée à celle de la transformation des cycles linéaires en eux-mêmes. Nous avons étudié, dans la Section précédente, la transformation des cycles de la surface de Riemann, définie par

( ' ) E. Picard {Journal de Mathématiques, p. 189; 1889).

la relation algébrique entre x et z^

Reprenons l'équation différentielle linéaire E qui a joué le rôle essentiel dans cette théorie; à une intégrale to de cette équation correspond un certain cjcle F de la courbe précédente. Faisons alors varier y; le cycle F se déforme, comme nous l'avons expliqué. Si maintenant, y revenant à sa valeur initiale, l'intégrale (0 revient à sa valeur initiale, le cycle F reviendra, à la fin, sur sa position initiale et nous aurpns un exemple d'un cycle à deux dimensions de f engendré par le déplacement de la courbe F. Désignons toujours par

^■ip

un système d'intégrales de l'équation E; à quelles conditions une substitution S du groupe de l'équation E sera-t-elle susceptible de donner une surface cyclique? Soient

Q/ = 77i\ toi H- mj W2 +

jnV 0)

les équations de la substitution S; on devra pouvoir trouver une certaine combinaison linéaire

2p^2pi

à coefficients entiers, que laissera invariable la substitution S, ce qui exige que l'on ait

7n\ mli — I

mi'

A toute substitution S du groupe de l'équation, satisfaisant à la relation précédente, correspond un cycle à deux dimensions qui peut d'ailleurs être susceptible de se ramener à un point ou à une ligne, ou au continuum ;r=const., ou au continuum y = const.

27. On voit que la considération des surfaces cycliques conduit à une intéressante question relativement à l'équation linéaire E; cette question est celle des cycles de cette équation, c'est-

SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. IO9

à-dire des contours fermés ramenant la même valeur d'une intégrale convenable de cette équation différentielle quand on revient au point de départ après avoir parcouru le contour. Mais, comme il a été dit plus haut, nous ne voulons pas pour le moment approfondir ces questions; montrons seulement que, en général, une surface aura des cycles à deux dimensions qui ne seront pas susceptibles, par une déformation continue, de se réduire à un point ou à une ligne, ni à un continuum x = const. ou à un continuum y = const.

INous le montrerons aisément en anticipant sur une notion qui sera exposée plus loin, celle des intégrales doubles de première espèce (Cliap. VII), c'est-à-dire des intégrales doubles restant toujours finies. Soit une telle intégrale

(K) yjQOwUfe^r^

OÙ Q(^, JK, z) est un polynôme arbitraire de degré m — /^^ si la surface de degré m, représentée par l'équation

n'a aucune singularité.

Nous allons voir que la surface a certainement des cycles à deux dimensions pour lesquels l'intégrale (K) a une valeur différente de zéro; il en résultera nécessairement qu'il y a certainement des cycles à deux dimensions, qui ne sont pas susceptibles de se réduire à une ligne ou à un point ni à un continuum ^rzi: const. OU à uu coutiuuum jK = coust. et, par suite, /?2 sera supérieur à trois.

Gomme nous l'avons déjà dit, le nombre des cycles d'une surface algébrique de degré /?ï, n'ayant aucune singularité, ne change pas si certains paramètres varient, d'une manière continue, dans l'équation de la surface, celle-ci restant toujours sans points singuliers. Il suffira donc de prendre un cas très particulier; nous prendrons la surface

et soit considérée l'intégrale double de première espèce

'x^y^z^ dx dv

IIO CHAPITRE lY. — SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE.

On peut représenter la surface précédente parles équations

et l'intégrale double devient

x^ dx t^ dt

Or, soient un contour dans le plan de la variable x ramenant la valeur initiale de 'v/i — ^"S et un contour dans leplan de la variable t ramenant la valeur initiale de ^^i — ^'«; à l'ensemble de ces deux contours correspond une surface cyclique de la surface (/), et la valeur correspondante de l'intégrale double, qui se présente sous la forme d'un produit de deux périodes relatives à des intégrales abéliennes ordinaires, est, pour des choix convenables des contours, différente de zéro. Nous sommes donc assuré que Ton a, pour la surface (/),

el les considérations précédentes pourraient même conduire à la valeur de/'o pour la surface la plus générale de degré m.

28. Ainsi, une surface algébrique arbitraire possède des cycles effectifs à deux dimensions, tandis qu'elle ne possède pas de cycles linéaires ne se réduisant pas à zéro. En y réfléchissant, on en voit facilement une raison générale si l'on se reporte à l'équation linéaire E; c'est la présence des singularités de la surface qui rend possibles certaines relations particulières dans les substitutions du groupe de cette équation, tandis que là présence de singularités ne peut, au contraire, que diminuer le nombre des substitutions susceptibles de correspondre à un cycle à deux .dimensions telles que nous les avons envisagées au n° 2G. Nous pouvons donc énoncer la conclusion suivante, étrange au premier abord : la présence des singularités dans une surface tend à diminuer le nombre des cycles à deux dimensions, tandis qu'elle peut faire naître des cycles linéaires.