i4='i.-iî;+[(>i.-i^.)H-(i?;-i
ce qui démontre la relation annoncée.
• L'équation E a donc une seconde intégrale non holomorphe autour du point 6, et le résultat précédent montre qu'elle forme avec la première intégrale (qui est holomorphe), un système de deux intégrales correspondant à une racine double de l'équation fondamentale déterminante; un terme logarithmique log(j^ — h) s'introduit dans le développement de la seconde intégrale autour de y=zb. Toutes les autres intégrales de l'équation (E) correspondant à des cycles de l'intégrale (I) où ne figurent pas les lacets aboutissant à [x^^z^) et (^27^2) seront holomorphes autour de y^b.
D'après la forme même de la substitution linéaire, que nous venons d'obtenir, correspondant à une rotation de y autour du point 6, le groupe de l'équation E sera formé de substitutions linéaires à coefficients entiers; ce résultat était d'ailleurs évident a priori. Quand y revient à son point de départ, on trouve un nouveau système de périodes, et celles-ci doivent être des sommes de multiples des périodes initiales.
Remarquons encore que le pointy = ao ne sera pas un point de ramification pour les intégrales de l'équation E, c'est-à-dire que celles-ci seront méromorphes poury ^= 00. En effet, si dans l'équation
on pose X = x' y^ z == z'y, on aura une équation de la forme
y"'-o{x\ z) -T- y"''~^o^{x' , z) -\- . . . — o^ que l'on peut écrire
Poury =^ ce, la courbe devient
çp(a7', 5') = o;
elle est de même genre que la courbe donnée poury arbitraire et, par suite, y^=co n'est pas un point de ramification pour les intégrales.
P. ET S. n
g8 CHAPITRE IV.
20. Le cas le plus simple d'une équation différentielle telle que E est celui de la courbe lijperelliptique
z'^ = {x — ai){x — a^) . . .{x — an){^ — y),
où les a sont des constantes différentes.. L'équation différentielle E que l'on obtient alors rentre dans un type bien connu, celui des équations différentielles hypergéométriques: les points singuliers de l'équation différentielle sont les points
et les résultats énoncés au numéro précédent se vérifient immédiatement.
21. Ces préliminaires posés relativement à l'équation différentielle linéaire E, revenons à la question de la transformation des cycles de la surface de lliemann correspondant à la relation algébrique entre .r et ^
dépendant du paramètre arbitraire j. C'est l'équation E qui va nous permettre de suivre la déformation des cycles. Dans le cas général, c'est-à-dire si/est le polynôme général en x,y et ^, l'équation E sera irréductible; considérons alors les cycles donnant les 2/> périodes de l'intégrale (I). Soit pris un de ces cycles et la période correspondante; en faisant décrire à y tous les chemins possibles, nous reviendrons au point de départ avec 2/9 déterminations linéairement indépendantes de la période. Suivons alors pendant la variation de jr, en même temps que la variation de la valeur de la période initiale, la «déformation continue du cycle correspondant; nous arrivons ainsi à 2p cycles, et par suite tous les cycles se réduiront à l'un d'entre eux. Si nous prenonsy dans le voisinage de la valeur singulière b, nous pourrons prendre comme cycle initial le cycle très petit entourant les deux points {Xi , ^1 ) et {x.2, z.y) voisins de {a, c) {voir n" 10) ; tous les cycles se ramènent à ce cycle très petit qui se ramène lui-même à un cycle nul, puisqu'on est dans le voisinage d'un point simple de la surface : nous retrouvons le résultat déjà obtenu que />< = i pour la surface générale d'un degré donné, et la conclusion précédente subsistera dans tous les cas où l'équation E sera irréductible.
SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. * 99
22. Plaçons-nous maintenant à un point de vue un peu différent. Désignons par
un système de 2/? périodes; toute substitution du groupe de l'équation linéaire E est de la forme
(S) Qi= m\iMi-\- m\(ài + . . .-^ m\p^^i2p {i — i, 1, . . ., 2p),
les m étant des entiers; une telle substitution S correspond à une certaine circulation de y et les Q indiquent ce que sont devenus les co après cette circulation. Les çquations S peuvent aussi se lire sous forme géométrique; elles indiquent, si C,, ..., Cgn indiquent les cycles correspondant aux périodes co,, too, ..., Won, que le cycle G, , par exemple, s'est déformé avec la variation dejr et s'est transformé en une somme de m\ fois le cycle G, plus m\ fois le cycle Go, plus etc., plus m!^^ fois le cycle G2/,.
Envisageons maintenant le continuum à quatre dimensions représenté par réquation/(^, j^, 5)= o. Sur cette variété, à chaque valeur de jk correspondent, conformément à ce qui précède, 2/? cycles G< , Go, ..., Go/j, et chacun d'eux, par une circulation convenable de jK, se ramène à une somme de multiples des autres. L'ensemble de ces cycles et du transformé de l'un d'eux forme donc une frontière complète. Par suite, si l'on considère une intégrale de différentielle totale de la nature de celles envisagées (Ghap. II, n" 16) dans V Analysa situs, et si l'on désigne par
Pi, Po, ..., V^p
ses périodes relativement aux .cycles Ci, Go, ..., Go^, la période correspondant au cycle transformé de G, sera encore P^, et de même pour les autres. On aura donc
(tt) Vi=m\V^-{-m{V.i-\-,..+ în{pV.2p (i = i, 2, . . ., p./?),
et à chaque substitution du groupe de l'équation correspondront 2/? équations de cette forme. 11 arrivera, en général, que, pour une substitution arbitraire de ce groupe, ces équations donneront seulement
Pi = o, P2=o, ..., P2p=o.
Donc, pour une intégrale arbitraire toutes les périodes sont nulles,
lOO CHAPITRE lY.
et nous retombons alors de nouveau sur le fait que tous les cycles se réduisent à zéro, c'est-à-dire que yo, = i. Mais il arrivera certainement, si /), >> I , que les équations (-), correspondant à toutes les substitutions du groupe de l'équation (E), pourront être vérifiées autrement qu'en annulant tous les P. Supposons alors que de l'ensemble des équations (u) on puisse tirer ip — /• des quantités P en fonction des r autres restant arbitraires, il est clair que les périodes P pourront certainement se réduire à r d'entre elles, et par suite le nombre des cycles linéaires distincts de la surface sera au plus égal à r.
Il n'y a pas théoriquement de difficultés impraticables à calculer r; on peut en effet concevoir que l'on forme le groupe de l'équation, et il suffit de former les équations (t:) pour les substitutions fondamentales du groupe. En fait, ces calculs seraient bien pénibles et ce sont des considérations différentes qui nous permettront, au Chapitre VI, de calculer r.
Les considérations précédentes, basées sur l'étude d'une intégrale de deuxième espèce dont les périodes sont fonctions dey, ne nous permettent pas d'affirmer que /' est égal à/>, — i, parce que nous n'avons envisagé, en définitive, que des déformations particulières de cycles correspondant à la déformation de la surface de Riemann /(^, j, :;)=o. Ce nombre /' jusqu'ici doit donc être envisagé comme un maximum de /><— r, mais nous allons établir qu'il est effectivement égal à ce nombre. Il nous suffira pour cela de montrer que l'on peut former une intégrale de différentielle totale ayant sur la surface /' périodes arbitraires données à l'avance dont aucune ne provienne d'une courbe logarithmique.
23. Considérons 2/) intégrales quelconquesde seconde espèce telles que I (n° 18), relatives à la courbe/(^, y,z)=o. Désignonsles (<) par
Ces intégrales ont chacune ip périodes correspondant aux
(') Il sera établi au n» 11 du Chapitre VI que l'on peut supposer que les F soQt des polynômes en x, y el z.
SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. lOI
mêmes cycles et ont par suite le même groupe de substitutions. Nous allons chercher si l'on peut déterminer des fonctions rationnelles dejK
de telle sorte que les périodes de l'intégrale aj II H- «2 12 -T- • . • -f- Clip I2P ne dépendent pas dejK. Soient
wî, wj, ..., Oj'^p
les ip périodes de U ; nous avons à écrire les 2/? équations
les P étant des constantes. Supposons que ces constantes satisfassent à l'ensemble des équations (t:) ; je dis qu'alors les ip équations précédentes déterminent pour les a des fonctions rationnelles de y.
Faisons, en effet, décrire ky un chemin fermé auquel correspond la substitution (S); les équations précédentes deviennent
a^al-^ a^Q.1-^- . . .-\- a^pQ^Y =V k (A: = 1,2, ...,2p).
Mais d'après les valeurs (S), et puisque les P satisfont aux équations (tc), ce système d'équations en a sera identique au précédent. On aura donc pour les a des fonctions uniformes dey et par suite des fonctions rationnelles.
Parmi les constantes P, il yen a r d'arbitraires et aucune d'elles ne provient d'un point singulier logarithmique. Pour le prouver il nous suffît de montrer que la période de l'intégrale relative au chemin d'intégration envisagé au n° 19, entourant deux points de ramification voisins Xi et X2 de la fonction z de ^, correspondant à une \a\eury voisine de b, est nulle. Soit toi cette période qui est une fonction holomorphe de y autour de y = b : il y a une seconde période Wo correspondant à un chemin entourant seulement un des points, soit ^,, et un ou plusieurs autres points de ramification autres que ^25 cette période Wo se transformant en co2-t-w,. Or, pour l'intégrale considérée, ces périodes sont des
constantes; on aura donc
et par suite w, est égal à zéro.
Je dis maintenant qu'il y aura une intégrale de différentielle
totale
/ R <i^ + S dy^
où R et S sont des fonctions rationnelles de x, y, z, dans laquelle
(? , Fi + (?o F.2 + . . . + a.,p F2/,
Pour le montrer, il faut déterminer S; on devra avoir
as dK
dx dy
en désignant, bien entendu, par ^ la dérivée partielle, par rapport 'a y, de R considérée comme fonction de^ et j. On pense d'abord à prendre
L'intégration qui figure dans l'expression de S est faite en donnant ky une valeur constante d'ailleurs arbitraire, et ^0 est une constante fixe. On a f{x,y, z)= o, et z, est une racine de l'équation/(:ro, y, ^0= o- , , ,. . , , L'expression de S, ainsi obtenue, n'a qu'un nombre limite de
valeurs : elle n'est pas fonction rationnelle de œ, y, z, mais de ^, y, z et, en plus, de ^, ; nous éviterons cette a'mbiguïté en considérant la somme
z,, ^2, •••1 -m étant les m racines de l'équation
/(^o,7,^)=o- Cette somme a une valeur déterminée, à un multiple près des pé-
SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. I03
riodes, en un point arbitraii^e (.r, y^ z) de la surface
et par conséquent
ày
aura une valeur unique en chaque point {x, y, z) de la surface, puisque les périodes des intégrales ne dépendent pas dey. Par suite cette expression sera une fonction rationnelle de x^ y, z, car les points singuliers de cette fonction ne peuvent être des points singuliers essentiels. Nous prendrons maintenant la fraction rationnelle
S(^, y, z) — — --- ^ -^ ' ^ m dy
Sa dérivée partielle par rapport à œ
sera par conséquent la dérivée partielle par rapport à jk de la fonction R. Nous aurons donc une intégrale de différentielle totale
/ Kdx -\- 'è dy
où R et S sont des fonctions rationnelles dee x^ y et z. Par hjpothèse, pour jk constant et arbitraire, l'intégrab
dx
est une intégrale de seconde espèce; montrons pareillement que l'intégrale
(5) J^{x,y,z)dy
est une intégrale de seconde espèce pour la courbe entre jk et z
f{x,y,.z)=o, X ayant une valeur constante et arbitraire.
Or la valeur de l'intégrale (5) regardée comme intégrale indéfinie est visiblement égale à
les intégrales dans (6) étant relatives à la courbe f(x, y, ^ )= o. Pour un système de valeurs {x^ y, z)^ l'expression (6) aura un nombre fini de valeurs difTérentes à des multiples près de certaines périodes qui sont les périodes désignées par P. 11 faut montrer que, parmi ces périodes, il n'y a pas de périodes provenant d'un point singulier logarithmique. Nous devons donc étudier l'expression (6) en la regardant comme fonction de jk, tandis que x et Xq ont des valeurs fixes. Or cette expression aura d'abord comme points singuliers les valeurs doj^ points critiques de la fonction algébrique z àe y définie par/(^, y, ^) = o ; mais il est évident que ces points sont des points singuliers algébriques. Elle pourrait encore avoir pour points singuliers les points y = 6; il faudrait alors, en désignant par x^ et X2 les deux points voisins de ramification de la fonction ^ de ^ correspondant à une valeur dey voisine de b qu'on eût le chemin d'intégration passant entre ^j et ^2* 11 s'agit de voir ce que deviennent dans ces conditions les intégrales figurant dans (6). Or soit l'intégrale de rang i\ les valeurs
initiale et finale sont:;, et g pour la fonction z] on pourra certainement trouver un autre chemin G' allant de ^0 à :r et avec les mêmes valeurs initiale et finale pour la fonction z. La valeur de l'intégrale le long de G pourra donc se remplacer par l'intégrale prise le long du contour fermé formé de G et G' augmentée d'une intégrale prise le long de G'. La première de ces intégrales donne une période, la seconde sera holomorphe dans le voisinage de y = 6. Faisons main-
SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. Io5
tenant tourner j/ autour de b en revenant au point de départ; nous devons prendre pour (6) la différence des valeurs initiale et finale. Mais, la période étant indépendante de y, cette différence sera nulle, et par suite jk= b n'est pas un point singulier logarithmique pour l'intégrale (5).
On pourrait encore démontrer le résultat précédent de la manière suivante : quand jk a fait un tour autour de Z>, il j a eu permutation entre x^ et ^25 et l'on a alors, au lieu de la figure précédente, la disposition suivante {fig. 1 1). On voit de suite que l'intégrale prise le long du trait plein est égale à l'intégrale prise le long du trait pointillé, augmentée de l'intégrale prise le long d'un chemin partant de Xq et entourant x^ et X21 et cette dernière intégrale est nulle, comme nous l'avons vu précédemment.
Fisr. II.
Nous avons supposé, dans ce qui précède, que y restait à distance finie. Pour étudier le cas où y est dans le voisinage du point 30, posons, comme au n° 19,
L'expression (6) devient une expression de la forme
x', z' et y étant liées par la relation
Or, pour y voisin de Tco, les points. critiques x\, x'^y ... de la fonction z' de x' définie par cette équation sont distincts et restent distincts pourjK = ^- H n'y a donc aucune difficulté; la somme (6)
reste uniforme dans le voisinage dejr-=oo, et par suite ce point n'est pas un point singulier logarithmique pour l'intégrale (5). Il résulte de cette analyse que, pour x arbitraire, l'intégrale
est une intégrale de seconde espèce pour la courbe f{x, y, z)=o.
24. Nous venons de former une intégrale de différentielle totale
(7) fndx-^Sdf
où R et S sont des fonctions de ^, jk et ^; elle a r périodes arbitraires. Le long de tout cycle infiniment petit, la valeur de cette intégrale est égale à zéro. La chose est évidente, car la surface n'ayant que des singularités ordinaires, tout cycle infiniment petit peut se ramener à un cycle infiniment petit situé soit dans un continuumjK = const., soit dans un continuum x= const. Or nous avons vu que les deux intégrales
fndx et fS(/y
sont de seconde espèce : donc la valeur de l'intégrale sera nulle sur le cycle considéré.
Nous allons tirer de là une conséquence de grande importance. L'intégrale (7) ayant r périodes, il n'est pas possible que
car alors quelqu'une des périodes proviendrait d'un cycle infiniment petit, et nous venons de voir qu'il ne pçut en être ainsi. Enonçons donc le théorème suivant :
Le nombre Pi relatif à la connexion linéaire de la surjace est égal à r -\- \ .
25. Nous n'irons pas, pour le moment, plus loin dans cette étude, qui sera reprise au Chapitre VI, quand nous étudierons les intégrales de seconde espèce. Nous pouvons dire par avance que l'intégrale {"]) est une intégrale de seconde espèce, et l'analyse
SINGULARITÉS d'uNE SURFACE ALGÉBRIQUE. IO7
de cette Section établit une relation étroite entre la connexion linéaire et les intégrales de différentielles totales de seconde espèce. C'est là un résultat capital, qui donne une base solide à l'étude de la connexion linéaire des surfaces algébriques, mais ce ne sera qu'après avoir fait l'étude des intégrales de seconde espèce que nous pourrons reprendre l'étude du nombre p^ et montrer comment on peut effectivement calculer /'. Disons seulement en ce moment que pour une surface il y a p^ — i intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce : énoncé qui rappelle une proposition classique dans la théorie des courbes algébriques.
