OTK IV. SURFACES ET FONCTIONS UNIFORMES, ETC

sont en fait très particuliers. II n'en est pas dans le cas de deux variables comme dans celui d'une seule variable, où, avec les groupes de substitutions du tvpe

ax X,

on avait tous les cas de substitutions biralionnelles.

Dans le cas de deu\ variables, il faudrait considérer tous les groupes discontinus dont les substitutions sont birationnelles

Dans les groupes hyperfuchsiens, R et Rj sont linéaires (fractionnaires) ; déjà les groupes liyperabéliens appartiennent au type quadratique où R et Ri sont du second degré.

11 n'est d'ailleurs pas certain qu'à tout groupe discontinu de la forme précédente correspondent des fonctions restant invariables par les substitutions de ce groupe, comme le montre l'exemple du groupe

(.r,jK; x-^ ai, y -\-hi) (t = i, 2, 3, 4)

d'après le théorème classique sur les fonctions quadruplement périodiques.

Dans un ordre d'idées voisin, je rappellerai, en terminant, une question que j'ai posée autrefois {^ Journal de Mathématiques, 1889, p. 009) et où figuraient des groupes de substitutions de la forme

(ir, jk; ax-\-h^ cy -\- d).

Les progrès faits depuis dans la théorie des cycles linéaires permettraient probablement de la résoudre.

SUR QUELQUES RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORI^^^ DES SURFACES ALGÉBRIQUES,

Par MM. Gastelnuovo et Enriques.

M. Picard a bien voulu nous demander d'ajouter à son Traité une courte exposition des résultats sur les surfaces algébriques, qu'on a obtenus dernièrement en Italie, et qui n'ont pas trouvé place dans son Ouvrage. Il a voulu ainsi nous fournir le moyen de faire connaître à un public plus large l'état actuel de la théorie des fonctions de deux variables suivant notre point de vue géométrique.

Nous tacherons de répondre par cette Note, aussi bien qu'il nous sera possible, à la proposition très aimable de M. Picard.