SURFACES ET FONCTIONS UNIFORMES DE DEUX PARAMÈTRES

premier ordre correspondant à la fonction abélienne de genre deux, on peut détacher un groupe de transformations V laissant invariable la relation (i).

Ceci dit, on satisfait à (i) en posant

Or on démontre qu'au groupe V correspond pour a: et y un groupe hyperabélien. L'étude de ce groupe a été approfondie par M. H. Bourget. Dans ses profondes recherches sur les fonctions abéliennes singulières, M. Humbert (^) a étudié des relations entre G, H et G' plus générales que la relation (i).

M. Blumenthal (^) s'est occupé de la recherche des substitutions fondamentales de groupes hyperabéliens, d'un type étendu et relatif à un nombre quelconque de variables.

5. Achaque groupe hyperabélien correspondent des fonctions hyper abéliennes, et entre trois de ces fonctions il existe une relation algébrique conduisant à une surface hyperabélienne.

La théorie des fonctions abéliennes singulières correspondant à la relation (i) pour D r= 2 a conduit M. Humbert à quelques exemples effectifs tvès simples de surfaces hyperabéliennes (Comptes rendus, J899; Sur les surfaces hyperabéliennes).

Ainsi la surface du quatrième degré

xy -f- z xz 4- y xy — z ~ x—yz

est hyperabélienne, et l'on a pour elle la représentation paramétrique

les ?S désignant les fonctions thêta normales du premier ordre d'argutnents nuls.

6. Quel est le degré de généralité des surfaces hyperfuchsiennes et hyperabéliennes? C'est une question à laquelle je ne puis répondre. 11 est extrêmementpeu probable que l'on obtienne ainsi toutes les surfaces algébriques, car les groupes hyperfuchsiens et hyperabéliens

(1) G. Humbert, Les fonctions abéliennes singulières {Journal de Mathématiques^ de 1899 à 1904).

('-) O. Blumenthal, Matheniatische Annalen, t. LVI.