IG'I, |C

Cette série ne s'arrête pas si l'on a, pour quelques valeurs de «,

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( ' ) Gastelnuovo, Suite superficie di génère zéro, loc. cit.

(') Enriques, Sulle irrazionalità. ■ . {Matheni. Annalen, t. XLIX).

5l4 NOTE V.

c'est ce qui arrive certainement si la surface / a un nombre fini de courbes exceptionnelles, lorsque

Mais on ne peut pas être assuré directement de la non-existence d'une surface n'appartenant pas à la famille des réglées et ayant, par conséquent, un nombre fini de courbes exceptionnelles, pour laquelle

Ainsi le critérium ({ualilalif établi au n" 22 ne fournit pas une détermination de la famille des suifaces réglées {pu<io) à l'aide de caractères invariants.

Un tel critérium serait fourni, il est vrai, dans le cas pa <C. — i, par l'inégalité

mais le calcul du genre linéaire défini au n" 17, de façon à comprendre le cas des surfaces réglées, exige d'établir le maximum d'une certaine expression formée avec les caracléres des systèmes linéaires appartenant à la surface, et amène, en pratique, à elTectuer les mêmes opérations que Ton doit effectuer d'après le n" 22.

11 convient donc de traiter la question proposée par une autre méthode, en prenant comme point de départ la propriété caractéristique des surfaces irrégulières ( n'' ï), d'après laquelle on sait, en particulier (n" 9), (ju'une surface de genres p^r = o, Pa<. o, renferme un faisceau irrationnel de courbes K.

Il y a lieu de distinguer deux cas :