G' + LI = IG + L

On sait que cette propriété renferme le caractère invariant des courbes canoniques, découpées sur la surface F par ses adjointes cp„4 d'ordre n — 4? d dehors des courbes exceptionnelles ; car (lorsque les cp„4 existent, à savoir lorsque le genre géométrique pg > o) le système qu'elles découpent sur F est représenté par

ir/-G|=.|L'-Ll (2).

(1) Enriques, loc. cit., n" 13 et suiv.

(2) Tome II, page 142.

Mais la propriété du système adjoint^ que nous venons de rappeler, nous apprend davantage ; en effet, elle nous amène à définir toute une série de systèmes invariants, qui peuvent exister sur des surfaces de genre /?^ :^ o, et qui peuvent même être utiles dans l'étude des surfaces de genre /^^ !> o (surtout en ce qui touche aux premières valeurs du genre), quoique dans ce cas ils se réduisent aux systèmes multiples du système canonique (^).Les systèmes invariants, auxquels nous venons de faire allusion, sont les systèmes

ilsjouissent tous également de la propriété d'invariance vis-à-vis des transformations birationnelles de la surface, pourvu qu'on en retranche (comme on le fait d'ordinaire) les courbes exceptionnelles qui en font partie. On leur donne les noms de système bicanonique, système trois fois canonique, etc. Le nombre des courbes bicanoniques indépendantes s'appelle bigenre; pareillement on peut envisager le trigenre,

Si l'on veut obtenir, par exemple, les courbes bicanoniques sur une surface F„ (d'ordre /i), dans le cas le plus simple où elle est douée d'une courbe double et de points triples (2), il suffit de retrancher deux sections planes, du système qui est découpé sur F,i par les surfaces biadjointes *2rt -e d'ordre in — 6, passant doublement par la courbe double (puisque ce système est justement le double de celui qui est découpé par les surfaces adjointes ^«-a); on obtient ainsi des surfaces *^2«-8 biadjointes à F„, qui découpent sur F„ les courbes bicanoniques.

Les sections des surfaces biadjointes d'ordre in — 8 (en dehors de leurs parties exceptionnelles) jouissent donc de la propriété d'invariance vis-à-vis des transformations birationnelles de F^j.

On trouve l'exposition de ces résultats à la page 1/46 et suivantes du texte (t. II), et Ton peut voir à la page i49 les premiers exemples qu'on a donnés de surfaces de genre /j»^ = o, et de bigenre F2!> ^'

D'autres exemples nombreux se présentent en étudiant certaines classes de surfaces z^ ^=zf{jc, y) (^).

(') C'est ainsi, par exemple, qu'on a pu donner une classificalion complète des surfaces de genre />> > o, et de genre linéaire />(') = 2,3. — {Cf. Enriuuks, liendiconti delta B. Ace. d. Lincei, 1897).

(^) Tome I, pages 71 et suiv.

( ^ ) Enriques, Sut piaiil doppi dl génère lineare /^^'^ = i ( Reiidic. delta R . Accad. d. Lincei, 1898),

L'importance des plurigenres ressortira de la seconde partie de cette Note, lorsqu'il s'agira d'établir si une surface donnée est rationnelle, ou si elle peut être transformée en un cylindre, etc. {voir

Il résultera en ijarticulier que, pour les surfaces qui ne se ramènent pas à la famille des cylindres, il y a toujours des plurigenres P, qui ne s'annulent pas pour des valeurs assez grandes de i (/ =: 4 ou / =: 6).

3. De la propriété fondamentale du système adjoint découlent encore les résultats concernant le genre numérique p,i ou p^ d'une surface, qui se trouvent largement développés dans le texte ( t. II, p. 82-92, 125-129). Il nous suffira de rappeler que, lorsque />„ </?^,, la série (canonique) découpée sur la courbe générale d'un système irréductible I G I de F par le système adjoint, n'est pas complète; cette série g^~}J^ a donc un défaut 0; mais ce défaut^ pour les différents systèmes de courbes tracés sur la surface, a un maximum qui est précisément pg. — pa ( ^ ).

11 y a une autre manière, en quelque sorle analogue, de définir le caractère invariant 7;^, — pa,.

Considérons, à cet eflet, la série linéaire {caractéristique) qui est découpée sur la courbe générale de | G | par les autres courbes du même système; c'est une série ^'i~S si l'on désigne par /i, /', respectivement, le degré et la dimension de | G |. Eh bien! la série caractéristique d' un système complet tracé sur une surface n'est pas complète {en général, au moins), lorsque Pa<.Pfr'^ mais, pour les différents systèmes existant sur F, le défaut de la série atteint un maximum qui est précisément p^r — pa (^)-

rJe ce théorème découle une relation importante entre les caractères d'un système linéaire j G | donné sur une surface, dont les deux genres (géométrique et numéri([ue) sont représentés par p^r^ Pa- En désignant par /«, T, /• respectivement le degré, le genre et la dimension du système, et en supposant que celui-ci ne soit pas renfermé dans le système canonique, on a toujours

(M Page 128. D'après un théorème démontré tout dernièrement par M. Picard {t. II, p. 4"^*^)? OD a l'égalité 0 = p„ — />„ pour tout système j G 1 existant sur la surface. On n'est pas encore parvenu à retrouver ce théorème par les méthodes géométriques.

(2) Gastelnuovo, Alciine proprietà fondamentali. . , {Aiinali di Matemat'ica, 1" série, t. XXV, 1897). Une démonstration très simple a été donnée par M. Severi {Rendiconti delta R. Ace. d. Lincei, octobre 1908 ).

Lorsque le système | C | est renfermé dans le système canonique, en désignant par i le nombre des surfaces adjointes cp^..^ indépendantes qui passent par une courbe G, on a, au lieu de la relation qui précède, la suivante

T. — i — n-i-r ^pa — i.

La relation, que nous venons d'écrire, constitue Vextension aux surfaces de la propriété relative aux courbes qu'on appelle le théorème de Riemann-Roch.

C'est M. Nôlher qui a énoncé cette extension dans une Note publiée en 1886 (^). Mais, dans le court essai de démonstration qu'il en a donné, il suppose que la série caractéristique d'un système complet soit toujours complète, ce qui est vrai seulement lorsque p^^^p^. M. Enriques s'est occupé d'abord de justifier la formule en question dans le cas /;« =y:>^; ensuite M. Gastelnuovo est parvenu au résultat général pour tous les systèmes linéaires irréductibles de dimension ^ 2, tracés sur une surface quelconque.

On a cherché ensuite à étendre ce théorème aux systèmes de courbes réductibles (-), et l'on est parvenu au résultat suivant, qui a été démontré d'une façon précise par M. Severi (^) : si les caractères t:, /i, i dhine courbe, Irréductible ou réductible, tracée sur une surface de genres pg, pa-, satisfont à V inégalité

Pa+ n — 7: -I- I — j^ o, la courbe appartient à un système linéaire de dimension

h. Nous avons eu l'occasion de parler des surfaces {irrégulières), c'est-à-dire des surfaces pour lesquelles pa<ip^r.

Le premier exemple de telles surfaces est fourni par les surfaces réglées dont les sections planes ont le genre tt > o ;'en ce cas on a

La classe des surfaces réglées {t.'^o) est renfermée dans la classe plus générale des surfaces possédant un faisceau irrationnel de

(') Comptes rendus de l'Acad. des 6'c., t. Clll.

(^) Castklnuovo et Enriques, Sopra alcune questioni fondamentali. . .^ n° 4 {Annali di Matematica^ 3* série, t. VI, 1901).

(•'') Sut teorema di Riemann-Roch {Atti deW Accad. délie Scienze di Torino, mai igoS).

(*) Tome I, p. 241 ; tome II, page i55.

courbes de genre quelconque ; toutes ces surfaces sont irrégulières, parce que les séries caractéristiques des systèmes linéaires tracés sur elles ne sont pas complètes (^).

On a généralisé cet exemple, en démontrant que : toute surface possédant un système de courbes qui n'est pas contenu (totalement) dans un système linéaire est une surface irrégulière (-).

A cette famille de surfaces appartiennent tous les exemples de surfaces irrégulières auxquels on est parvenu par des procédés différents. Citons, j^ar exemple, les surfaces qui représentent (point par couple) le système des couples de points appartenant à deux courbes algébriques distinctes ou à une même courbe, surfaces dont les caractères invariants ont été déterminés d'une façon complète (^).

Cette remarque a conduit à penser que toute surface irrégulière rentrerait dans la famille citée. C'est ce qu'on a démontré dernièrement (■'). Ainsi donc, sur toute surface irrégulière, on trouve des systèmes algébriques de courbes qui ne sont pas contenus dans des systèmes linéaires.

Ce théorème peut être précisé davantage. Rappelons à cet effet que la notion de la série caractéristique d'un système linéaire de courbes sur une surface peut être étendue à un système continu non linéaire, de la façon suivante (^) : les courbes infiniment voisines d'une courbe générale du système découpent sur celle-ci une série, qu'on appellera série caractéristique du système donné. On a maintenant le théorème (^) : tout système continu de courbes algébriques existant sur une surface est renfermé en un système {linéaire ou non linéaire) dont la série caractéristique est complète.

Le dernier système sera linéaire, d'après un théorème de M. Castelnuovo (n° 3), si la surface est régulière (/?„ = />^). Au contraire, si/?^>>/j»«, il existe sur la surface des systèmes linéaires complets, de

(^) Castelnuovo, Alcwii risultati. .., n'> 10 {Mem. délia Società italiana délie Scienze, 1896).

(2) Enriques, Una proprietà. . . {Renclic. del Circolo Malematico di Palermo, t. XIII, 1899).

(•^) Maroni, yli^i delV Accad. d. Scienze di Torino, 1908. — Seyerï, Ibidem, et Memorie dell' Accad. d. Scienze di Torino, igo3. — De Franchis, Bendic. del Circolo Mateni. di Palermo, 1908.

(*) Enriques, Sullà proprietà caratteristica délie superficie algebriche irregolari {liendic. délia R. Accad. d. Scienze di Bologna, 1904); Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 16 janvier 1905.

(=^) Severt, Osservazioni sui sistemi continui ... {Atti délia R. Ace. d. Scienze di Torino, 1904).

(6) Enriuues, loc. cit.

492 NOTE y.

* genre t, degré n et dimension r =: p^-h n — ti-I-i, dont la série caractéristique a le défaut maximum p^. — pa] ces systèmes sont donc /^enfer/fiés en des systèmes co/iti/ius de dime/islo/i

P =/>^-^/^— - + 1, composés par acPg~Pa systè/nes linéaires complets de dime/isio/i

r=9—iPi,r — Pa)'

Si Ton assujettit les courbes d'un tel système continu à satisfaire à /• conditions linéaires, on obtient u/ie série cct^s~P^^ de courbes no /i équivale/ites, série dont la courbe générale n'appartient à aucun système linéaire contenu dans la série. Mais on ne saurait pas construire sur la surface une série de dimension p^r — />«+ i douée de la même propriété.

Comment pourra-L-on reconnaître si une courbe <t\ant des caractères assignés, sur Une surface de genres y^^r, /?«, appartient à une desdites séries co^^""^^» ? Voici la réponse : il sufjit que les caractères ir, /i, / de la courbe (nommés au n« 3) satisfassent à V inégalité

Pa-\- ti — iz -\- \ — î : o.

Ce résultat, auquel M. Enriques est arrivé en s'appuyant sur Textension du théorème de Riemann-Roch, a reçu une démonstration directe assez simple de M. Severi (^).

5. Considérons sur une surface irrégulière un système continu S de courbes, composé par ccPg-Pa systèmes linéaires complets | C |, |Ci|, I C2I, .... Si Ton construit le système linéaire

|G'| = lC-i-G,-G2l,

on reconnaît de suite que | C | appartient aussi au système S, et possède les mêmes caractères que | C |, ....

On voit donc que Vopératio/i | Ci — C2I transforme tout système linéaire complet | C | de S en un autre système linéaire complet | C'|, qui est aussi renfermé dans S. Or, on peut former ccI's~P'' opérations analogues, et l'on reconnaît aisément qu'elles forment un groupe continu de transformations deux à deux permutables. Il convient d'énon-

(') Sut leorenia di Riemann-Rock {toc. cit.).

cer ce résultat de ]a manière suivante (*) : les ccPg-J''^ systèmes linéaires complets renfermés dans un système continu peuvent être représentés par les points d'une variété algébrique à pp — pa dimensions, qui admet un groupe permutable ccf's"''"^ de transformations birationnelles en elle-même.

C'est la variété de Picard attachée à la surface. D'après un théorème établi par ce savant (2), les coordonnées d'un point général de la variété peuvent être exprimées à l'aide de fonctions abéliennes ["iiPff — Pa) fois périodiques] de /?^ — /?a variables. En transportant cette propriété aux systèmes de courbes sur la surface considérée, on arrive à la conclusion {^) que les p^ — pa paramètres non linéaires, dont dépend une courbe d'une série complète donnée sur la surface, peuvent être introduits de telle façon que les coefficients des équations de la courbe soient des fonctions abéliennes de ces paramètres.

On a ainsi une extension aux surfaces de la propriété des groupes de points d'une courbe, qui est exprimée par le théorème d'inversion de Jacobi. On pourrait rechercher une autre extension de cette même propriété dans un sens plus direct; c'est ce qu'a fait M. Picard en parvenant à une réponse négative {voir la Note II de ce Traité).

0. En résumant les résultats rappelés dans les n°^ 3, 4, 5, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Si l'on envisage sur la surface une courbe, dont les caractères ti, /i, i satisfont à l'inégalité

Pa-i- n — t: -h I — i =o;

cette courbe sera renfermée dans une série complète dépendant de

paramètres ; et ces paramètres seront de deux sortes : les uns, au nombre de r — {p^ — pa), entrent linéairement, de sorte que la courbe est un système linéaire par rapport à ces paramètres; les autres paramètres, au nombre de p^r — Pa-, entrent d'une façon irrationnelle, et précisément les coefficients des équations de la courbe sont des fonctions i{pa — Pg) fois périodiques de ces derniers paramètres.

(*) Castelnuovo, Sugli integrali semplici ... {Rendiconti délia li. Ace. d. Lincei, mai-juin igoS, ou bien Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 23 janvier igoS).

(2) PiCAiiD, Rendiconti del Circolo matem. dl Palermo, t. IX.

(3) Castelnuovo, toc. cil.

494 NOTE y.

7. II convient maintenant de rapprocher ces résultats, relatifs aux surfaces irrégulières, à d'autres résultais qui se rapportent au\ surfaces douées d'intégrales de diflérentielles totales de première espèce.

M. Ilumbert, en appelant le premier l'attention des géomètres sur les systèmes non linéaires de courbes, a remarqué (^) que toute surface, sur laquelle existe un système de courbes qui lïest pas contenu dans un système linéaire, possède quelques intégrales de différentielles totales de première espèce.

On a cherclié à inverlir ce résultat. M. Enriques v est parvenu d'abord (^) en ajoutant l'iiypolhèse que les ç > o intégrales appartenant à la surface aient iq périodes, hypothèse qui, à cette époque, devait être regardée comme restrictive. Ensuite i\I. Enriques, en s'appuyant sur un théorème important de M. Severi, que nous allons citer tout à l'heure (n° 8), et profilant du résultat qu'il a établi dernièrement sur les surfaces irrégulières (n° 4), a pu démontrer, sans introduire aucune restriction (^), que toute surface possédant q '> o intégrales de différentielles totales de première espèce possède des systèmes algébriques de courbes, qui ne sont pas contenus dans des systènies linéaires.

8. On n'a maintenant qu'à comparer les résultats des n°* i et 7 pour faire ressortir la vérité de la proposition suivante :

Les surfaces irrégulières et les surfaces douées d'intégrales simples de première espèce forment une seule famille.

Ce théorème renferme deux propositions réciproques dues respectivement à MM. Severi et Enriques. En vue de l'importance du résultat, il est bon peut-être de lappeler ici l'ordre dans lequel ces propositions ont été découvertes, et les étapes successives qui ont amené au résultat quantitatif, qui a permis de compléter le théorème énoncé.

En septembre 1904 M. Severi, en s'appuyant sur les résultats généraux de M. Picard, a examiné la courbe polaire d'une intégrale simple de seconde espèce (transcendante), et a remarqué que la série caractéristique, découpée sur cette courbe parles courbes qui appartiennent au même système linéaire, n'est pas complète; il en déduit que {'*)

(') Journal de Mathématiques, 4° série, l. X, 1893, p. 190.

(^) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, 1" série, t. III.

(^) Enriquks, Rendic. délia R. Accad. di Bologna, décembre 1904.

(*) Rendicontl delta R. Accad. d. Lincei, septembre 1904; Mathein. Anna-

toute surface douée d'intégrales simples de seconde ( ou de première) espèce est ir régulière.

En décembre 1904 M. Enriques, en s'^appuyant sur la construction de systèmes non linéaires sur une surface irrégulière (n°4), parvenait à la conclusion réciproque que (') les surfaces irrégulières possèdeiit des intégrales simples de première espèce.

Ensuite M. Severi (-), en profitant du théorème de M. Enriques sur les systèmes non linéaires (n^ 4), a pu démontrer l'égalité

où r et q sont les nombres des intégrales simples de seconde et première espèce de la surface.

Enfin, une étude plus approfondie des systèmes non linéaires nommés, étude où le rôle essentiel est joué soit par la considération de la variété de Picard (3) ( n^ 5), soit par l'extension du théorème d'Abel C^) (dont nous allons parler au n° 10), a permis à MM. Castelnuovo et Severi de préciser de la manière suivante le lien qui existe entre l'irrégularité d'une surface et le nombre des intégrales simples qui lui appartiennent :

Une surface ayant les genres /;^., pa, possède exactement p^ — pa intégrales simples distinctes de première espèce et i{pg — Pa) intégrales simples distinctes de seconde espèce; le nombre des périodes des unes et des autres intégrales, et le nombre des cycles linéaires distincts de la variété de Riemann à quatre dimensions attachée à la surface est 2 {pn- — pa).

Ce résultat est donc le fruit d'une longue série de recherches, auxquelles ont également contribué les méthodes transcendantes de M. Picard et les méthodes géométriques employées en Italie.

9. Le théorème d'après lequel une surface irrégulière possède des systèmes non linéaires de courbes (n° k) peut être précisé davantage dans quelques cas particuliers remarquables.

len, t. LXI. Une autre démonstration a été donnée par M. Picard (Comptes rendus, x6 janvier igoS; voir aussi ce Traité, t. II, p. ^ig).

(^) Reiidiconti delta Accad. d. Scienze di Bologna, loc. cit.

(^) Atti delta R. Accad. d. Scienze di Torino, janvier i(jo5; voir aussi Picard, loc. cit.

(3) Castelnuovo, Comptes rendus, 28 janvier 1900; Rendic. délia R. Accad. dei Lincei, mai-juin 190.5.

C) Severi, Comptes rendus, 3 avril 1900; Annali di Matematica, 3* série, t. XII.

En 1900, M. Castelnuovo communiquait à M. Enriques (^) une construction d'après laquelle, étant donné sur une surface de genre /?^,= o un système de courbes non équivalentes, on est amené à un faisceau irrationnel. En 1904 (aii moyen du résultat du n" 4-) M. Enriques en a déduit (^) que :

Toute surface de genres

Ps = o, />« < o

renferme un faisceau irrationnel de courbes.

Ce résultat peut être généralisé, en remarquant que le point essentiel de la construction précédente, c'est le fait que les intégrales simples de la surface sont fondions Tune de l'autre.

Or on reconnaît, en général (^), que, si, parmi les intégrales simples attachées à une surface, il y en a plusieurs qui sont fonctions de l'une d'entre elles, alors la surface renferme un faisceau irrationnel de courbes. Il s'ensuit que toute surface ayant pg^ 2{pa-+- 2) possède un faisceau irrationnel de courbes {'*). Cette propriété appartient donc à toute surface dont le genre aritlnnélique Pa<i — I (^); (on verra ensuite que les courbes du faisceau sur une telle surface sont rationnelles).

Le même ordre de considérations a permis à M. de Franchis d'établir un théorème remarquable (^) :

Si la surface z'^:^f{Xy y) possède q intégrales simples distinctes de première espèce, la courbe plane f^œ^ y)^=zo est formée par iq -^ 1 ou iq -\-\ courbes appartenant à un même faisceau: toute courbe du faisceau est la projection dé deux courbes de la surface qui varient en un faisceau hyper elliptique de genre q.

Le théorème réciproque subsiste aussi.

f 10. La démonstration très simple, par laquelle M. Severi a établi le théorème du n^ 8, s'appuie sur une proposition qui doit être regardée

(') Annates de Toulouse, 2' série, t. III.

(-) Hendic. Accademia di Bologna, toc. cit.

(') De Franchis, Rendic. delta R. Accad. dei Lincei, juin 1904; Rendic. det Circolo matem. di Palermo, t. XX, 1906, p. 49-

(*) Castelnuovo, Rendic. det Circolo matem. di Palermo, l. XX, p. 55.

(^) De Franchis, Rendic. det Circolo matem. di Palermo; toc. cil.

(^) De Franchis, Rendic. delta R. Accad. dei Lincei, toc. cit.; voir aussi une extension de ce théorème dans les Rendic. det Circolo malem. di Palermo, t. XX, p. 33 1.

comme l'extension aux séries de courbes tracées sur une surface du théorème d'Abel relatif aux séries de groupes de points d'une courbe. Il s'agit de décider, en recourant aux intégrales simples de première espèce de la surface, si une série continue de courbes tracées sur elle est contenue dans un système linéaire. Ou peut énoncer la condition cherchée de différentes façons, mais on doit toujours envisager la somme des valeurs que chaque intégrale acquiert aux points d'un certain groupe variable. Bornons-nous à rappeler la première forme sous laquelle M. Severi énonce son théorème (^) :

Pour qu'une série algébrique de courbes sur une surface appartienne à un système linéaire, il est nécessaire et suffisant que la somme des valeurs que chaque intégrale simple de première espèce prend aux points d'intersection de deux courbes de la série, garde une valeur constante lorsque Us deux cour bes varient dans la série.

Une autre extension du théorème d'Abel a été donnée aussi par M. Severi dans le Mémoire cité. La voici. Supposons que deux surfaces F, F' soient liées par une correspondance algébrique (i, n)\ on aura alors sur F' une involution d'ordre /i, formée par oo^ groupes de n points correspondant aux points de F. Eh bien, la condition pour que V involution sur F' {c'est-à-dire la surface F) soit régulière, est que la somme des valeurs de chaque intégrale simple de première espèce de F' aux points d'un même groupe reste constante quand ce groupe varie.

11. Aux systèmes algébriques de courbes tracées sur une surface s'étendent immédiatement les notions de système complet, d'addition et de soustraction de systèmes, que nous avons exposées lorsqu'il s'agissait de systèmes linéaires. Si l'on désigne par (G), (Ci), ... des systèmes algébriques complets, on pourra donc attribuer une signification précise à une relation telle que celle-ci :

(i) A(G) = /ii(Gi) + /i2(G-2) H- . . .+ Ap(Cp),

où les A, Al, /i2, /'p sont des nombres entiers, dont le premier et

quelqu'un des autres sont certainement positifs; on suppose naturellement que les soustractions relatives aux coefficients négatifs sont possibles. Si la relation (i) a lieu, on dira que les systèmes (C), (Cl), ..., (Gp) sont algébriquement dépendants. Or M. Severi est

(1) Comptes rendus, 3 avril 1906, Annali di Matematica, 3« sér., t. XII. On trouvera un rcsullat plus expressif dans une Note de M. Severi parue tout dernièrement dans les Rendic del Circolo matent, di Palermo, t. XXI, 1906.

parvenu à démontrer un théorème extrêmement remarquable, qui se rapporte aux. notions rappelées tout à l'heure ( ^ ) :

Sur une sur/ace algébrique on peut toujours fixer un nombre Jini p de systèmes algébriques complets (G/), algébriquement indépendants, tels que tout autre système algébrique (G), tracé sur la surface, dépende algébriquement des systèmes nommés.

Tous les s^'stèmes (C) existant sur la surface sont donc fournis par la relation (i), en attribuant aux coefficients h des valeurs entières. On dit que les systèmes ((^j), . . . , (Gp) forment une base de la totalité des systèmes tracés sur la surface. Si celle-ci est régulière, la base est formée par des systèmes linéaires.

Le nombre p, qui entre dans le dernier théorème, ne diffère pas du nombre que M. Picard a désigné par la même lettre à la page 2/1 1 du Tome II de ce Traité, et qui joue un rôle important dans sa théorie des intégrales simples de troisième espèce. Vax effet, si Ton prend une courbe G,, G2, . . . , Gp de chacun des systèmes formant la base, il n'existe aucune intégrale simple de troisième espèce ayant ces seules courbes pour courbes logarithmiques; mais on peut former une intégrale qui a pour courbes logarithmiques les p courbes nommées et une courbe ultérieure G arbitrairement fixée.

La connexion existant entie la théorie de la base et celle des intégrales simples de troisième espèce permet à M. Severi de répondre à une question importante posée par M. Picard (^). Il démontre en effet que la condition nécessaire et sujfisante pour que toutes les intégrales simples attachées à une surface algébrique se réduisent à des combinaisons algébrico-logarithmiques, c'est que la surface soit régulière.

12. Revenons maintenant à la recherche des caractères invariants d'une surface. A côté des invariants (absolus) que no,us avons considérés jusqu'ici, il convient de prendre en considération de nouveaux caractères, qui ne jouissent pas d'une invariance rigoureuse vis-à-vis de toutes les transformations birationnelles de la surface; ce sont les invariants relatifs.

On parvient à cette conception très féconde, en partageant les transformations qu'on peut faire subir à une surface en deux classes :

1° Attribuons à la première classe les transformations qui font cor-

(') Complet rendus de i'Acad. des Se 6 février i()()5; un Mémoire ])liis détaillé sur ce sujet paraîtra procliaincniciit dans les Matlieni. Annalen. (2) Ce Traiié, t. II, p. 144.

respondre sans ea^ception un point à chaque point simple de la surface donné, et une courbe à chaque courbe de celle-ci (^);

2° Attribuons, au contraire, à la seconde classe les transformations qui foiit correspondre à un ou à plusieurs points (en nombre fini) des courbes (exceptionnelles), ou vice versa.

Nous appelons alors Invariant relatif de la surface tout caractère de celle-ci, qui est invariant vis-à-vis des transformations biralionnelles de la première classe. Une transformation de la seconde classe modifie en général ce caractère, à moins que la transformation ne change autant de points de F en courbes exceptionnelles, que de courbes exceptionnelles de F sont transformées en points.

Voici maintenant quelques invariants relatifs fondamentaux qui appartiennent à une surface algébrique quelconque.

Parlons d'abord d'une surface F^^ d'ordre /i, de genre y9^> o. Une surface <p„4, d'ordre n — 4? adjointe à F„, coupe celle-ci (en dehors de sa courbe double) suivant une courbe composée par une courbe canonique et les courbes exceptionnelles qui peuvent exister surF/j(^ ). Or, la première partie jouit de la propriété d'invariance (en une acception absolue); son genre />(') constitue donc un invariant absolu de la surface, qu'on appelle, d'après M. Nother, le genre linéaire (^).

Mais si, en ne faisant pas abstraction des courbes exceptionnelles, on évalue le genre de la courbe composée qui constitue (en dehors de la courbe double) l'entière intersection de F,j avec o„4, on obtient un nombre ^ù qui est un invariant relatif de la surface.

Or le nombre to peut être évalué en fonction des caractères d'un système linéaire quelconque tracé sur la surface F„, et de ceux de son adjoint, soit, par exemple, en fonction du genre u des sections planes de F,j, de l'ordre /î, et du genre tJ des intersections de F,i avec les surfaces adjointes ('f,i 3) de l'ordre n — 3; on a, en effet,

a> = 7r' — 3(71 — i)-hn.

L'importance de cette formule découle de la remarque suivante :

L'expression rJ — 3(7r — i) -\- n a un sens, même dans le cas oà la surface donnée a le genre p^z=o: elle conserve d'ailleurs toujours son invariance relative, vis-à-vis des transformations de la

(') Nous passons sur la difficulté inhérente aux points singuliers, dont il est permis d'ailleurs de faire abstraction.

( 2) Tonne II, page ii8.

(•') Tonne I, page 2o5.

première classe. Ce fait est une conséquence presque immédiate de la propriété fondamentale du système adjoint {^).

Ou pourrait de même former avec le degré n' du système découpé sur F„ par les surfaces (p,i 3 une expression qui jouit aussi d'une invariance relative, à savoir

cette expression, lorsque 7J>^ > o et que la surface F„ ne possède pas de courbes exceptionnelles, exprime le degré du système canonique.

Mais on a toujours

ce qui donne une généralisation d'une formule bien connue de M. Nôther (2).

13. Un autre invariant relatif, qui va jouer un rôle important dans rétude des surfaces appartenant à la classe des surfaces réglées, peut être obtenu, d'après MM. Zeuthen et Segré, delà manière suivante : prenons sur la surface F un faisceau linéaire de courbes C, de genre ir, doué de /i points-base (simples ou multiples); il y aura, en général, un certain nombre o de courbes C douées d'un point double, en dehors des points-base; or Pexpi^ession

ne dépend pas du faisceau considéré, mais seulement de la surface F, dont elle constitue un invariant relatif {^).

ik. Comparons maintenant les deux invariants relatifs o et I, d'une surface F.

Lorsqu'on transforme F par une transformation birationnelle, qui fait correspondre une courbe exceptionnelle à un point de F, le nombre w diminue d'une unité; au contraire I augmente d'une unité par la même transformation.

Il s'ensuit que l'expression w -h I ne change pas, c'est-à-dire qu'elle constitue un invariant absolu de F; on a d'ailleurs (d'après une formule de M. Nôther)

(') Enriques, Introduzione alla geometria sopra una superficie algebrica, n" 41 {Memorie délia Società italiana délie Scienze, 3« série, t. X, 1896).

{') Loc. cit.

(3) Cf. Castelnuovo et Enriques, Sopra alcune questioni fondamentali. . ., loc. cit., n° 6.

(*) Castelnuovo et Enriques, loc. cit.

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5oi

On trouvera dans le texte (page 4i2) un invariant relatif lié aux précédents et qui se rattache au nombre des cycles à deux dimensions d'une surface.

15. Uétude des invariants relatifs appartenant à une surface nous amène à considérer de plus près les courbes exceptionnelles.

Tous les géomètres qui se sont occupés des surfaces algébriques savent bien que la présence de ces courbes, qui peuvent se transformer en points, introduit dans la théorie une difficulté systématique. C'est, d'ailleurs, une difficulté propre aux surfaces, qui n'a rien d'analogue dans la théorie des courbes. Aussi plusieurs efforts ont été faits jiour éliminer cette difficulté, autant que possible. Depuis son premier Mémoire (de 1898) l'un de nous (Enriques) avait prévu que toute surface F(quelques cas particuliers exceptés) aurait pu se transformer en une nouvelle surface F' dénuée de courbes exceptionnelles; il est revenu ensuite sur le même sujet, en 1896.

Mais ces résultats partiels n'ont plus d'intérêt aujourd'hui, puisque la question vient d'être résolue heureusement d'une façon précise et complète.

On démontre, en effet, qu'étant donnée une surface F, on peut faire disparaître l'une après l'autre ses courbes exceptionnelles, par un procédé qui s'arrête nécessairement (en faisant disparaître toutes ces courbes), si la surface F ne possède aucun système linéaire de genre tt (juelconque et de degré n >» 2tc — 2. Mais si, au contraire, un tel système existe (ainsi que nous le dirons plus loin), la surface F peut être transfoimée en un plan ou en un cylindre, c'est-à-dire qu'elle appartient à la classe générale des surfaces réglées (rationnelles ou irrationnelles). On a donc le théorème (^) :

Toute surface F, qui it appartient pas à la classe des surfaces réglées, peut être transformée en une nouvelle surface F' qui n'aaniet aucune courbe exceptionnelle, de sorte qu'à chaque point et à chaque courbe exceptionnelle de F corresponde sans exception un point sur ¥' .

Par suite, en dehors de la classe des surfaces réglées, il ne peut y avoir sur une su/face quelconque qu'un nombre fini de courbes exceptionnelles ; au contraire, il y en a un nombre infini sur les surfaces rationnelles et sur les réglées et leurs transformées.

10. Si Ton transforme une surface F par deux transformations différentes, de façon à éliminer ses courbes exceptionnelles, on obtient

(') Gastelnuovo et Enriques, toc. cit., w" 18.

deux surfaces F', F% qui se correspondent />o//i^ /;>«/■ />om^, sans exception. En d'autres termes, toutes les correspondances birationnelles entre des surfaces qui n'ont pas de courbes exceptionnelles appartiennent à la première classe des transformations, au moyen desquelles nous avons introduit les ifïvariants relatifs.

On voit maintenant comment on peut déduire un invariant absolu de chacun des invariants relatifs w, 1, (jue nous avons définis.

Soit F une surface douée d'un nombre fini e de courbes exceptionnelles, et soit F' une surface transformée de F ne possédant aucune courbe exceptionnelle. Calculons, par exemple, l'invariant relatif to par rapport à F, et formons l'expression

Elle a la même valeur que l'invariant w calculé par rapport à F'. Elle est donc un invariant absolu de F, qu'on appelle genre linéaire p^^^ ('), parce qu'elle se réduit au genre des courbes canoniques, lorsque le genre /?^, de F est plus grand que zéro. On a d'ailleurs />(^)^i.

11 est aisé de comprendre l'importance de la définition plus étendue du genre linéaire d'une surface que nous venons de donner. 11 suffit de remarquer qu'en désignant par Vi le /-genre de la surface, on établit la formule

Ut pour les surfaces régulières {pg ^=^pa =/^)

yi=p-r-'-^^-^{p^'^-l)-^i.

pourvu qur l'on ait/)^*)>i (-).

17. Dans la définition qui précède nous avons dû laisser de côté les surfaces rationnelles et les réglées ou leurs transformées. Car en ce cas on ne peut plus se reporter à une image convenable de la surface, dénuée de courbes exceptionnelles.

Mais on étend aisément à ces cas la définition du genre linéaire />(*\ en appelant p^^^ le maximum que peut atteindre le caractère to pour une transformée quelconque de la surface (^).

(') Castelnuovo et Exriquks, toc. cit., n" 20.

(2) Pour /»(') = I on peut construire des surfaces pour lesquelles P, >/? + i.— C/. ExniQUKS, rtendic. délia R. Accad. d. Lincei, 1898. (•^) Castei.nl'ovo et I'^nriques, /oc. cit., n" 21.

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5o3

On trouve alors que dans la classe des surfaces ralionnelles le maximum /?(^) de co est atteint par le plan {p^'^^ =: lo), et, dans la classe de surfaces représentables sur une réglée de genre /?, le maximum est atteint par cette dernière surface [/9^') = — S {p — O + O- ^'^ a ainsi une définition tout à fait générale du genre linéaire. L'évaluation de ce nombre dans les cas concrets se rattache à la question de reconnaître si une surface donnée peut être transformée en une réglée. Cette question sera résolue dans la seconde partie de cette Note.

SEGOiNDE PARTIE

18. La théorie générale des surfaces, dont nous venons de parler, montre sa fécondité lorsqu'on cherche à en appliquer les résultats à des classes particulières de surfaces. Parmi celles-ci, nous allons étudier maintenant les surfaces réglées, et celles qui admettent un groupe continu de transformations birationnelles en elles-mêmes.

Rappelons qu'une surface /(^, /, ^)=:o est dite rationnelle (ou unicursale), si Ton peut exprimer les coordonnées x, r. z de chacun de ses points par des fonctions rationnelles de deux paramètres u^ (% de telle sorte que u, v s'expriment à leur tour rationnellement à l'aide de œ, y, z.

La famille des surfaces rationnelles rentre comme cas particulier dans celle des surfaces réglées ou leurs transformées ; poui* ces surfaces [/(^, y, z) =:o] les coordonnées d'un point sont des fonctions rationnelles d'un 23aramétre ^, et de deux variables X, Y liées par une relation algébrique de la forme

(équation d'un cylindre).

Au point de vue algébrique, la détermination de la famille des surfaces réglées et, en particulier, des surfaces rationnelles, fournit la réponse au problème suivant :

Etant donnée une équation algébrique

5o4 >OTE y.

entre trois inconnues, reconnaître si elle peut être transformée

rationnellement de façon à éliminer une, ou, en particulier, deux

inconnues.

Dans celte recherche, on peut se placer à deux points de vue :

a. On cherche d'abord à obtenir la transformation demandée, en construisant sur / certaines fonctions rationnelles de oc, y, z par ui> procédé qui permet de décider toujours par un nombre fini d'opéralions si la transformation est possible ou non. On arrive ainsi à établir une détermination des surfaces rationnelles et réglées à l'aide de caractères qualitatifs.

h. On cherche à établir les conditions d'existence delà transformation demandée, en évaluant les caractères invariants de la surface. On arrive ainsi à une détermination des surfaces rationnelles et réglées à l'aide de caractères quantitatifs.

19. Examinons d'abord un cas particulier. Supposons que l'équation de la surface ait la forme z'z=f{x^ y).

Nous allons expliquer en quel sens on est parvenu à résoudre en ce cas la question proposée, soit en se plaçant au point de vue «, soit au point de vue b.

Il s'agit de chercher les conditions auxquelles doit satisfaire la courbe plane /r=o pour que la surface z-^=^f{x^ y) soit rationnelle; on donne à cette surface le nom de plan double qui a la courbe limite /= o.

Glebsch a posé ce problème et en a examiné un cas; M. N()ther, en reprenant la question, dans toute sa généralité, est parvenu au résultat suivant :

Pour que la surface z-—f{x, y) soit rationnelle, il faut et il suffit que la courbe f puisse se ramener, par une transformation birationnelle du plan x, y, à l'un des types suivants :

1'^ Courbe d'ordre in quelconque douée d'un point multiple d'ordre in — 2 ;

2" Courbe générale du quatrième ordre;

3^ Courbe du sixième ordre douée de deux points triples infiniment voisins.

On peut, d'ailleurs, décider « /?/7o/'i' si une courbe donnée/ peut être transformée en un des types nommés.

Supposons que l'ordre de la courbe / et les multiplicités de ses points singuliers distincts soient des nombres pairs 2/i, 2fi, 2^2, . • • ?

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5o5

on peut toujours satisfaire à ces conditions en recourant, s'il est nécessaire, à une transformation birationnelle préalable de la courbe/.

Appelons maintenant courbe adjointe d'indice /i(=::i, 2, . . .) à la courbe /une courbe d'ordre in — 3/v assujettie à passer avec ii — k branches par tout point 2 iP^*^ de/. On reconnaît alors que, si la courbe/ peut se ramener à l'un des types de Clebsch-Nother, elle ne possède aucune courbe adjointe dont l'indice soit ^2, et vice versa; donc, la non-existence des courbes adjointes d indices -2^ Z, ... à la courbe f est la condition pour que la surface ^^rr:/(^, y) soit rationnelle, ou puisse être transformée birationnellement en une surface réglée (^). La seconde éventualité regarde certains cas de réduction de la courbe/', précisément le cas où la courbe/se compose d'un certain nombre de courbes rationnelles appartenant à un même faisceau.

Au moyen des relations qui existent entre les courbes canoniques, bicanoniques, . . . d'une surface z'^-=:zf{x, y) et les courbes adjointes des différents indices à la courbe/, on peut transformer ce résultat en le suivant, plus expressif que le théorème de Clebsch-Nôther :

Une surface z^zizf{x,y), dont le genre géométrique p^, le bigenre V^? ^^ trigenre P3, . . . sont nuls, est rationnelle ou peut être transformée en une surface réglée (-).

D'après la condition qualitative qui précède, il suffit même de vérifier que

^^„ = P2 = ...=Pv=o,

où V est le plus grand entier ^ ^, /i étant l'ordre de / et l'on en

déduit Pv-Hi = 0, ....

Mais des conditions plus expressives découlent du n° 26. Il est à souhaiter qu'on y parvienne d'une façon élémentaire, en développant l'analyse des courbes adjointes d'ordre k sur le plan.

20. Ces théorèmes nous amènent à quelques applications remarquables en elles-mêmes, et qui constitueront le point de départ de l'analyse générale que nous nous proposons d'établir.

Supposons qu'une surface / possède un système linéaire co^ de courbes rationnelles. On peut d'abord, d'après M. Nôther, transformer birationnellement la surface en une autre/ possédant un système 00*

(*) Gastelnuovo et Enriques, Sulle condizioni di razionalità dei plant doppi {Rendic. del Circolo tnatem. di Palenno, t. XIV, 1900). (-) Loc. cit.

5o6 NOTE V.

de coniques, découpées par les plans passant par une droite, qui aura la multiplicité n — 2 si la surface /a l'ordre n. Or, cette surface/', à Taide dune projection elTectuée d'un point de la droite nommée, se représente sur un plan double, dont la courbe limite a un certain ordre lin et possède un point multiple d'ordre iin — 2.

11 résulte, d'après le théorème de Clebsch-Notlier, que la surface/' et, en conséquence, la surface/, est rationnelle; d'où le théorème de M. Nôther :

Une surface qui possède un système linéaire 00* de courbes rationnelles est rationnelle (^).

Supposons, en second lieu, qu'une surface possède un système linéaire 00* de courbes elliptiques, système ayant (au moins) un pointbase simple. L'existence de ce système fait voir d'abord que la surface a le genre géométrique/?^ et les plurigenres P2, F3, . . . nuls; elle permet en outre de représenter la surface sur un plan double, en représentant, sur les points d'une droite variable d'un faisceau, les couples de points de la série g\^ qui appartient à Tune des co^ courbes elliptiques et qui possède un point double au point-base nommé. En recourant au dernier théorème du n** 19, on a donc :

Une surface qui possède un système linéaire 00' de courbes elliptiques ayant {au moins) un point-base simple, est rationnelle ou peut être transformée birationnellement en une surface réglée^ qu'on voit d'ailleurs être elliptique {'^).

Enfin, d'une manière analogue, on démontre qu'une surface contenant un système linéaire 00' de courbes hyperelliptiques de genre tt quelconque, système ayant des points-base dont les multiplicités donnent une somme supérieure à i-k — 2, est rationnelle ou peut être représentée sur une surface réglée (').

De ces théorèmes résultent des propositions, dont l'e lecteur verra de suite l'importance, quoiqu'elles soient moins expressives que les tdéorèmes primitifs.

Une surface dont les sections planes sont des courbes rationnelles est elle-même rationnelle.

(') M. NoTHER {Math. Annalen, t. III) y parvient d'une manière directe, en construisant sur la F' une courbe qui rencontre en un seul point cliacunc des oc* coniques. Voir aussi page 272 de ce Traité (en note).

(^) Castklnuovo et Enriques, Suite condizioni di razionalità. . ., toc. cit.

(•'; Loc. cit.

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5o'J

Une sur/ace dont les sections planes sont des courbes elliptiques est rationnelle ou réglée (').

Une surface dont les sections planes sont des courbes hyperelliptiques de genre quelconque est rationnelle ou réglée {'^).

On peut voir une démonstration du premier théorème à la page 69 du Tome TI. Aux deux autres nous étions déjà parvenus par des procédés directs, tout à fuit différents, avant d'avoir démontré les propositions générales d'où nous venons de les déduire.

21. A côté des résultats précédents, on peut placer d'autres théorèmes, en quelque sorte analogues, où, étant donnés sur une surface des systèmes particuliers de courbes, on conclut que la surface peut être transformée en une réglée.

Une surface réglée, ou une surface qui peut être transformée birationnellement en celle-ci, contient un faisceau de courbes rationnelles, c'est-à-dire une série 00^ telle que par tout point de la surface passe uue seule courbe de la série. Inversement, pourra-t-on affirmer que toute surface contenant un faisceau de courbes rationnelles peut être transformée en une surface réglée? M. Nôther (») a abordé cette question; il a démontré qu'on peut, par une transformation préalable, changer la surface en une autre contenant un faisceau de droites ou de coniques. Dans le premier cas la question est tranchée; dans le second il s'agit encore de chercher si l'on peut tracer sur la surface une courbe qui découpe chaque conique eu un seul point. Or l'existence d'une telle courbe a été démontrée par xM. Nôther dans fliypothèse que le faisceau soit rationnel, ainsi que nous l'avons dit au no 20; et dans l'hypothèse d'un faisceau quelconque la démonstration a été donnée par l'un de nous.

On a donc le théorème :

Toute surface contenant un faisceau de courbes rationnelles peut être transformée birationnellenient en une surface réglée (*).

Une autre propriété de toute surface réglée c'est qu'on peut construire sur elle des systèmes linéaires de courbes (coupant en un

(') Castelnuovo, liendic. delta R. Accad. d. Lincei, iSg'^.

(-) Enriquks, Rendic. délia R. Accad. d. Lincei, 1898 ; Mathem. Annalen, t. XLVI.

(') Math. Ami., t. Ilï.

(^) Enriques, Sopra le superjicie algebriclie che contengono un fascio di curve razionali {Math. Ann., t. LU).

5o8 NOTE

seul point chaque génératrice), ayant le même genre et les dimensions aussi grandes que l'on veut. Or celte propriété caractérise entièrement la famille des surfaces réglées et de leurs transformées.

Plus précisément : une surface contenant un système linéaire de courbes de genre r. > 'a et dimension r^3- — 5, peut être transformée en une suif ace réglée rationnelle ou irrationnelle (pour TT = 1, 2, voir le n^ 20) (^).

En effet, si Ton impose aux courbes du système les 3(t: — 2) conditions de passer doublement par 7: — 2 points arbitraires de la surface, on obtient ou bien un système linéaire de courbes de genre 2, auquel on appliquera un théorème du n° 20, ou bien un système de courbes réductibles auquel on peut appliquer le théorème énoncé cidessus.

22. Nous supposons maintenant qu'une surface /(^r, /, ^) =r o soit donnée sans aucune restriction apriori\ nous ne connaissons, par conséquent, sur celle-ci aucun système remarquable de courbes. Nous allons développer un procédé général, d'après lequel il sera toujours possible de reconnaître si la surface/ appartient à la famille des surfaces rationnelles et réglées.

Envisageons le système linéaire | G | constitué par les sections planes de la surface/.

Construisons le système | C'| adjoint à | G |, puis le système \0"\ adjoint à | G'|, et ainsi de suite. On parvient ainsi à une série de systèmes adjoints successifs, |G|, | G'|, |G"|, •••• Deux cas peuvent se réaliser. Ou bien la série a un nombre infini de termes; ou bien elle s'arrête après un nombre fini d'opérations, parce qu'on arrive à un système | G' | qui ne possède aucun système adjoint. Gette distinction est essentielle, car elle ne dépend pas des transformations birationnelles qu'on peut appliquer à la surface /. D'une manière précise, si l'on Iransfornje birationnellemenlla surface/ en une nouvelle surface/, et si l'on construit les systèmes adjoints successifs en partant du système des sections planes \0^\ de /i, on parvient à une nouvelle série, qui sera infinie ou finie, selon que le premier ou le second cas se présente pour la série relative àf{^). On est donc porté à répartir les surfaces en deux familles, l'une composée des surfaces sur lesquelles le pro-

(') Cf. Emuques, Sulla massinia dimensione . . . {Atii deW Accad. délie Scienzedi Torino, 189 'j).

(^) Gastelnuovo et Enriques, Sopra alcune questioni fondamentall. . ., toc. cit., n° 12.

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. SoQ

cédé cradjonclion peut se poursuivie à l'infini, l'autre des surfaces sur lesquelles ledit procédé a un terme après un nombre fini d'opérations. A la première famille appartient, par exemple, toute surface d'ordre > 3 n'ayant aucun point singulier, ou, d'une manière générale, toute surface dont le genre géométrique ou le bigenre... est supérieur à zéro.

La seconde famille comprend les surfaces rationnelles et les surfaces représentables birationnellement sur les surfaces réglées; elle ne comprend pas d'autres surfaces en dehors de celles-ci, et c'est là un résultat essentiel de la théorie, que nous nous proposons de résumer.

11 y a lieu de faire de suite la remarque suivante : une surface qui renferme un système | G | au moins de courbes de genre tt quelconque, dont le degré est n'> -iiz— 2, appartient à la seconde famille; en effet les courbes adjointes successives G', G", . . . rencontrent la G en des groupes composés d'un nombre décroissant de points. Vice versa, sur toute surface de la seconde famille on peut construire un système tel que |G|; il suffit de prendre, dans la série des systèmes adjoints successifs à un système quelconque, un terme assez éloigné de celui-ci.

Une surface/dela seconde famille a, d'après ce qui précède, 7V = ^ et, par conséquent, Pa~o\ posons /?«= — /?(/> ^ o). Nous allons fixer notre attention sur le dernier système | G'I, de dimension r,^ i, qu'on rencontieen parcourant une série de systèmes adjoints successifs, par exemple la série qu'on obtient en partant des sections planes de/. On voit de suite que ce système a le genre rr^ ^/? -h i. Mais un examen plus approfondi, où le théorème de Riemann-Roch ( n*» 3) et l'invariant 1 de Zeuthen-Segre vont jouer un rôle essentiel, permet d'établir que la dimension du système | G' | est /-j^St^ — 5, si le système est irréductible. Si, au contraire, |G' | est réductible, les composantes irréductibles des courbes G', ou bien forment un système linéaire satisfaisant à l'inégalité qui précède, ou bien sont des courbes rationnelles qui appartiennent à un faisceau de genre p. Si l'on se reporte maintenant aux résultats des n^^* 20, 21, on parvient à établir le théorème fondamental suivant :

Toute surface, sur laquelle le procédé d'adjonction s'épuise par un nombre fini d'opérations, peut être transformée birationnellement en une surface réi^lée rationnelle {pa^=^o) ou irrationnelle

{Pa<0)C).

Le problème de reconnaître si une surface appartient à la famille

(^) Castelxuovo et Enriques, Sopra alcune questioni fondanientali. . ., loc. cit., n° 15.

5lO NOTE V.

des surfaces rationnelles et réglées, se trouve résolu par le théorème énoncé, au point de vue qualitatif (a) du n" 18.

Ce théorème conduit à des conséquences remarquables; parmi celles-ci, quelques-unes avaient été déjà établies avant de posséder le théorème cité, par une application plus limitée du même procédé d'adjonction, qui a joué le rôle essentiel dans la démonstration rappelée ci-dessus.

D'abord nous sommes maintenant en mesure de donner plus de précision aux. résultats du n** 21.

Il suffit, en elFet, de rappeler la remarque du n** 13, pour qu'on puisse énoncer le théorème suivant :

Toute surface qui renferme un système au moins oo* de courbes de genre r quelconque et de degré n~:>ir^ — 2, peut être transformée en une surface réglée rationnelle (/>^ = o) ou irrationnelle {pa<.<^) ' on peut même supposer le système ck)^, si 7: > o.

Ce théorème renferme les cas particuliers concernant les surfaces dont les sections planes ont le genre t: = o, i, 2, que nous avons cités au n« 20.

En faisant 71=: 3, on obtient déjà un résultat nouveau, à savoir : les surfaces d'ordre > 4, dont les sections planes ont le genre 3, sont rationnelles^ ou peuvent être transformées en une surface réglée de genre pS3,

23. Voici maintenant une conséquence remarquable du dernier théorème, qui regarde la définition même d'une surface rationnelle.

Supposons que les coordonnées d'un point variable sur une surface s'expriment par des fonctions rationnelles de deux, paramètres

la surface est certainement rationnelle si l'on peut résoudre les (1) en exprimant u, ç par des fonctions rationnelles de œ, y, z. Mais il n'en est pas toujours ainsi. Il peut se faire qu'à tout point (^, /, z) de la surface correspondent /« > i points (w, r) d'un plan; dans ce cas la surface se représente sur une involution plane de 00^ groupes de n points. Est-ce que la surface sera encore rationnelle? 11 s'agit de voir si Ton peut remplacer u^ v par deux, nouveaux paramètres u'^ v' (fonctions rationnelles de u, (^), tels que œ, j, z s'expriment rationnellement par «', ('', et u' , v' s'expriment à leur tour rationnellement par .r, y, z.

Remarquons, à cet efiet, qu'aux droites du plan (m, c) correspon-

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SUHFACES ALGÉBRIQUES. 5l I

dent sur la surface des courbes G, d'un certain genre ti, appartenant à un même système complet.

Or on démontre : i° que ce système a la série caractéristique complète; 2° que le degré du système est /i^'iir — 2, ce qui j)ermet d'appliquer le théorème du n'^ ^2. On conclut donc que : une surface, dont les coordonnées d' un point variable s'expriment par des fonctions rationnelles de deux paramètres, est rationnelle {^).

Il y a lieu de généraliser ce résultat de la façon suivante :

Supposons que les coordonnées x, y, z du point général d'une surface / s'expriment par des fonctions rationnelles des coordonnées X, Y, t d'un point variable sur une surface réglée (cylindre) o

A tout point de /correspondent, au moyen des relations (i), n^i points de cp, formant un groupe d'une involution 00- sur la surface réglée. Inversement à tout point de cp corresjjond un point de f; et si le premier point parcourt une droite X r= //, Y = A' [oi^i cp(A, A) =: o], le second point parcourt une courbe rationnelle de/. La surface /contient donc cc^ courbes rationnelles formant une série algébrique. Or, si par tout point de /passe une seule courbe de la série, la surface/ est représenlable birationnellement sur une surface réglée (n^ 21). Dans le cas contraire, on démonlre que les cc^ courbes rationnelles appartiennent à un même système linéaire, dont les courbes générales ont un certain genre tt et se rencontrent deux à deux en /i > 271 — 2 points variables; on conclut (n'^^â) que la surface/esl rationnelle, puisque l'éventualité qu'elle puisse être transformée en une surface réglée irrationnelle doit être exclue par la présence de co^ courbes rationnelles ne formant pas un faisceau. On parvient ainsi au théorème :

Si les coordonnées d' un point variable sur une surface sont des fonctions rationnelles des coordonnées d' un point d' une surface réglée, la première surface elle-même peut être ramenée à une réglée {rationnelle ou irrationnelle) par une transformation birationnelle.

Ou bien :

Les groupes d' une involution quelconque située sur une surface

(*) Castelnuovo, Sulla razionalità délie iiwoluzioni plane {MatJiem. Annale/i, t. XLIV).

5l2 NOTE V.

réglée peuvent être représentés bi rationnellement sur les points d'un plan ou d'une nouvelle surface réglée (^).

On peut exprimer Je même résultat sous une autre forme, en disant que :

Une surface possédant une série algébrique {tin moins oo^) de courbes rationnelles, peut être transformée birationnellement en une surface réglée, si la série est un faisceau, ou bien elle est rationnelle.

Une autre conséquence du théorème du n<^ 22 a été déjà énoncée au sujet des courbes exceptionnelles (n» 10).

En efl'et, dès qu'on a démontré qu'une surface, qui ne renferme aucun système de genre tt et de degré /i > 2 7r — 2, possède un nombre fini de courbes exceptionnelles, on conclut que toute surface possédant un nombre infini de telles courbes peut être transformée en une surface réglée (rationnelle ou irrationnelle) (^).

2i. Nous nous plaçons maintenant au point de vue {b) du n» 18, en cherchant à déterminer la famille des surfaces rationnelles et réglées par les valeurs de leurs caractères invariants.

Il y a lieu dans cette recherche de recourir à des méthodes différentes, suivant que la surface est régulière ou irrégulière (surfaces rationnelles et surfaces irrationnelles).

Soit d'abord une surface régulière de genre Pfr :rrp^r=r o. A partir de ses sections planes G, nous construisons les systèmes adjoints successifs

Puisque l'on a ^^=r o, le système | G' | ne contient pas | G | ; mais il peut se faire que | G" | renferme | G |; dans ce cas le bigenre Pj ^ i, et la surface n'est certainement pas rationnelle. Supposons au contraire P2 = o; en examinant alors la série des points que | G" | découpe sur une courbe G, on trouve une inégalité arithmétique entre les genres de trois systèmes adjoints successifs, d'où il résulte que les genres r, ir', tt", . . . des systèmes adjoints forment, à partir d'un certain terme, une série décroissante, qui a nécessairement un nombre fini de termes. On en déduit le théorème :

La condition nécessaire et suffisante pour (j u' une surf ace soit ra-

(') Castelnuovo et Enriques, loc. cit., n" 17. (^) Castelnuovo et Enriques, loc. cit., n° 18.

RÉSULTATS NOUVEAUX DANS LA THÉORIE DES SURFACES ALGÉBRIQUES. 5l3

tionnelle est que le genre arithmétique et le bigeiire soient nuls (^ ). (La relation p^. = o résulte de P2 = o).

On a donc le moyen de caractériser la classe des surfaces rationnelles par les valeurs particulières que prennent certains invariants, en un sens analogue à celui qui permet de caractériser les courbes rationnelles par la valeur du genre/? r= o. Toutefois, le résultat établi pour les courbes ne s'étend pas aux: surfaces de la manière qu'on pourrait supposer, car on peut donner des exemples de surfaces ayant j0^r=:/?^=: 0 et P2 >> o, qui ne sont pas, en conséquence, rationnelles. Le lecteur pourra les trouver à la page 1^8 et suivantes du tome IL

25. Avant de passer au cas pa < o, nous nous arrêterons un moment sur la remarque suivante.

Au sujet des surfaces rationnelles il convient de faire la distinction qui suit.

Soit /(:r, /, s) =: o une surface rationnelle; on pourra donc exprimer ^, y, ^ par des fonctions rationnelles invertibles de deux paramètres u, r. Mais il arrivera généralement que, dans les coefficients de ces fonctions, entreront des irrationalités arithmétiques. A ce point de vue on est porté à établir, parmi les surfaces rationnelles, une classification ultérieure d'après la nature de ces irrationalités. On y parvient en s'appuyant encore sur le procédé d'adjonction, car il suffit d'examiner le dernier système adjoint (au moins 00-) qu'on obtient en partant des sections planes de la surface.

On est porté ainsi à distinguer des types de suj^faces rationnelles^ dont la représentation sur un plan dépend respectivement de racines carrées ou cubiques, et des irrationalités définies par une des équations que Von rencontre dans la dissection des fonctions hyperelliptiques de genre /? = j , 2, 3. . . ou des fonctions abéliennes du genre 3 ou 4 {^)-

26. Soit maintenant une surface irrégulière de genres /?^, zzo, Pa<. o. A partir des sections planes G, construisons la série des systèmes adjoints successifs