II- — rjiscussion relative aux points singuliers
7. Nous ven ons de trouver les formes nécessaires des intégrales de diflférentiellfjs totales restant toujours finies. Nous avons maintenant à rech,ercher si les intégrales remplissant les conditions
précédentes restent toujours finies. Supposons que la surface ne possède que les singularités ordinaires considérées au Chapitre IV (n*" 8), c'est-à-dire une ligne double avec des plans tangents en général distincts et des points triples triplanaires qui sont, en même temps, des points triples de la ligne double; nous traiterons seulement, de plus, le cas des points doubles et des points multiples isolés. Les singularités considérées seront les plus générales de leur type; ainsi, il peuty avoir sur la courbe double un certain nombre de points-pince, c^est-à-dire de points où les plans tangents aux deux nappes de la surface sont confondus; mais nous pouvons supposer qu'ils sont généraux. Cherchons ce qu'il advient de Fintégrale
quand {x^y^ z) se déplace sur la surface.
Ne considérons d'abord que des points à distance finie. SI {ce, y, z) n'est pas un point multiple de la surface, il n'y a aucune difficulté, car on voit que l'intégrale reste finie en employant l'une ou l'autre des trois formes de rinté2:rale
Jy J J X
r^''''^''^Bdx — Adr f^-'''^'''^—Cdx-hAdz r^-^'^''^Cdy — Bdz
Supposons, en second lieu, que {x^y,z) tende vers un point double isolé (a, 6, c) de la surface. On remarquera d'abord que les surfaces
passent par ce point. Si l'on différentie, en effet, l'identité fondamentale
.df ^df ^âf /dX dB dC\ .,
successivement par rapport k ce, y et z, et qu'on fasse x =^ a, y =z h, z =^ c^ on aura
A(a, b, c)/;:, + B(«, 6, c)/^, + G(a, b, c)f^, = o, A (a, b,c)f'ac-\- B(a, b, c)fic + G(a, b, c)f';, = o.
Le point {a, b, c) n'étant pas un point biplanaire, le déterminant des dérivées secondes n'est pas nul et, par suite,
Posons, en supposant le point a^ b, ck l'origine des coordonnées, X = uz^ y = vz ei soit
l'intégrale peut s'écrire
(A — Cu)dz — Czdu
Or, A et G sont divisibles par z quand on a posé x — uz, y Nous aurons donc une expression de la forme
/k^dz^CxZ du
c'est une intégrale de différentielle totale pour la surface S définie par la relation entre «, r, z^
et l'on a à considérer les points de cette surface {u, r, o) satisfaisant à
Tous ces points sont pour S des points simples, et nous sommes, par suite, assuré que l'intégrale reste finie. On peut se demander si rintégrale tend toujours vers la même Limite de quelque manière que {x,y, z) se rapproche de zéro; i\ en est effectivement ainsi, car tout cycle infiniment petit donne une période nulle. En efiet, au point double de la surface initiale correspond
dans S la conique
et un cycle infiniment petit correspond à un cycle de la surface de Kiemann représentée par cette équation qui est de genre zéro; les cycles infiniment petits de la surface se réduisent donc à zéro. On peut encore arriver autrement au même résultat en
remarquant que l'intégrale
Aj dz — Gj 2 du
Cp'2^^(i^, P, l)+ S( )
est très petite si Ton intègre entre deux valeurs (^o? ^^o> ^o)î (3, w, i>), z et Zii étant très petits, et z restant petit sur la courbe d'intégration. Il en est bien ainsi si, sur cette courbe, on n'a pas
cp'2^^,(?^, (;, i) = o;
mais, dans le cas où il en serait autrement, on éviterait la difficulté en prenant une des autres formes de l'intégrale.
On étudierait de la même manière le cas d'un point singulier isolé général d'ordre />, où le cône des tangentes est irréductible. Pour que l'intégrale
— G dx -^ k dz
fy
reste finie pour toute section plane, il faut évidemment que les surfaces
aient au point multiple d'ordre /> un point multiple d'ordre p — i . Nous admettons donc que les trois surfaces
ont, au point multiple d'ordre/» de la surface/, un point multiple d'ordre/? — i. L'équation de la surface étant alors de la forme
f{x,y, z) = 0^,(^,7, 5) H- çp^+i(^,jK,^ )+...= o,
nous aurons, en posant encore
X = uz^ y — çz, l'intégrale
(A — Cu) dz — Gz dz
et, comme A — G;^ et G^ sont divisibles par ^^~', nous sommes ramené à une intégrale de différentielle totale pour la surface définie par la relation entre w, ç^ z
el nous n'avons à considérer que des points simples de cette surface, si les points multiples de la courbe
(p/,(î^ p, i) = o, donnent
Op+l{u, P, i) ^ o,
comme nous devons le supposer, si le point multiple n'est pas spécial.
8. Étudions maintenant la valeur de l'intégrale quand (^,y, z) se rapproche d'un point de la courbe double de la surface. Il faudra nécessairement, pour que l'intégrale reste finie, que les
surfaces
passent par la courbe double. Nous adjoindrons donc ces conditions, et nous allons montrer que l'intégrale reste alors finie.
Un premier cas, très simple, est celui où l'on considère un point de la courbe double pour lequel les deux plans tangents sont distincts. Soient ;r<, ji , Zi les coordonnées d'un tel poinl P de la courbe double-, par ce point passent deux nappes de la surface ayant, par hypothèse, deux plans tangents différents. Supposons que (x^y.z) tende vers P en restant sur une certaine nappe; le plan tangent à cette nappe en P n'est pas parallèle, nous pouvons le supposer, à l'axe des z. Pour la première nappe, on aura, dans le voisinage de (.r< ,jk< , 2» ),
o ne renfermant que des termes de degré supérieur au premier. Pour l'çiutre nappe, on aura pareillement
z — zy = a{x — X,) -\- h' {y -y,) -\- ^h{x-Xuy -yi).
et l'on n'a pas à la fois
L'équation de la surface pourra évidemment se mettre sous la forme
[z — Zy — a\x-x^) — b'{y — yi)-'^]x'P^
F ayant une valeur finie et différente de zéro pour œ =z a;^^y = y^^ jz= Zi. On en conclut que, pour tout point (x^j^z) de la première nappe, on a
fl{x,yz) = [(« — a')(a7 — ^,)h-(6 — 6')(jK— j/,) + cp — <^] X F.
L'équation de la projection de la courbe double sur le plan des
{x,y) est
(â^ — a')(;r — ^i)-+- (6— 6')(j — jKi) + ^ — 4^ = o,
et l'on n'a pas à la fois a — a' z^ o, Z> — b' ^= o; soit par exemple b — b'y^ o. On pourra tirer de l'équation précédente
P étant une série, sans terme constant, ordonnée suivant les puissances de X — x^. Ceci posé, si
A(.r,jK, ^) =o
représente une surface passant par la courbe double, on pourra écrire pour les points de la première nappe
et cette fonction holomorphe en ^ — œ^ el y — y^ sera identi-* quement nulle, quand on remplacera y — y^ par P(^ — x^). On aura donc
H^.y.z) = [y—y,-V{x-x,)]y^,{x — Xuy-yi).
D'autre part, d'après, ce qui a été dit plus haut,
/^(^,7,^) = Fi X [y-y^-Y'ix — x,)],
F, ne s'annulant pas pour x ^= x^^ y z=yi , z = Zi. Donc le quotient
tendra vers une valeur finie déterminée différente de zéro quand (.r, j-, z) tendra vers P, en étant sur l'une ou l'autre nappe de la
surface. 11 est manifesle alors que l'inlégrali
lend vers une valeur finie déterminée quand {x,y,z) tend vers
L'analyse précédente n'est plus applicable quand {x^^y^^z^) est un point-pince de la surface. Nous ne diminuerons pas la généralité en supposant que la courbe double est l'axe des z, le point-pince étant l'origine avec le plan des zx comme plan tangent double; l'équation de la surface est alors
[ar-^ ^7-j-7^-^.. .]^2^ [a'a^ ^- p>-+- 7'^-^.. .]xy
+ [ rt -f- y." X + P"7 -f- -(" z ^ . . . ]72 — o.
On a nécessairement a ^ o, et pour un point-pince non spécial, nous devons supposer y ^ o.
Posonsy = ?^:r, nous aurons, entre u^ x et ^, l'équation
et l'intégrale devient
( B — ku) dx — X.X du
A contient x en facteur quand on pose j— ux^ puisque la surface
passe par l'axe des z. D'autre part quand, dans B — A?/, on remplace z par le développement holomorphe en x et u^ tiré de l'équation (S') entre z, x et u, on devra avoir x- en facteur; en effet, pour une valeur constante suffisamment petite donnée à u^ on a une section de la surface par le plan j = u^^ et cette section passe par le point
iP = o, J^ ~ Oi z = Zo,
Zo élant la racine voisine de zjro de l'équation (S') quand on (ait ^ = o. L'intégrale
(B — ku) dx
doit, pour cette section, rester finie quand x tend vers zéro. Par conséquent, B — Aw doit contenir x- en facteur. Il résulte de là que l'intégrale de différentielle totale (a) reste finie quand x^ z, u tendent vers zéro en satisfaisant à l'équation {^').
9. Supposons maintenant que (^,JK, z) tende vers un point triple de la courbe double. Nous ne diminuons pas la généralité en supposant que la courbe double se compose des axes des x^ des y et des 5, le point triple étant l'origine. Nous avons alors l'équation
(S) f{x, y,z) = œyz-^ o^{x, y, z) -\- ^^,{x,y, z)-A- . . .^ o,
et chacun des cônes (Di{x,y^ z) = o admet comme lignes doubles les axes de coordonnées; ainsi on a
?4("^5 J^5 ■^) = ocx-yz + '^xy^z -+- yxyz^-^ oj^z^^- z z^x^-^ r^ x^y^.
Posons
nous avons la relation entre u, p, z
(S) IW -h Z 0!,(U, V, l) -{-. . .==0.
Supposons d'abord que u et c ne tendent pas tous les deux vers zéro; soit ç tendant vers Vq différent de zéro, et u tendant vers zéro. Le point w = o, ç = Çq^ z = o sera un point simple pour la surface définie par l'équation précédente entre u^ ç et z^ et, en prenant l'intégrale sous la forme
Gdy — Bdi
on voit immédiatement, en se rappelant que A=:o, Br=io, G=o ont pour point double le point ^ = o, j^=o, ^ = o, puisque ces surfaces passent par les trois axes, que l'intégrale reste finie dans le voisinage du point simple z/ = o, ç ■=^ <,\^ zr==. o de la surface S.
Le même raisonnement n'est plus applicable quand u et v tendent vers zéro simultanément. On remarque alors que la droite
est une ligne double pour la surface S. Au point ?/ = o, i^ = o, r: = o de cette surface les plans tangents sont u == o, r = o; l'intégrale peut s'écrire
Czdv-\-{Cv--Wydz ^[^ + z{ )]
Or, G et Cr — B sont divisibles par z quand on a remplacé x et j' par iiz et vz-^ nous retombons donc sur une intégrale de différentielle totale relative à une surface pour un point (non pince) de la courbe double. Elle restera finie si les deux polynômes
G^ Ce — B
s'annulent pour u=.o, r = o; il en est bien ainsi puisque les deux surfaces C=o, B = o passent par l'axe des z, c'est-à-dire sont de la forme M^ -|-Ny, M et N étant des polynômes en :r, y, z. Ainsi, nous sommes assuré que V intégrale restera finie pour le point triple.
10. Il reste à étudier l'intégrale quand les variables deviennent infinies. Nous allons, dans ce but, transformer l'intégrale en nous servant des coordonnées homogènes. Remplaçons donc x^ y, z
par ^, ^ ^ -, et rappelons-nous que nous avons trouvé
A = iPcp(a7,7, ^)-4- Ai(:r,jK, 2), B =yo{x,y, z) -\-Bi{x,y, z).
Nous aurons donc, en rendant les polynômes bomogènes,
V [yo(x,y,z)-h tBi{x,y, z, t)]{t dx — x dt)) B dx -Kdy ^ \-{x ^^{x, y, z) ^ tk^jx, y, z, t)\{t dy - y dt)\ ^ r/lU^T^) "^ tf'.{x,y,z,t) ,, '
expression qui pourra s'écrire, après quelques transformations très simples, sous la forme
(^ dv —y dx){xo -I- ^ Al) -4- ( Al jK — Bix){xdt - t dx) ^r.f'-{x,J,z, t)
Or x^ y, z^ /, ne sont pas nuls à la fois, soit x ^ o : posons Z=Y. ^=Z, ^=T,
l'expression différentielle deviendra
— [o([,Y,Z)-4-TAt(T,Y,Z,T)]^Y+[YAiri,Y,Z,T)-B,(i,Y,Z,T)l^T ' 7^(1, Y, Z,T) -'
et nous sommes ramené à une intégrale de même forme que celle qui a été étudiée précédemment. L'intégrale restera donc finie pour les points à l'infini de la surface.
