H- CZ
-\- CiZ
'-^ch
ax' -\- by'
+ cz'
ax'-^ by -\- cz' -\- d la relation précédente F deviendra
Différentions x et y^ on aura
A (i^' -f- B dy , Al c?.r'+ Bi dy' dx^ -^ jj, dy^ "■- ^—^ — ;,
{ax'-\-by^cz'-^df--^, {ax'+by-^cz'+dy--^
A et A, étant des polynômes en x\ y', z' de degré m — i par rapport à x' et z'. et de degré m par rapport à x', y', z' ; de môme B et B, sont des polynômes de degré m — t cny' elz', et de degré m par rapport à x', y' , z' . C'est ce qu'on voit de suite en se servant de la relation
,àf ,df ,df ,df dx -^ dy' dz' dt
où t' est une variable d'homogénéité.
Si maintenant n' est le degré de P et Q, et n celui de M, ou aura
m~ M'{ax'-^by^ cz' ^dy^'-'^' M W{ax'-i-by-^cz'-\-dY'-"-'
V et Q' étant de degré /i', et M' de degré n.
Il s'ensuit que l'expression différentielle prend la forme, en supprimant les accents,
Pi dx-h Qi dy
Mi/:(^,r.-)'
En désignant par ;j. le degré de M, par rapport à x, y et z, le polynôme P, est de degré [^. + m — 3 par rapport à ^ et z, et de jgcrré a -i- m — -a par rapport à ^, jk et z. Pareillement pour Qi,
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE PREMIÈUE ESPÈCE. Il5
le degré par rapport ky ei z est i;. + 7?z — 3, et [j. -[- m — 2 par rapport à ^, y et z.
On peut supposer que le polynôme M, ne renferme que œ et r, car, étant donnés les deux polynômes M.^{a:^ y, z) et /(^, jr, z) premiers entre eux, on peut trouver deux polynômes ). et v, tels que
R ne dépendant que de x et y. Par conséquent, en multipliant par X le numérateur et le dénominateur de l'expression différenlielle, on aura une expression de même forme, sauf que M, ne dépendra que de x et y.
La différentielle totale étant mise sous cette forme, envisageons
maintenant l'intégrale
Fidx-hQidy
et supposons que cette intégrale soit de première espèce. Nous pouvons évidemment admettre que l'équation
renferme un terme en z"K Si, laissant y constant, nous faisons seulement varier x^ nous aurons une intégrale de première espèce
Pi dx
Il est nécessaire, pour cela, que ~ puisse se mettre sous la
pour la courbe /(^, y, ^) 1= o.
q"^ M, forme , ^ ., par la suppression d'un facteur commmun ; pour une
raison analoerue ~ doit pouvoir se mettre sous forme ,, ^t et l'in-
^ Ml ^ y(^)
tégrale a, par suite, la forme
P2 dx Q? dy
cette intégrale peut s'écrire, conformément à la théorie élémentaire des intégrales de différentielles totales
j__ r'T.dx I r'q,(xo,y,z)
Il6 CHAPITRE Y.
Chacune des intégrales qui figurent dans cette expression est une intégrale abélienne de première espèce, la première intégrale pour la courbe /(^, y, z) = o entre x et z, la seconde pour la courbe /(^05 y, ^•) = o entre y et z. On voit immédiatement que, si le polynôme o{y) ne se réduit pas à une constante, l'expression ci-dessus pourra devenir infinie; pareillement d'(^) doit se réduire à une constante, et l'intégrale étudiée peut finalement se mettre sous la forme
F dx-^q dy ^ 7: '
P est un polynôme de degré ni — 2 en x^ y et ^, et de degré m — 3 en ^ et 5 ; pareillement Q est un polynôme de degré m — 2 en x^ y et z, et de degré m — 3 en y et z.
4. Nous n'avons pas jusqu'ici écrit la condition d'intégrabilité que nous avons maintenant à approfondir. On doit avoir
en considérant z comme fonction de x et y. Cette relation développée devient
Le premier membre de cette égalité est un polynôme en x,y et ^ ; il n'est pas nécessairement nul identiquement, mais seulement en vertu de l'équation
On reconnaît facilement que l'on peut écrire la condition d'intégrabilité sous la forme
Or, si, dans l'intégrale que nous étudions, nous prenons ^ et 3 pour variables au lieu de x et y, nous devons tomber sur une
expression de même forme. Efifectuant ce changement de variables, l'intégrale devient
fz
dx — Çldz
il est donc nécessaire que l'expression
p/;-QA
puisse, en vertu de/= o, se mettre sous la forme d'un polynôme en x^y^ z. Posons donc
R étant de degré m — 3 par rapport à .r et ^ et de degré m — a en x^ y et ^, ou, en écrivant cette même équation sous forme d'identité, indépendamment de l'équation y = o,
N étant aussi un polynôme, cette dernière relation ayant lieu quels que soient x^ y, z. Ceci posé, revenons à l'équation (4) qui pourra s'écrire
dQ r)P dK ,,
dx ây âz
Cette relation doit être vérifiée pour tous les points de la surface/, c'est-à-dire que le polynôme
dQ dP dK ^, âx ây oz
est divisible par/. MaisP, Q, RetN sont des polynômes de degré inférieur à m. Si donc/ est irréductible, comme nous le supposons évidemment, la relation
dx dy dz
aura lieu, quels que soient x^ y et z.
Il8 CHAPITRE V.
Posons
les identités (5) et (6) se résumeront dans ridenlité unique
dx dz dz \ox oy ôz ]
identité en x, y et z, qui Joue un râle essentiel dans la théorie des intégrales de différentielles totales de première espèce.
o. Nous pouvons approfondir davantage la forme des polynômes A, B, G. Ceux-ci sont nécessairement de la forme
A — x(f{x,y,z)-^ Ai{x, y,z), B^y'^{x,y,z)'^Bi{x,y,z), G = zy^{x,y,z)-[- Ci{x,y,z),
'-p, ^, y étant des polynômes homogènes enx^y.zàe degré m — 3 ; quant à A,, B,, G,, ce sont des polynômes de degré /?z — 3. Or,
considérons l'intégrale
/Bdx — \dy A '
Cl posons 7 = UL^, [A étant une constante : nous aurons l'intégrale abélienne de première espèce
relative à la courbe /{x, [xx, ^)=o. Il en résulte que B — A|j. est de degré m — 3 au plus en ^ et :; ; donc l'expression
ixx['\>{x, iix,z)—^{x, iix,z)],
qui dans B — A [x est du degré m — 2, devra' 'être nulle, et l'on
aura
quel que soit |ji, ce qui revient à dire que
ii{x, y, z) = o{x, y, z).
En mettant l'intégrale sous la forme
— Cdx-hAdz
fz
on démontrerait que x(^, JK, -)= cp(^, jr, ^) ; par suite, les polynômes cp, ti;, -^ sont identiques.
6. On peut donner une autre forme à la condition d'intégrabilité du n° 4 ; écrivons-la sous la forme
Posons maintenant
fdX • dB âC
\ ùx dx di
^ / Oi\. CI5 OL, \
TnB — rf-T 1 1 ,
*^ \ ^^ dy âz '
fdX dB dC\
()x ôy dz )
dx ôy dz )
de telle sorte que l'identité devienne
ox dy dz dt
En se reportant aux expressions de A, B, C données au numéro précédent, on voit de suite que les Q sont des polynômes de degré m — 3. On aura entre ces polynômes la relation suivante, qui résulte immédiatement de leurs expressions en A, B, G,
/QX ^01 ^02 C)03 ()0t
dx dy dz Ot
Telles sont les formes élégantes, (ol) et (j3), sous lesquelles peut se mettre la condition dHntégrahilité pour une intégrale de première e5/?èc^; on devra pouvoir trouver quatre polynômes Q d'ordre m — 3 satisfaisant aux conditions (a) et (jB).
Nous avons démontré déjà que la surface la plus générale de degré m ne possède pas d'intégrale de première espèce, puisque f 1 = I. Nous pouvons le vérifier à un autre point de vue : je dis que/(^, y^ z) étant le polynôme général d'ordre m, on ne peut pas trouver quatre polynômes 9 de degré m — 3 vérifiant (a) et ( j3).
Considérons, en efifet, les trois surfaces
df df . i)f
fe="' 5;=^"' fe==^"
Elles n'ont pas de courbes communes, et elles ont en commun un nombre de points distincts égal à (/?i — i)'^. Pour ces points, on a
mais le second facteur ne sera certainement pas nul, puisque alors la surface aurait des points doubles ; les points considérés appartiennent donc à la surface
par suite, les quatre surfaces
df df df .
dx ày dz
ont en commun (m — i)"* points distincts. Or cela est impossible, car, si nous considérons les deux surfaces de degré m — i
dx ^ dy ~^ ^ dz '
,àf r^.df ,df
les a, Oj^ Y étant des constantes arbitraires, l'intersection de ces deux surfaces devrait rencontrer la surface Q/, en [ni — i)"* points. Il est d aillpurs impossible que les deux surfaces précédentes aient une ligne commune avec la surface O4, si les a, p, y sont pris arbitrairement, car j'I faudrait alors qu'il v eût une ligne commune à
iL — ÈL-^o/
= 0, — = o, et la surface aurait des points multiples
dx ' dy
à l'intersection de ce^e lii^ne avec ^ = 0.
^ dt
