P"z'--i-Q;'zt-^K'r-)y'-=o
où les deux droites doubles sont en évidence. Si, en coordonnées non homogènes, une des droites doubles est l'axe des s, la seconde droite étant à l'infini dans le plan z = o, l'équation de la surface se déduira de la précédente en faisant t = ï, et se réduira par suite à
(Pz2 4- Q^ -H R):r2-i- 2(P'^2 4- Q'^ -4- R')xy -^- {F" z'- -i- q' z -h R")y'-=o.
Cette surface est évidemment réglée, les droites étant données par les sections z = const. Il y a, sur l'axe des ^, quatre pointspince, qui correspondent aux valeurs de z, pour lesquelles on a
La surface précédente rentre dans la catégorie des surfaces considérée au paragraphe précédent. Posons en effet
L'équation de la surface nous donnera
Nous avons par suite, pour les coordonnées d'un point de la surface,
cv = X,
les coordonnées s'expriment rationnellement en fonction de x, z, \Ap7^, et à un point arbitraire (^, y, z) de la surface ne correspond qu'un système de valeur de x, ^, v?(^)- ^^ surface admet donc l'intégrale de première espèce
dz
L4. Il est aisé de trouver toutes les surfaces du quatrième degré admettant une intégrale de première espèce. La question revient à la discussion d'un système très simple d'équations différentielles ; on doit avoir quatre polynômes Gi, 0., O3, 0/, du premier degré
)i = «1 a? -4- b^y -i- Cl x; H- cly t, )^=z a^x -^ boy -\- c^z -\- cUt, ^3 = «3 a? H- b^y -^c^z-\- dzt,
tels, que l'on ait identiquement
^'ô^^^'dy'^^'ôz-^^'d} -""' avec la condition
Pour trouver la forme générale des fonctions /satisfaisant à la première de ces relations, il suffit de trouver trois intégrales distinctes.
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE PREMIÈRE ESPÈCE. l35
Or il résulte d'une théorie classique qu'on peut obtenir des
intégrales de la forme
QX,
P, Q, R, S désignant quatre polynômes du premier degré, homogènes en x^ y^ z^ t et les \ étant les racines de l'équation
avoir
«1 — X bx
Cl dx
Ci «?4 — X
la relation a^
Xi+ X2-4- X3-+- X; =z 0.
(^^1=0 que l'on doit
C'est seulement quand les quatre racines sont distinctes que Ton est assuré d'avoir trois solutions distinctes de la forme indiquée. Quand les racines ne sont pas toutes distinctes, on pourrait avoir des logarithmes dans les expressions d'une au moins des intégrales ; mais ceci ne nous conduirait pas à des surfaces algébriques. ISous devons donc supposer qu'il ne s'introduit pas de logarithmes; de plus, les quatre polynômes P, Q, R, S doivent être linéairement indépendants, sans quoi nous aurions une surface conique^ ce que nous excluons. On peut par conséquent poser
Pr^^, Q--JK, R = ^, S = ^;
nous avons alors les solutions
/Al' y>^.' /A,'
et, par suite, notre polynôme du quatrième degré /(^, JK, ^, 0 doit être de la forme
Si l'on prend
Xi=: — I, X2 = I,
on aura l'expression
^ vÀi 1/A3 n/A4 y
X3--= O, Xi= o,
^{xy.z,t).
l36 CHAPITRE V.
et, si l'on veut que celle-ci soit un polynôme du quatrième degré, ce polynôme sera nécessairement
x^y^ -^- xy {Xz^~ -^ B z t -\- Cr-)^A'z'*-{-B'zH-h C z"^ t^ -\- D' z t^ -\- E' t'' :
nous retombons sur les surfaces de révolution, qui se déduisent de celte forme en remplaçant ^ et j^ respectivement par œ + iy el X — iy.
Faisons en second lieu
Xi = i, Xo^i, ^3 = — ^ ^^4 = — I,
ce qui nous conduit à l'expression
si elle représente un polynôme du quatrième degré, il sera nécessairement de la forme
-+- 2 - i^'z\y'--\-Q'zy iy -^ R'r-y'')-+- Vz^-y^-^- q' zy ty + B!'t''y\
ce qui nous ramène à la forme
xi{?z'--{-qzt-^BV-)^'îxy{V'z'-^Q;zt-\-K'r-)-\-y'-{V"z'^-\-q:'z-^K'),
et, par suite, aux surfaces du quatrième degré avec deux droites doubles.
Une discussion un peu minutieuse, que nous ne ferons pas ici, montre qu'il n'y a pas, en dehors des cônes, d'autres surfaces ayant une intégrale de première espèce que les deux surfaces trouvées plus haut et, bien entendu, toutes l,eurs transformées homographiques. Ce résultat a été énoncé sans démonstration par M. Poincaré, dans une Note des Comptes rendus (t. XCIX).
15. Nous ferons maintenant quelques remarques relatives au cas où une surface de degré m
possède plusieurs intégrales de première espèce, qui ne soient pas fonctions les unes des autres; A, B, G et A,, B,, C, étant les
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE PREMIÈRE ESPÈCE. iSy
polynômes correspondants, nous aurons les deux identités
Nous supposons que les deux intégrales
/Bdx — Ady rB^dx — k^dy
7z "' J fz ^
ne sont pas fonctions l'une de l'autre, c'est-à-dire que l'on n'a pas pour tous les points de/
BAi — AB, = o.
Ceci posé, nous aurons pour tout point de la surface les relations
d'où l'on déduit
AB, — AiB BCi — CBi CA, — ACi
fz ~ f. "^ 7r~*
Montrons que la valeur commune de ces quotients peut se mettre sous la forme d'un polynôme en x^y^ z. Tout d'abord, chacun de ces quotients restera fini pour tout point simple de la surface à distance finie. Prenons maintenant un point de la courbe double : il n'y a aucune difficulté pour un point qui n'est pas un point-pince; il suffit en effet de raisonner comme au n*^ 8 : on aura un facteur commun au numérateur et au dénominateur, et, de plus, on remarquera que le quotient considéré s'annulera au point considéré. Donnons ky une valeur constante difîerente de 1'^ d'un point-pince; la courbe entre x ç,l z
ABj — AiB = o
a pour points doubles les points doubles de f\x^ y, z) = o. On peut par suite, d'après une proposition connue relative à la théorie
l38 CHAPITRE V.
des courbes (<), mettre ABi — A, B sous la forme
AB,'— AiB ^\{x,z)fL-^\i.{x,z)f{x,y,z),
X et [X étant des fonctions entières de x et z^ dont les coefficients pourraient être des fractions rationnelles de y. Nous pouvons donc écrire
V{x, y, z) étant un polynôme en x^ y, z. On verrait de même que ABi — AiB Pi(37,jK,^)
fz ~ ?li^;
On peut d'ailleurs supposer que, dans P et Pj, z entre au plus au degré m — i . On a alors
V(x.y,z) ^ Vx{x,y,z) ^
et ceci doit être une identité, quels que soient x^y et z^ puisque z figure seulement au degré m— \. On aura donc, pour
ABi— AiB
(») On sait que Nœthcr a donné d'une manière générale (.Math. Annalen, t. VI) la condition pour que, étant donnés deux polynômes ce (a;, y) et ^{x, y), un polynôme /(a;, y) puisse se mettre sous la forme
A et B étant eux-mêmes des polynômes. Il en a déduit en particulier un théorème donnant une condition suffisante pour que / puisse se mettre sous la forme indiquée. Considérons les deux courbes
et prenons un quelconque de leurs points de rencontre, que nous désignerons par M; soient/? et q les degrés respectifs de multiplicité de ce point pour les deux courbes, et supposons de plus que ce point compte pour 7?^ points de rencontre (cas général). Dans ces conditions, si la courbe
fix, r) = o
a le point M comme point multiple d'ordre/? -^- ^r — i, on aura certainement
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE PREMIÈRE ESPÈCE. iSg
lin polynôme en x^y^ z^ et nous pouvons par suite écrire
AB,-AiB=:/iQ(^,y,^),
Q étant un polynôme. Le degré de ce polynôme sera m — 4 ; on voit en effet, en se reportant aux formes de A, B, G, que les polynômes figurant dans les premiers membres de la relation précédente sont de degré im — 5.
La surface d'ordre m — 4
est extrêmement intéressante; nous rencontrons ici pour la première fois, dans un cas particulier, une de ces surfaces d'ordre m — 4, que nous allons bientôt étudier d'une manière générale, et c|ui sont dites adjointes à la surface proposée. La surface Q passe par les lignes doubles de la surface, puisque les A et les B s'annulent pour les points de ces lignes doubles. Les surfaces A et B ayant pour points doubles un point triple de la courbe double, il est manifeste que la surface Q aura un tel point pour point double.
16. Ces remarques faites, cherchons si une surface du quatrième degré peut avoir deux intégrales de seconde espèce qui ne soient pas fonctions l'une de l'autre. Nous allons voir de suite que la chose est impossible. D'après ce que nous venons de dire, on a
ABi- AiB — Q/: =o, BGi-CBi -Q/^=:o, CAi- AG, Q/; = o.
Q, qui est d'ordre m — 4 7 se réduira ici à une constante différente de zéro, puisque, par hypothèse, les deux intégrales ne sont pas fonctions l'une de l'autre. Ces relations ne sont, en général, satisfaites que pour les points de la surface; mais, dans le cas actuel, ce seront des identités, puisque le premier membre de chacune d'elles est un polynôme de degré inférieur à 4- On a donc l'identité
ox oy ôz
quels que soient x^ y^ z. Par suite, on a cette autre identité en x,
l4o CHAPITRE T.
dX dB dC
dx dy dz
Reportons-nous maintenant aux conditions, mises sous forme homogène, pour que la surface ait une intégrale de première espèce. On a
dx dy dz dt
et ^4 a pour expression
'''* = - \d^-^^--dzp
on aura par conséquent Bj = o; mais O4 est en définitive un quelconque des polvnomes 9, et nous arrivons ainsi à cette conclusion
absurde
L'hypothèse faite était donc inadmissible : une surface du quatrième degré ne peut avoir deux intégrales de première espèce qui ne soient pas fonctions Vune de Vautre,
17. La même conclusion va s'étendre à une classe très étendue de surfaces du cinquième degré. Considérons une surface du cinquième degré ayant deux intégrales de seconde espèce qui ne sont pas fonctions l'une de l'autre.
On aura, d'après ce qui a été dit précédemment.
AB,- BAj = Q/i - v/(x, j, z), BG, - CB, = Q/i-h \f{x,y, i;),, GA,-AC,= Q/;-+-Hi/(x,^,5)';
Q étant un polynôme du premier degré, et A, a, v représentant trois constantes. De ces trois identités, en tenant compte des identités fondamentales
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE PREMIÈRE ESPÈCE. l4l
on déduit
ày
dz
dx
ày
dz
Les constanles X, a, v sont reliées très simplement au polynôme Q. Posons, comme nous devons le faire,
k = x^{x,y,z)-\- h{x,f,z), Ai = :rcpi(a7,jK, ^)-H U{x,y,z), B=^yo{x,y,z)-h M{x,y,z), ^i=- ^ o^{x,y, z) -^M^{x,y, z), G= z^{x,y,z)+'^{x,y,z), Ci = z ^,{x,y, z)-v-'^i{x,y, z),
et admettons d'abord que cp et (p< ne soient pas identiquement nuls : soit o yé o. Dans la première des équations (2), en posant
Q = /.r -I- my -+- tiz -^ p^
les termes du degré le plus élevé seront
(p X [5{lx -^ fny -i- iiz)-^ Ix -\- iiy -hvz]: on en conclut
l ràQ. .^Q ^^Q
âx ^ ày dz
La même conclusion subsiste si o et cp, sont identiquement nuls. Considérons, en effet, dans ce cas, les relations (i); les premiers membres seront du quatrième degré, et l'on aura, par suite, en désignant par '|(^,JK, -s) les termes homogènes du cinquième degré dans/',
(Ix -+- my + nz)^'^ + v^^ = o,
{Ix -\- my -h- nz)<\)ic-\- X'ii =^ o,
{Ix -h my-^nz)^;^^ 1x^ = 0; d ou 1 on déduit
5{lx -h my -h- nz) = — (Ix -+- [ly -+- vz),
et la conclusion subsiste.
Nous pouvons admettre, en faisant un changement d'axes, que Q se réduise à z. Les équations (i) se réduisent alors à
/ ABi-BX^=zf^-5f(x,y,z), (3) BGi-GBi = z/;,
( GAi AGi = z fy,
et les équations (2) deviennent
dx dy dz j
dx dy ôz )
Nous avons pour A, B, G et A<, B,, G, les expressions indiquées plus haut. En les introduisant dans ces dernières équations, il vient
dx dy dz )
^ ■ ) • ) ,-5Ni = o. dx dy dz ]
Si donc nous posons
où les a et 6 sont des polynômes en x et y, de degré marqué pai l'indice, on aura
I fdai "■ 3 V c)a^
db,
ày .
[da^ \ dx
et
de
même,
en
posant
viendra
Ni
I fda\ ■6\dx
db\
ày
fda', \dx
Dit
en outre
o{x,y,z)= Co:;--f- CiZ + c,,
où les c sont des polynômes homogènes en œ,y de degré marqué par l'indice.
Geci dit, la première des équations (3) donne
dz[z^ z^
Nous allons tirer de celte dernière équation la valeur de /à un terme près de la forme G^^ où G sera une constante, car elle ne peut être une fonction de œ et j-, puisque/ doit être un poly-
nome du cinquième degré en œ, y^ z; f étant ainsi déterminé, on devra avoir, d'après les deux autres équations (3),
-, BGi-GBi „, GAi-AGi Jx - ~ ' Jy =
Introduisons maintenant une nouvelle hypothèse ; nous supposons que la surface possède une ligne double ne se réduisant pas à une seule droite. La ligne double sera alors nécessairement une conique située dans le plan ^ = o, car la surface Q 1=1 o contient la ligne double; on ne peut avoir comme ligne double de la surface deux droites ne se rencontrant pas, car alors la surface serait unicursale.
Les surfaces A = o, A, = o, B = o, B< = o doivent passer par cette conique, et nous pouvons mettre ses équations sous la forme
si elle est indécomposable; on ferait un calcul analogue à celui que nous allons faire pour le cas où elle serait décomposable. Les poljnomes
doivent être divisibles par x'^ H-JK^ -h i ; soit donc
C^X -^ a^—{lX -i- P) (a?2-|-J/2| i)^
les a, [3, Y étant des constantes; on peut tirer de ces identités ^2, ^27 C2 et «2, ^^, c!,.
Dans/(^, jr, z) le terme iudépendant de z sera
— ^ [(Co^ + «2)(C27 + 6'2 ) -(CaJ' -i- ^»2)(C2 ^ + «2 )]
ou
(5) -^^{^x'^-^y^-^-xr-\x[xi~a.'^^)-^y{^'^-'^'^)^^^(-^'^-\.
Cherchons d'autre part le terme indépendant de z dans
BGi-CBi
l44 CHAPITRE V. — INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES, ETC.
ce sera
OU, en remplaçant les «07 ^i-, <^2 par leurs valeurs tirées des identités (4),
Cette expression doit être la dérivée par rapportât de l'expression (5); or, cela n'est possible que si
a' Y — 3cy' = a^'— a' P = fi' y — y' ? = o.
Dans ces conditions, l'expression (5) est nulle, et il en résulte que/(^,y, z) serait divisible par z et la surface serait, par suite, décomposable. Donc une surface de cinquième degré avec une conique double ne peut avoir deux intégrales de première espèce, qui ne soient pas fonctions l'une de l'autre. Nous étendrons plus tard cette proposition à toutes les surfaces du cinquième degré de genre un, quand nous aurons défini le genre d'une surface algébrique.
DES INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE ET DE TROISIÈME ESPÈCE {').
I. — Généralités. Théorème fondamental sur le nombre des intégrales de seconde espèce.
1. Après l'étude des intégrales de première espèce, nous abordons l'étude des intégrales de seconde espèce. Nous dirons qu'une intégrale
Jpdx-i-qdy [/(:r,y,z)=o]
est une intégrale rie seconde espèce, quand les conditions suivantes seront vérifiées. Prenons, comme nous l'avons fait pour les intégrales de première espèce, un point arbitraire (^o, JKo, 3o), et envisageons toutes les courbes passant par (^'0,^0, ^0) sur la surface, et susceptibles d'être représentées, dans le voisinage du point, parles équations
(2) x = Xo-f-lil), j=^^oH-!^(0, z = z,^v(t),
l, a., V étant holomorphes dans le voisinage de Z == o et s'annulant pour ^ = o. On substitue ces valeurs dans l'expression (i), et l'on a une intégrale
(3) fF{t)clt,
F(^) étant méromorphe autour de ^ = o ; le point ^ = o ne devra
(') E. Picard, Sur les intégrales de différentielles totales de seconde espèce {Journal de Mathématiques, 1886) ; Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables indépendantes ( ibid., 1889 ) ; Sur la théorie des surfaces algébriques au point de vue de la Géométrie de situation et sur les intégrales de différentielles totales {Comptes rendus, t5 mars 1897). P. ET S.
j46 chapitre vi.
pas être un point singulier logarithmique pour cette dernière intégrale. Si cette condition est remplie pour tous les points de la surface, et pour toutes les courbes de la nature indiquée sur la surface, nous dirons que V intégrale est une intégrale de seconde espèce.
Si l'intégrale (i) est de seconde espèce, V intégrale prise le long de tout cycle susceptible de se réduire à un cycle nul, est égale à zéro; on suppose, bien entendu, que l'élément différentiel reste fini pour tout point du cycle considéré. La proposition est évidente pour un cycle très petit dans le voisinage d'un point simple de la surface/, car on pourra ramener le cycle à être plan tout en restant infiniment petit, et l'on aura alors un cycle infiniment petit sur une section plane de la surface; comme l'intégrale (i) sera nécessairement alors une intégrale abélienne de seconde espèce pour cette section, l'intégrale cherchée sera certainement nulle. Pour démontrer le théorème dans toute sa généralité, il suffit de se reporter à la surface S sans singularités, à laquelle nous avons fait correspondre la surface donnée/ dans un espace à cinq dimensions. Pour, tout cycle infiniment petit sur la surface S, l'intégrale sera nulle; on peut, en effet, faire correspondre à un point A de la surface S un point simple d'une certaine surface S dans un espace à trois dimensions, et nous sommes ramenés au cas qui vient d'être examiné. Si nous considérons alors sur S un cycle arbitraire susceptible de se ramener à zéro par une déformation continue, il pourra arriver, pendant cette déformation, que le cycle rencontre des points de S pour lesquels l'intégrale devienne infinie, mais l'intégrale ne change pas de valeur quand le cycle a traversé un tel point, car la diflérence de ces deux valeurs est égale à la valeur de l'intégrale le long d'un cycle infiniment petit, et, par conséquent, à zéro, d'après ce qui précède; le théorème est donc démontré.
La propriété qui vient d'être établie est caractéristique des intégrales de seconde espèce, et l'on peut la prendre comme définition de ces intégrales. Montrons que ces deux définitions sont équivalentes. Nous supposons donc l'intégrale telle que sa valeur soit nulle pour tout cycle susceptible de se ramener à un cycle nul. Si nous prenons d'abord un point simple de la surface (•^ojJKo) ^o)j on voit immédiatement que, x, y, z étant exprimés
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE. 1 ^n
par les formules (2), l'intégrale (3) n'aura pas le point ^ = 0 comme point singulier logarithmique, car, dans le cas contraire, à une courbe infiniment petite autour du point ^ = o, dans le plan de la variable t, correspondrait sur la surface un cjcle infiniment petit autour du point simple Xq, yo, Zq, cycle susceptible, par conséquent, de se réduire à zéro, et pour lequel l'intégrale ne serait pas nulle. La démonstration sera la même si (^05 JKo, ^0) est un point multiple quelconque de la surface/; il suffit de recourir à la surface S. Les coordonnées des points de cette surface s'expriment rationnellement en fonction des coordonnées x, y^ z d'un point de/; en substituant dans ces expressions les valeurs (2), les coordonnées d'un point de S deviennent des fonctions de t ayant une limite déterminée quand t tend vers zéro, et l'on a ainsi sur S un point limite A. Pour l'intégrale (3), le point ^= o ne peut être un point singulier logarithmique, car autrement, un cycle infiniment petit correspondrait sur la surface à une petite courbe décrite autour de ^ = o, et à ce cycle infiniment petit correspondrait une valeur de l'intégrale différente de zéro. Mais ce cycle infiniment petit peut se réduire à zéro, puisqu'il lui correspond, sur la surface S, une courbe infiniment voisine du point A; il y aurait donc contradiction.
2. En se bornant aux singularités ordinaires de la surface, c'està-dire à des courbes doubles avec points triples, on peut définir plus rapidement les intégrales de seconde espèce. Dans une intégrale de différentielle totale, il peut y avoir des courbes le long desquelles l'intégrale devienne infinie. Soit G une de ces courbes et supposons qu'elle soit une courbe simple de la surface; je prends alors un cycle infiniment petit entourant cette courbe en un point arbitraire (on peut, par exemple, donner à y une valeur fixe et considérer dans le plan de la variable x un contour infiniment petit autour d'un point de la courbe G, répondant à la valeur prise pour jr); si l'intégrale le long de ce cycle est nulle, nous dirons que la courbe G est une courbe polaire. Une intégrale de seconde espèce ne possède que des courbes polaires.
Il a été supposé que la courbe G était une courbe simple de la surface. Le cas où elle serait une courbe double de la surface ne donne lieu à aucune difficulté; on peut de a même manière con-
l48 CHAPITRE VI.
sidérer un cycle infiniment petit entourantla. courbe double dans le voisinage d'un de ses points. Un tel cycle doit donner une intégrale nulle.
On peut encore dire que l'intégrale de différentielle totale considérée est une intégrale de seconde espèce, au sens habituel de la théorie des courbes algébriques pour une section plane quelconque de la surface.
Si l'intégrale le long d'un contour infiniment petit, réductible à un cvcle nul analogue à celui dont nous venons de parler, n'est pas nulle, cette courbe G sera dite une courbe logarithmique, et l'intégrale sera de troisième espèce.
3. La première proposition, concernant les intégrales de différentielles totales de seconde espèce, consiste en ce qu'e/i général ces intégrales se réduisent à des fonctions rationnelles de x^ y et z.
Soient, en effet, une surface pour laquelle ^, =:^ i, et une intégrale de seconde espèce
•^(•r,„yo,-^o)
Cette intégrale n'aura qu'une seule valeur en un point arbitraire (^, jKî ^) de la surface. En effet, tout cycle qui se ramène à un cycle nul donne, par hypothèse, la valeur zéro pour l'intégrale, et, comme il n'y a pas de cycle linéaire effectif, toutes les périodes de l'intégrale sont nulles, et elle se réduit par suite à une fonction rationnelle de x^ y et z.
Nous devons alors nous poser la question suivante : Comment pourra-t-on reconnaître si une surface algéijricjue possède des intégrales de seconde espèce cjui ne soient pas des fonctions rationnelles de x^ y et 2, et comment pourra-t-on obtenir ces intégrales?
Nous dirons que des intégrales de seconde espèce sont distinctes quand aucune combinaison linéaire de ces intégrales ne se réduit à une fonction rationnelle de x^y et z.
-i. Avant de traiter ce problème, revenons aux considérations
développées dans le Chapitre IV, relativement au nombre/?,. Nous avons trouvé une intégrale
dx -\-'è dy.
Il résulte immédiatement des propriétés établies que cette intégrale ne pourra avoir de courbes logarithmiques. Il est tout d'abord impossible que l'on ait une courbe logarithmique G qui ne soit pas de la forme : soit x = const., %ç>\i y = const.
En effet, l'intégrale
^^{^,y, z)dx,
relative à la courbe f\x^y^ z)=.ç> aurait alors un ou plusieurs points singuliers logarithmiques aux points de rencontre de la courbe G avec le plan j^ =y-
D'autre part, il n'j a pas de courbe logarithmique de la nature indiquée plus haut, soit par exemple
X = Oi.
car l'intégrale
relative à la courbe /(x^y, z)^o^ aurait, pour jk arbitraire, les points correspondant k x = ol comme points singuliers logarithmiques, ce qui est contraire au fait que, pour jk arbitraire, l'intégrale précédente est de seconde espèce. Enfin, pour ce qui concerne les points à l'infini, la section de la surface par le plan de l'infini ne peut non plus être une courbe logarithmique, car la période logarithmique correspondante est égale à une période logarithmique pour le point à l'infini dans une section y = const., c'est-à-dire à zéro.
Jl résulte de là que l'intégrale
(4) fl\dx-\-Sdy
est une intégrale de seconde espèce, et, de là, nous allons conclure le théorème suivant déjà énoncé par avance à la fin du Chapitre IV.
l5o CHAPITRE VI.
Une surface, dont la connexion linéaire est p^^ possède
intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce.
La démonstration est immédiate. Nous savons (Chapitre IV) qu'on peut prendre arbitrairement les r=^pi — i périodes de l'intégrale (4). Considérons une intégrale quelconque J de seconde espèce. Elle aura/?,— i périodes (dont quelques-unes pourront être nulles); formons alors l'intégrale (4) a;)ant ces périodes et désignons-la par 1. La différence
sera une intégrale de seconde espèce n'ayant pas de période; ce sera par suite une fonction rationnelle de œ,y et z. Le théorème est donc établi.
5. Nous arrivons maintenant à la recherche des intégrales de seconde espèce. Nous pouvons, en un certain sens, regarder ce problème comme déjà résolu; une solution, du moins, se déduit immédiatement des considérations développées dans la 3« Section du Chapitre IV et dans la première Section du présent Chapitre. Si, en effet, on a formé l'équation différentielle désignée par E, et si, ayant obtenu son groupe, on a formé le système des équations (t.), on pourra obtenir les /• intégrales distinctes de seconde espèce. Mais ce procédé, très bon pour établir les théorèmes généraux, est plutôt théorique, et des considérations différentes vont nous conduire à des calculs pratiques d'une nature tout élémentaire. Commençons par considérer une surface dont l'équation est de la forme
f(x, y) étant un polynôme, et soit l'intégrale
P dx-t-Q dv
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE. l5l
forme à laquelle peut se ramener toute intégrale de seconde espèce après suppression d'une fonction rationnelle de x, y et z. Les P, Q, M sont des polynômes en x ely, et l'on a la condition d'intégrabilité
en général M(x, y) sera le produit d'un certain nombre de facteurs
les polynômes A, B, ..., L étant irréductibles, et aucun d'eux, comme on peut le supposer en faisant préalablement sur œ et r une substitution linéaire, n'est divisible par y. Soit d'abord le cas le plus simple où
la condition d'intégrabilité s'écrira
Supposons que Ps.{x^y) soit premier avec f[x^y)\ on voit alors que
dx dy
est divisible par A(^, y).
Ceci posé, considérons l'intégrale
V{x,y)dx
en regardant^/ comme un paramètre. On peut, comme il est bien connu, retrancher de
une expression de la forme
d ["A y// (3-. 7)1 dx\^ A^-i J'
1. étant un polynôme en x, telle que la différence ne contienne
It)2 CHAPITRE VI.
plus A au dénominateur qu'à la puissance a — i . Le polynôme A de X aura ses coefficients qui seront des fractions rationnelles de y ; nous pourrons l'écrire sous la forme
a(^,jk) étant un polynôme en x et y. On aura alors nécessairement
tji(:r, jk) étant un polynôme, et, comme Q -^ P— est divisible
par A, il en résultera une identité de la forme
Retranchons maintenant de
V dx-\-Çi dy
la différentielle totale
Aa-i J '
?(7) la différence sera de la forme
V^dx-^ Qidy
Nous avons ainsi diminué d'une unité le degré dç A, et introduit seulement au dénominateur le polynôme '}(y). Nous pourrons évidemment continuer ainsi jusqu'à ce que nous arrivions à une différentielle totale de la forme
l\-idx-^Qa-idy
Puisque l'intégrale est de seconde espèce, il est nécessaire que I^a i et Oa< soient divisibles par A(^, y), car cette différentielle nous conduirait, dans le cas contraire, à une intégrale de troisième
INTÉGRALES DE DIFFÉREMIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE. l53
' espèce. Nous avons donc une intégrale de la forme
(5) rPd.-^Qdy ^
J X(7)//(-2^,JK)
après avoir extrait de l'intégrale initiale une partie rationnelle en
^^y^ w\-^^y) ; P et Q sont des polynômes en ce etjK, et y^(y) est un polynôme dépendant seulement dey.
La conclusion à laquelle nous venons d'arriver est entièrement générale; elle subsiste, comme on le voit aisément, si Ma plusieurs facteurs irréductibles, et aussi si f{x^y) n'est pas premier avec les facteurs A; dans ce cas, la réduction se fait encore plus facilement, comme on le sait, d'après la théorie élémentaire des intégrales hyperellip tiques.
6. Il suffit donc de partir d'une intégrale de différentielle totale de la forme (5), puisque toute intégrale de seconde espèce s'y ramène, comme on vient de le voir, aj)rès soustraction d'une fonction rationnelle de x,y^ ^f{x^y). En regardant jr comme un paramètre, arrêtons-nous d'abord sur l'intégrale
P(x,y) dx
ySy)^j\-^-^f )
On sait qu'en retranchant de cette intégrale la dérivée d'une expression de la forme
on peut ramener le degré de P à être /?2 — 2, si m est le degré de/. Les coefficients de Pi(^) dépendront nécessairement de jk, et ce seront évidemment des fractions rationnelles de jk, dont le dénominateur sera y{y). Écrivons donc cette expression sous la forme
où p, (^, y) est un polynôme. Considérons alors la différence V dx^(ldy
xiy)^J\^y)
Pi(^>.r)v//"(^, .r)"
l54 CHAPITRE VI.
Elle aura la forme, où nous gardons les mômes notations,
açec la circonstance capitale que V{x,y) est, au plus, du des ré f^^ — i en x.
La condition d'inlégrabilité
montre de suite que ^1{jc,y) sera, par rapport à x, dé degré m — i au plus.
Nous avons donc une intégrale où les degrés par rapport à x sont limités. Écrivons cette intégrale sous la forme
V dx + Çldy
où
Q = èoa7"'-i+ byx"'-^-^. ..^b,n-i,
les a et 6 étant des fractions rationnelles dey. Telle est la forme à laquelle peut se ramener toute intégrale de seconde espèce, après soustraction d'une fonction rationnelle convenable de x,y,
