Prenons maintenant la condition d'intégrabilité
pS-q|='^^(^'^K
/àP <)Q\
et soit
f(x, y)=x"'-{- ^liy)^"'-'^-^- • •+ ?m(7)-
Les deux membres de l'identité (6) vont être des polynômes en X de degré 2m — 2. Nous aurons à égaler 2m — i coefficients à zéro, et dans ces 2m — i équations figureront les 2 m — i fonctions dey
Nous formons donc un système d'équations différentielles linéaires auxquelles doivent satisfaire les fonctions a et b. Si la
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE. l55
surface ^-=/(^,jk) admet d'autres intégrales de seconde espèce que des fonctions rationnelles de x^ y et z^ il sera nécessaire que ce système admette pour les a et b des solutions rationnelles.
8. Pour faire la discussion, supposons m impair et égal à ip -\-\. En égalant d'abord à zéro dans l'identité (6) les coefficients de
nous obtenons m identités c|ui nous permettent d'exprimer de proche en proche
à l'aide des a et de leurs dérivées premières. Portant ces valeurs dans les (m — i) autres identités que nous avons encore à écrire, et qui sont fournies par la considération des coefficients de ^"^~-, x^"'"^ ^ ..., ^^, nous obtiendrons m — i équations linéaires et homogènes entre
da^ dam-1
dy dy
les coefficients dans ces équations étant évidemment des polynômes en y. Nous trouvons donc un système de m — i équations linéaires du premier ordre auxquelles doivent satisfaire les m — i fonctions rationnelles «07 ci\i •••i <^^m-i- Nous sommes donc ramenés tout d^ abord à reconnaître si ce système admet des intégrales rationnelles ; c'est là un problème que l'on sait résoudre.
9. Les considérations précédentes ne nous donnent pas en réalité des résultats distincts de ceux auxquels nous avons été conduits au Chapitre IV (Section III). En nous plaçant au même point de vue qu'à cet endroit, nous devons envisager l'intégrale
slf{x,y)
relative à la courbe z-=^f\x^ y), où jk est un paramètre arbitraire, les a étant des fonctions pour le moment arbitraire de y. Cette intégrale est de seconde espèce pour jk arbitraire, et elle a ip pé-
l56 CHAPITRE Vl.
riodes qui dépendent de y. Cherchons à déterminer les ip fonctions
Oq, Cil, • • • ' Cl/ii-l^
de telle manière qne ces périodes soient indépendantes dey et soient égales à des constantes
Pi, Pg, . . . , Psyjî
pour les cycles Gj, G^, ..., Go/j.
En désignant par
wj, to'2, .... w'2/,, les périodes de
/cc»i-i-i clx «
correspondant à ip cycles G, on aura les 2/) équations
(I) «oCo/^-i- «iWj^4-. ..-}- rt/„2C02^= P/, (A = I, '2, . . ., 2/?).
De ces équations, on peut tirer les a, et l'on aura
les Q étant des fonctions de y. Il est clair que les a ainsi obtenus satisfont à un système d'équations linéaires du premier ordre, et nous allons voir facilement que ce système n'est autre que celui qui a été formé il y a un instant.
Supposons, en effet, que les a soient des fonctions de y (rationnelles ou non), telles que les périodes de l'intégrale
sIK^^y)
ne dépendent pas dey; montrons qu'on peut former une inti
R dx 4- S dy ^
grale de différentielle totale
ou
S étant rationnelle en x et sjf^oc^y), tandis que y figure d'une manière quelconque. Il suffît de reprendre, dans ce cas particu-
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE. l5j
lier, l'analyse générale du n°24, Chap, IV. On doit avoir
dx dy
Nous prenons alors
en posant /o=/(^o, JK), et Xq désignant un nombre fixe arbitraire. On aura pour S ainsi formé une fonction rationnelle de x el ^f{x, y). On voit de suite que cette fonction rationnelle ne peut devenir infinie que pour les valeurs de ^ et jk annulant /(^,J^'), et, en outre, j^ étant arbitraire, elle est pour x très grand, d'ordre
m .Or- Tir
i; par conséquent ^ est nécessairement de la lorme
sIlK^^y)
les h ne dépendant que dej>^.
Il résulte de là que les relations difTérentielles trouvées au n'^ 8 donnent, pour les coefficients a, les mêmes valeurs que les équations (I). Il y a donc, au fond, identité entre la recherche que nous venons d'effectuer et celle que nous avions faite précédemment, mais nous avons ici le grand avantage d^ avoir un problème beaucoup plus facile à traiter. Des calculs immédiats et tout élémentaires nous permettent de former le système d'équations différentielles linéaires donnant les quantités «, et nous avons à chercher les intégrales rationnelles de ce système d'équations, problème facile à résoudre. On remarquera que, si les équations (I) donnent pour «o, .... ci„i^ des fonctions rationnelles dejK, les constantes P satisfont nécessairement aux équations
(u) Vi=m\Vx-\-m\y..^...-\-m\pV,p (i -^ i, 2, . . ., 2/?),
ces équations correspondant à la substitution qui transforme to< , (L)2i •': ^2p quand jK décrit un chemin fermé dans son plan. Ce système des équations (tt) n'est d'ailleurs autre chose que celui qui a été considéré au n" 22 du Chapitre IV.
l58 CHAPITRE VI.
10. Nous devons maintenant nous demander, dans le cas où l'on pourra déterminer rationnellement les a et les 6, si l'intégrale ainsi obtenue est de seconde espèce. Les valeurs dej^^ correspondant aux racines multiples de l'équation en x
sont les quantités désignées au Chapitre IV par h\ et désignons encore par a les racines multiples. Nous avons à reprendre la discussion du n" 23 du Chapitre IV; mais nous sommes ici dans un cas plus compliqué, car les points (a, o) pourront être des points doubles d'un degré arbitraire de complication pour la
courbe
z-^^^fi^x, h).
Il faut d'abord montrer que l'intégrale
j S (37, 7, z)dy
est une intégrale de seconde espèce pour la courbe ^-=/(x, y), quand x a une valeur arbitraire. On y parvient en suivant absolument la même voie qu'au numéro indiqué et il résultera de là que l'intégrale
n'a pas de courbe logarithmique passant par le point (a, ^, o). Si ce point est un point simple de la surface, comme il l'était à l'endroit cité, il n'y a aucune difficulté, car tout cycle infiniment petit autour du })oint (a, h-, o) se ramène alors à un cycle infiniment petit dans un plan quelconque très voisin de ce point et donne, par suite, une valeur nulle pour l'intégrale. Si le point (a, 6, o) est un point double, c'est un point double isolé de la surface, et il serait peut-être possible qu'un cycle infiniment petit autour de ce point fût réductible à un cycle nul et donnât une valeur de l'intégrale difTérente de zéro.
Pour décider s'il en est ainsi, il faudra avoir recours à la réduction du point singulier isolé. On se rappelle qu'on peut faire correspondre à ce point une ou plusieurs courbes d'une surface sans singularités dans l'espace à cinq dimensions. Cette réduction
faite, on verra immédiatement si ces courbes sont des courbes logarithmiques pour l'intégrale, auquel cas correspondrait alors, dans le voisinage du point double considéré de la surface
un cjcle infiniment petit, se réduisant à un cjcie nul, et pour lequel l'intégrale aurait une valeur différente de zéro. En écrivant que cette valeur est nulle, on pourra avoir de nouvelles relations entre les P, qui viendront s'ajouter aux équations (t.). Ces relations seront nécessairement aussi à coefficients entiers, puisque tout cycle pouvant se ramener à un cycle dans un plan y = consl., la période correspondante s'exprime à l'aide des P. On aura finalement, en opérant sur les différents points singuliers y compris ceux qui sont à l'infini, un ensemble de relations entre les P permettant de prendre un certain nombre d'entre eux arbitrairement, et l'on aura de cette manière le nombre des intégrales de seconde espèce linéairement indépendantes. Nous pouvons donc considérer que la recherche des intégrales distinctes de seconde espèce est complètement effectuée pour les surfaces dont l'équation est de la forme z- zz=fi^x,y).
11. Nous allons suivre une marche toute semblable pour obtenir le nombre des intégrales distinctes de seconde espèce d'une surface dont l'équation est de forme quelconque
nous pouvons ici supposer que la surface n'a que des singularités ordinaires. Nous devons faire d'abord une digression relative aux intégrales de seconde espèce d'une courbe algébrique. Prenons donc la courbe de degré /?z
que nous supposons n'avoir que des points doubles à tangentes distinctes, les axes occupant d'ailleurs une position arbitraire. On ramène immédiatement les intégrales abéliennes relatives à cette courbe aux deux types
rV{x,y)dx ^^ rq(x,y)dx
l60 CHAPITRE VI.
On n'approfondit généralement pas davantage cette réduction. M. Picard a montré dans le Tome I de son Traité cV Analyse, p. 5o, que, par une soustraction convenable, les intégrales du premier tvpe se ramènent au cas où le polynôme P est au plus de degré im — f\\ de même pour le second type, on peut le ramener de proche en proche au cas où l'entier a est égal à Tunité.
Allons maintenant plus loin en supposant que l'intégrale est de seconde espèce, et voyons ce que l'on peut dire des intégrales du type
Différents cas sont à distinguer suivant que la droite x ^= a rencontre la courbe en m points distincts, lui est tangente ou bien passe par un point double. Dans le premier cas, le polynôme Q devra évidemment s'annuler pour les ni points de rencontre de ^ = a avec la courbe, sinon chacun de ces points donnerait un infini logarithmique; il en résulte que le quotient
peut se mettre sous la forme d'un polynôme en x et j-, et nous sommes ramenés au premier type.
Supposons ensuite que x=a soit tangente à la courbe au point j' — b. il faudra, en appelant ^,, ..., brn-2 les m — 2 autres points de rencontre de x ■= a avec la courbe que Q(^,J^) s'annule pour ces m — 2 points; considérons l'expression
\{x^ y) s'annulant pour X =^ a^ y z= b^^ ^o, ..'., bni 2 c^ supposons de plus cjue à(<2, b) = o. Si nous représentons par
le développement de y dans ]e voisinage du point («, ^), nous
aurons le terme
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE. l6l
comme terme devenant intini dans le quotient — — Or dans
l'intégrale
Q (x, y) dx
{x-a)fl. '
qui n'a pas par hypothèse le point (a, b) comme point singulier logarithmique, nous aurons comme seul terme devenant infini un terme en
Nous pouvons choisir -^ de manière que les termes devenant
infinis soient identiques dans Tintcgrale et dans le quotient considéré ; on peut évidemment choisir le polynôme \{x,y) de manière à satisfaire à ces conditions. La différence
Çl{x, y) dx \(x, y)
{x — a)fy x—a
restera alors finie pour x --^ a^ et elle sera, par suite, de la forme
V{x,y)dx
P{x, y) étant un polynôme.
Il reste à examiner le cas où la droite x = a passe par un point double (<2, b). Désignons encore par ^< , b^^ •••, ^w-2 les ordonnées des autres points de rencontre de ^ = a avec la courbe, et reprenons l'intégrale
Q(a7, jk) dx
où Q(^, JK) s'annule toujours pour («, ^,)...(a, bm-2)'
Nous allons cette fois retrancher une expression de la forme
Choisissons d'abord X de telle sorte que ce quotient reste fini pour (a, bx)^ . .., {a, b,n 2)\ pour le point (a, 6), nous aurons deux développements correspondant à l'une et l'autre branches et
soit
l62 CHAPITRE VI.
Si les deux développements dey sont
y-^b^ {^1(37 — a) — .. ., y — b = [i-iix — a)-r-...,
les développements de ^ .^ auront respectivement comme
terme devenant infini
d\ d\ dl d\
d^-^^'db d^'^^'db
On déterminera donc ^ et j^ de manière que ces termes soient égaux à ceux qui deviennent infinis dans l'intégrale. Le polynôme l{x,y) ayant été choisi de façon à satisfaire aux diverses conditions qui précèdent, la différence
Q(x,y)dx __ Kx, y) J {x — a)f; "~ (^ - a)2
restera finie pour ^ — a, et elle se réduira à une intégrale de la forme
P(j^, y) dx
fy
où P est un polynôme.
Il résulte de là que nous avons ramené toutes les intégrales de seconde espèce, par une soustraction convenable d'une fonction rationnelle de x ety, à la forme
rVix, y)dx
oit P(.r,y) est un polynôme en x et y de degré 2 m — 4.
D'après la façon dont nous avons opéré, il pourrait sembler que dans cette réduction nous introduisons des irrationalités par rapport aux coefficients de l'équation /(:r, jk) = o. En réalité, il n'en est rien, car, sans résolution d'équations de degré supérieur à un, nous pouvons ramener les intégrales de second type au
type
rQ(a:,y)dx
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE. l63
OÙ X(^) est un polynôme en x n'ayant que des facteurs simples, et la réduction peut se faire aux intégrales du premier type sans avoir à résoudre l'équation X = o.
Comptons les coefficients restant arbitraires dans l'intégrale (A). La courbe P ==: o doit passer par les d points doubles; dans P(^, y) figurent alors
{im — 3 ) ( 2 /?! — 9. )
coefficients, mais nous pouvons retranclier de l'intégrale (A) le polynôme arbitraire X(^, y) de degré m — 2, qui peut s'écrire
d\ df d\ df dx dy à Y dx
dx
et qui contient alors au numérateur — ^ — — i paramètres arbi-
traires. Le numérateur de l'intégrale ne renfermera plus alors que
^^rm(m-i) ]
{im — 3 ) ( '2 /?? — 2 )
paramètres, et l'on peut encore réduire ce nombre, car le numérateur ne changera pas si l'on en retranche le produit
^^i(^, r)/(^, jk),
où )., est un polynôme de degré m — 4? ce qui diminue encore le nombre précédemment trouvé de
( ni~ 3) (m — 2)
En définitive, le nombre des paramètres restants sera
{im — 3)(2/?i — 2) m{m — t) (m — 3) (m — 2)
« hi = 7n'^—im-^i-~d,
Si, d'autre part, nous voulons que l'intégrale soit de seconde espèce, nous aurons à écrire que le point co n'est pas un point critique logarithmique, ce qui donne m — i conditions. Il reste donc, en résumé, un nombre de coefficients arbitraires égal à
m^—277i-\-i — d— (m — i) = {m — i){m — n) — d — ip ^ d
l64 CHAPITRE VI.
En prenant arbitrairement ip intégrales de la forme indiquée, on est assuré d'avoir un système de ip intégrales de seconde espèce linéairement indépendantes.
12. Après cette digression, revenons aux intégrales de différentielles totales de seconde espèce relatives à une surface fÇx,y^z) = o. Il résulte du paragraphe précédent que nous pouvons, pour la courbe entre ^ et ^
trouver 2/> intégrales distinctes de seconde espèce
où les Q sont des polynômes en x,y et z. Reportons-nous alors au n° 23 du Chapitre IV.
INous avons cherché à déterminer les fonctions rationnelles
dejK, de manière que les périodes de l'intégrale
«iQi-f-. . .-h a^pQip ^^^
ne dépendent pas dejK* En désignant par R le coefficient de dx sous le signe d'intégration, nous avons vu que si la détermination indiquée des a est possible, il y aura pour la surface une intégrale correspondante
/ Kdx -hS dy
de seconde espèce dans laquelle on peut prendre, pour S, une expression de la forme
Or on peut trouver la forme de S considérée comme fonction de X et z. Une telle expression ne peut devenir infinie que pour les points {z, x) satisfaisant à la relation Z^' = o. D'autre part R est, pour X très grand, infini d'ordre m — 3 ; par suite S sera, dans ces conditions, infini d'ordre m — 2. Donc S est nécessai-
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE SECONDE ESPÈCE. l65
rement de la forme
^' fi '
U étant un polynôme en ^ et ^ de degré 2 m — 3. On peut d'ailleurs donner à un polynôme en ^ et ^ de degré 2 /??, — 3 différentes formes quand œ et z vérifient une relation algébrique entre x et z, relation qui est ici/(^, jk, z) = o. On peut évidemment supposer que z entre seulement au degré 7ii — i, et prendre alors pour U une expression telle que
Oi étant un polynôme en x de degré au plus égal à m -f- i — 2, les coefficients de ces polynômes étant des fonctions dejK que nous désignerons par b. Nous sommes assurés, en reprenant les raisonnements du n" 23, Gliap. IV, que si les a sont des fonctions de j^ (rationnelles ou non) satisfaisant aux équations
(tt) «1 W|. + «2 0)2 | ^ ^^^^ ^2P ^ p^^ ( yt = 1 , 2, . . . , ip),
les P étant des constantes arbitraires, on pourra adjoindre à R une expression S dépendant de ^, jr, z et rationnelle en x et^, et telle que
R 6/a7 + S tfr
soit une différentielle tolale exacte. Or prenons pour S une expression de la forme—, les coefficients b des puissances de x
dans les polynômes o étant des fonctions indéterminées dejr, et écrivons la condition d'intégrabilité pour la différentielle précédente. Nous obtiendrons ainsi un système d'équations différentielles du premier ordre entre les fonctions a et les fonctions b de y. Sans qu'il soit nécessaire de faire aucune discussion, nous sommes assurés que l'on pourra, entre les équations de ce système, éliminer les fonctions b^ de manière à avoir un système de 2/? équations linéaires du premier ordre à coefficients rationnels Gny\ nous savons, en effet, que les a sont déterminées par les équations (tt), où figurent seulement ip constantes arbitraires et cela d'une manière linéaire. Nous sommes donc certains de pou-
l66 CHAPITRE VI.
voir, par des calculs élémentaires, former un système d'équations linéaires L auquel satisfont les coefficients a. 11 ne reste plus alors qu'à reconnaître si ce système d'équations admet des intégrales rationnelles et, s'il en admet plusieurs, combien il en admet de linéairement indépendantes.
Nous n'avons ici aucune discussion à faire pour les points singuliers, comme nous avons pu avoir à le faire au n° 10, car la surface n'a ici que des singularités ordinaires. D'après les explications données au n" 4 de ce Chapitre, le nombre des solutions rationnelles linéairement indépendantes du système L sera égal à p\ — I, et l'on a ainsi ramené la recherche du nombre Pu à la question de reconnaître si un système faeile à former d^ équations linéaires ordinaires à coefficients rationnels admet des intégrales rationnelles. Nous pouvons donc regarder comme résolue la question qui a fait l'objet de cette Section : trouver le nombre des intégrales distinctes de seconde espèce d'une surface donnée.
